Le cours

Résumé en cinq points

Intensité et tension sont des grandeurs algébriques. Le signe dépend de l'orientation choisie, jamais de la physique seule.
L'ARQS suppose la taille du circuit très petite devant la longueur d'onde du signal, soit $L \ll c/f$ . C'est sous cette condition que les lois des nœuds et des mailles s'appliquent.
Les trois dipôles linéaires sont caractérisés par $u = R\,i$ , $i = C\,\dfrac{\dd u}{\dd t}$ et $u = L\,\dfrac{\dd i}{\dd t}$ . Ils imposent la continuité de $u$ pour le condensateur et de $i$ pour la bobine.
Une résistance dissipe $R\,i^2$ . Un condensateur stocke $\frac{1}{2}\,C\,u^2$ , une bobine $\frac{1}{2}\,L\,i^2$ .
Les diviseurs ne valent que sous condition : même courant pour le diviseur de tension, même tension pour le diviseur de courant. Les résistances d'entrée et de sortie disent si un appareil perturbe le circuit qu'il observe.

Pourquoi ce chapitre

C'est la boîte à outils de toute l'électrocinétique de l'année et de la deuxième année. On y définit proprement les quatre grandeurs de base : charge, intensité, tension, puissance. On y voit ensuite les deux lois qui permettent de mettre un circuit en équations.

Le chapitre insiste sur un point souvent négligé au lycée, l'algébrisation. Une intensité et une tension sont des grandeurs signées, dont le signe dépend d'une orientation choisie par celui qui résout.

Le deuxième apport est la notion de cadre de validité. Les lois des circuits ne sont pas universelles : elles supposent l'approximation des régimes quasi stationnaires.

Enfin, le chapitre introduit les résistances d'entrée et de sortie, qui expliquent pourquoi un montage réel ne se comporte pas comme le schéma idéal.

1Grandeurs électriques

1.1Charge et intensité

La charge électrique est quantifiée : c'est un multiple entier de la charge élémentaire $e = 1{,}60 \times 10^{-19} \unite{C}$ . Elle est aussi conservée, c'est un postulat.

On traite pourtant le courant comme une grandeur continue. La justification est un argument d'échelle :

un courant de $1 \unite{A}$ correspond au passage d'environ $6 \times 10^{18}$ charges élémentaires par seconde ;
même sur une durée de $1 \unite{\mu s}$ , le nombre de porteurs en jeu reste de l'ordre de $10^{12}$ .

La granularité de la charge est donc invisible à notre échelle de mesure, et une description continue est légitime.

Définition 1.1Intensité du courant

L'intensité du courant à travers une section orientée d'un conducteur est le débit de charge : $i = \frac{\dd q}{\dd t},$ où $\dd q$ est la charge traversant la section pendant $\dd t$ dans le sens de l'orientation. L'unité est l'ampère : $1 \unite{A} = 1 \unite{C.s^{-1}}$ .

L'intensité est algébrique. On choisit d'abord une flèche sur le schéma, puis on calcule.

AttentionSigne d'une intensité

Un résultat négatif signifie que le courant circule dans le sens opposé à la flèche. Ce n'est pas une erreur.

Exemple 1.2Ordres de grandeur des intensités

quelques $\unite{nA}$ ou $\unite{\mu A}$ pour un capteur ou un circuit de mesure ;
quelques $\unite{mA}$ dans un montage d'électronique de travaux pratiques ;
quelques centaines de $\unite{mA}$ pour une diode électroluminescente de puissance ;
quelques ampères pour un appareil ménager ;
quelques centaines d'ampères pour un démarreur d'automobile.

1.2Potentiel, tension

En régime quasi stationnaire on peut définir en chaque point du circuit un potentiel électrique $V$ , défini à une constante additive près. On fixe cette constante en choisissant un point de référence, la masse, dont le potentiel est pris nul.

Définition 1.3Tension

La tension entre deux points $A$ et $B$ est $u_{AB} = V_A - V_B.$ Elle se représente par une flèche allant de $B$ vers $A$ . Son unité est le volt.

Exemple 1.4Ordres de grandeur des tensions

quelques $\unite{\mu V}$ à quelques $\unite{mV}$ pour un capteur ou un signal biologique ;
quelques volts en électronique ;
$1{,}5 \unite{V}$ pour une pile usuelle ;
$12 \unite{V}$ pour une batterie d'automobile ;
$230 \unite{V}$ pour le secteur, en valeur efficace ;
plusieurs centaines de $\unite{kV}$ pour une ligne de transport.

1.3Puissance et conventions

Propriété 1.5Puissance reçue en convention récepteur

Hypothèse

convention récepteur : flèche de tension et flèche de courant de sens opposés.

Alors la puissance reçue par un dipôle vaut $p = u\,i$ . Si $p > 0$ , le dipôle reçoit effectivement de l'énergie ; si $p < 0$ , il en fournit.

En convention générateur, flèches de même sens, la quantité $u\,i$ est la puissance fournie par le dipôle au reste du circuit.

Il n'y a pas de dipôle intrinsèquement récepteur ou générateur, seulement une convention de dessin. On l'utilise par confort : convention générateur pour les sources, convention récepteur pour les autres dipôles. La seule règle absolue est de rester cohérent entre le schéma et les calculs.

1.4Approximation des régimes quasi stationnaires

Les signaux électriques se propagent le long des fils à une vitesse de l'ordre de $c$ . Pour un circuit de taille caractéristique $L$ , le temps de propagation d'un bout à l'autre vaut $\tau_{\text{prop}} \approx L/c$ . Pour un signal de fréquence $f$ , la période est $T = 1/f$ .

Définition 1.6ARQS

L'approximation des régimes quasi stationnaires consiste à négliger $\tau_{\text{prop}}$ devant $T$ . La condition s'écrit $\frac{L}{c} \ll \frac{1}{f}, \quad \text{soit} \quad L \ll \frac{c}{f},$ c'est-à-dire $L$ très petit devant la longueur d'onde associée au signal.

Dans ce cadre, l'intensité est la même en tout point d'une branche au même instant, et le potentiel est défini sans ambiguïté en chaque nœud. Toute la théorie des circuits en dépend.

Exemple 1.7Applications numériques

Montage de paillasse, $L = 1 \unite{m}$ : la condition impose $f \ll 3 \times 10^{8} \unite{Hz}$ . En pratique on considère l'ARQS valable jusqu'à quelques $\unite{MHz}$ , avec une marge confortable.
Ligne de transport de $300 \unite{km}$ à $50 \unite{Hz}$ : la longueur d'onde vaut $6\,000 \unite{km}$ et la condition reste vérifiée, de façon plus serrée.
Circuit intégré à $3 \unite{GHz}$ : la longueur d'onde est de $10 \unite{cm}$ et l'ARQS cesse d'être valable à l'échelle de la carte.

2Lois de Kirchhoff

2.1Loi des nœuds

Loi 2.1Loi des nœuds

Hypothèse

ARQS vérifiée.

Alors en un nœud, la somme algébrique des intensités est nulle. Autrement dit, la somme des intensités qui arrivent est égale à la somme de celles qui partent.

C'est une conséquence directe de la conservation de la charge jointe à l'ARQS. La charge ne pouvant ni être créée ni détruite, et ne pouvant pas s'accumuler durablement en un nœud qui n'a pas de capacité propre, tout ce qui entre ressort au même instant.

2.2Loi des mailles

Loi 2.2Loi des mailles

Hypothèse

ARQS vérifiée.

Alors le long d'une maille orientée, la somme algébrique des tensions est nulle.

Elle traduit le fait que le potentiel est une fonction bien définie des points du circuit : un parcours fermé ramène à la valeur de départ.

MéthodeAppliquer la loi des mailles

Orienter la maille.
Compter positivement les tensions dont la flèche est dans le sens de parcours.
Compter négativement les autres.

3Dipôles linéaires

3.1Relations courant-tension

Toutes les relations qui suivent sont écrites en convention récepteur.

Propriété 3.1Relations des trois dipôles linéaires

Résistance : $u = R\,i$ , c'est la loi d'Ohm. Elle suppose un conducteur ohmique, de résistance indépendante de $i$ et de $u$ , en particulier à température constante.
Condensateur : $i = C\,\dfrac{\dd u}{\dd t}$ . La capacité $C$ s'exprime en farads.
Bobine : $u = L\,\dfrac{\dd i}{\dd t}$ . L'inductance $L$ s'exprime en henrys.

On néglige ici la résistance interne de l'enroulement : une bobine réelle se modélise par une inductance en série avec une résistance.

Ces trois relations sont linéaires. C'est ce qui autorise, plus tard, le principe de superposition et la notation complexe.

Exemple 3.2Ordres de grandeur des composants

Résistances : de quelques ohms à quelques mégohms, valeurs de travaux pratiques entre $100 \unite{\Omega}$ et $100 \unite{k\Omega}$ .
Capacités : de quelques $\unite{pF}$ pour un câble coaxial à quelques $\unite{mF}$ pour un condensateur de filtrage d'alimentation, valeurs de travaux pratiques du $\unite{nF}$ au $\unite{\mu F}$ .
Inductances : du $\unite{\mu H}$ à quelques henrys, valeurs de travaux pratiques de l'ordre de $10 \unite{mH}$ à $1 \unite{H}$ .

3.2Continuité, comportement limite

Les relations précédentes donnent deux règles très utilisées.

Propriété 3.3Continuité

Une variation instantanée de la tension aux bornes d'un condensateur exigerait une intensité infinie.

Hypothèse

courant borné.

Alors la tension aux bornes d'un condensateur est continue. De même, l'intensité traversant une bobine est continue.

Propriété 3.4Régime permanent continu

En régime permanent continu, toutes les dérivées sont nulles :

le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert, $i = 0$ ;
la bobine se comporte comme un fil, $u = 0$ .

3.3Énergie

Propriété 3.5Puissance dissipée par effet Joule

Dans une résistance, $P = u\,i = R\,i^2 = \frac{u^2}{R}.$ Elle est toujours positive : une résistance ne peut que recevoir de l'énergie et la convertir en chaleur.

Propriété 3.6Énergie stockée dans un condensateur

$E = \frac{1}{2}\,C\,u^2.$

Démonstration

La puissance reçue vaut $\begin{aligned} p &= u\,i = u\,C\,\frac{\dd u}{\dd t} \\ &= \frac{\dd}{\dd t}\left(\frac{1}{2}\,C\,u^2\right), \end{aligned}$ et on intègre.

Propriété 3.7Énergie stockée dans une bobine

$E = \frac{1}{2}\,L\,i^2.$ Elle s'établit de la même façon à partir de $p = u\,i = L\,i\,\dfrac{\dd i}{\dd t}$ .

Ces deux dipôles sont des réservoirs. Ils peuvent recevoir ou restituer de l'énergie : la puissance reçue change de signe au cours du temps. La continuité de $u$ pour le condensateur et de $i$ pour la bobine s'interprète comme la continuité de l'énergie stockée.

3.4Sources

Définition 3.8Sources idéales

Une source idéale de tension impose une tension $e$ quelle que soit l'intensité débitée. Une source idéale de courant impose une intensité quelle que soit la tension à ses bornes.

Ces deux modèles sont des idéalisations : aucune source réelle ne peut fournir une puissance infinie.

Définition 3.9Modèle de Thévenin

Une source réelle se modélise par une source idéale de tension $e$ en série avec une résistance $r$ , appelée résistance interne. La caractéristique est alors, en convention générateur, $u = e - r\,i.$ La tension à vide vaut $e$ , et le courant de court-circuit $e/r$ .

4Associations et diviseurs

4.1Résistances équivalentes

Propriété 4.1Association en série

Hypothèse

deux résistances traversées par la même intensité.

Alors $R_{\text{eq}} = R_1 + R_2$ .

Propriété 4.2Association en parallèle

Hypothèse

deux résistances soumises à la même tension.

Alors $\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}, \quad \text{soit} \quad R_{\text{eq}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2}.$

Contrôles de cohérence à faire systématiquement :

en série, $R_{\text{eq}}$ est plus grande que chacune ;
en parallèle, $R_{\text{eq}}$ est plus petite que la plus petite des deux ;
en parallèle avec des résistances très différentes, c'est la plus petite qui impose sa valeur.

4.2Diviseur de tension

Propriété 4.3Diviseur de tension

Hypothèses

deux résistances $R_1$ et $R_2$ en série, soumises à une tension totale $u$ ;
elles sont traversées par la même intensité.

Alors $u_1 = u\,\frac{R_1}{R_1 + R_2}.$

Démonstration

La même intensité $i = \dfrac{u}{R_1 + R_2}$ traverse les deux résistances, puis $u_1 = R_1\,i$ .

AttentionCondition d'emploi

Les deux résistances doivent être traversées par la même intensité. Si un troisième dipôle est branché en dérivation sur $R_1$ , la formule est fausse. C'est l'erreur classique du chapitre.

4.3Diviseur de courant

Propriété 4.4Diviseur de courant

Hypothèses

deux résistances $R_1$ et $R_2$ en parallèle ;
alimentées par un courant total $i$ .

Alors $i_1 = i\,\frac{R_2}{R_1 + R_2}.$

AttentionCroisement des indices

Les indices sont croisés : le plus de courant va dans la plus petite résistance.

5Résistance d'entrée, résistance de sortie

Un appareil réel, générateur ou instrument de mesure, ne se comporte pas comme un élément idéal.

Définition 5.1Résistance de sortie

La résistance de sortie est la résistance interne du modèle de Thévenin d'un générateur ou d'un étage.

Un générateur basse fréquence de laboratoire a typiquement une résistance de sortie de $50 \unite{\Omega}$ . Si on lui branche une charge $R$ , la tension effectivement délivrée vaut $\frac{e\,R}{R + 50},$ et non $e$ . L'écart est négligeable si $R \gg 50 \unite{\Omega}$ , sensible sinon.

Définition 5.2Résistance d'entrée

La résistance d'entrée est la résistance équivalente que présente un appareil vu de ses bornes d'entrée.

Ordres de grandeur :

un oscilloscope présente typiquement $1 \unite{M\Omega}$ en parallèle avec une capacité de l'ordre de $10$ à $20 \unite{pF}$ ;
un voltmètre présente environ $10 \unite{M\Omega}$ ;
un ampèremètre doit présenter une résistance très faible, de l'ordre de l'ohm ou moins.

Conséquences pratiques :

un bon voltmètre a une résistance d'entrée grande devant celle du dipôle observé, sinon il modifie le circuit qu'il mesure ;
un bon ampèremètre a une résistance faible devant celle de la branche ;
la capacité d'entrée de l'oscilloscope devient gênante en haute fréquence : elle dérive du signal vers la masse.

À retenir

Pour chaîner deux étages sans perturbation, la résistance de sortie du premier doit être petite devant la résistance d'entrée du second.

6Caractéristique d'un dipôle et point de fonctionnement

Définition 6.1Caractéristique

La caractéristique d'un dipôle est la courbe donnant $i$ en fonction de $u$ , ou l'inverse.

Une résistance donne une droite passant par l'origine, de pente $1/R$ .
Une source de Thévenin donne une droite affine.
Une diode donne une courbe fortement non linéaire : courant quasi nul en dessous d'une tension de seuil de l'ordre de $0{,}6 \unite{V}$ pour une diode au silicium, puis croissance très rapide.

Définition 6.2Point de fonctionnement

Quand on associe deux dipôles en série dans une boucle, ils sont parcourus par la même intensité et soumis à la même tension. Le point de fonctionnement est l'intersection des deux caractéristiques tracées dans le même repère.

C'est la méthode graphique à connaître, notamment pour un dipôle non linéaire dont on ne sait pas résoudre l'équation.

Application expérimentale : relever la caractéristique d'un capteur (photorésistance, thermistance, photodiode), et en déduire son point de fonctionnement dans un montage donné.

Méthodes

MéthodeMettre un circuit en équations

Orienter le schéma : une flèche de courant par branche, une flèche de tension par dipôle, une masse choisie.
Compter les inconnues et les équations. Avec $n$ nœuds, on écrit $n-1$ lois des nœuds indépendantes. On complète avec des lois des mailles indépendantes et les relations des dipôles.
Chercher les simplifications avant de calculer : associations série et parallèle, diviseurs, symétries.

MéthodeAppliquer un diviseur de tension

Vérifier qu'aucune branche ne dérive de courant entre les deux résistances.
Écrire alors la formule du diviseur.

MéthodeVérifier l'homogénéité

Vérifier l'homogénéité de chaque résultat :

$RC$ est un temps ;
$L/R$ est un temps ;
$\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ est une pulsation.

MéthodeDipôle non linéaire

Ne pas chercher à résoudre analytiquement.
Tracer les deux caractéristiques.
Lire le point de fonctionnement.

MéthodeMesurer une résistance de sortie ou d'entrée

Résistance de sortie d'un générateur : mesurer la tension à vide, puis la tension sur une charge connue, et remonter à $r$ .
Résistance d'entrée d'un appareil : insérer une résistance connue en série et observer la chute de tension.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Justifier qu'on peut traiter la charge comme une grandeur continue, avec l'argument numérique.
Écrire la condition de validité de l'ARQS en fonction de la taille du circuit et de la fréquence, et l'appliquer numériquement à un cas concret.
Relier la loi des nœuds à la conservation de la charge.
Établir les expressions de l'énergie stockée dans un condensateur et dans une bobine à partir de la puissance reçue.
Démontrer les formules du diviseur de tension et du diviseur de courant, et énoncer leurs conditions d'emploi.
Donner le comportement d'un condensateur et d'une bobine en régime permanent continu, et les propriétés de continuité associées.
Expliquer l'effet de la résistance de sortie d'un générateur basse fréquence et de la résistance d'entrée d'un oscilloscope sur une mesure.
Déterminer graphiquement le point de fonctionnement d'un générateur de Thévenin chargé par une diode.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Continuité des grandeurs électriques. La charge est quantifiée mais un courant usuel transporte plus de 10¹² charges élémentaires par microseconde. Justification exigible, argument numérique.
Intensité comme débit de charge, i = dq/dt à travers une section orientée. Définition exigible.
Condition de l'ARQS. Taille du circuit L très petite devant c/f, longueur d'onde du signal. Exigible, à savoir appliquer numériquement.
Loi des nœuds. Somme algébrique des intensités nulle en un nœud. Exigible, à relier à la conservation de la charge et à l'ARQS.
Loi des mailles. Somme algébrique des tensions nulle le long d'une maille orientée. Exigible, conséquence de l'existence d'un potentiel.
Conventions. Puissance reçue p = u i en convention récepteur, puissance fournie en convention générateur. Exigible.
Relations des dipôles en convention récepteur. u = R i, i = C du/dt, u = L di/dt. Exigibles, avec les ordres de grandeur des composants.
Effet Joule, P = R i² = u²/R, toujours positive. Exigible.
Énergie stockée, ½ C u² et ½ L i². Exigibles avec démonstration.
Continuité de u aux bornes d'un condensateur et de i dans une bobine, tant que les grandeurs restent bornées. Exigible, exploitée au chapitre suivant.
Modèle de Thévenin d'une source réelle, u = e − r i en convention générateur. Exigible.
Associations de deux résistances, série R₁ + R₂, parallèle R₁R₂/(R₁ + R₂). Exigibles.
Diviseur de tension u₁ = u R₁/(R₁ + R₂) sous condition de même intensité. Diviseur de courant i₁ = i R₂/(R₁ + R₂) sous condition de même tension. Exigibles avec démonstration.
Résistances d'entrée et de sortie, ordres de grandeur, GBF 50 Ω, oscilloscope 1 MΩ, voltmètre 10 MΩ. Exigible, avec l'effet sur une mesure.
Point de fonctionnement, intersection de deux caractéristiques. Exigible, méthode graphique.
Hors programme, à signaler si un énoncé les utilise : théorème de Millman, modèle de Norton, théorème de superposition sous forme générale, transformation étoile-triangle. Tous se retrouvent par les lois de Kirchhoff.

Clés de démonstration

Charge continue. Compter les charges transportées par 1 A en 1 µs, soit 10⁻⁶/(1,6 × 10⁻¹⁹) ≈ 6 × 10¹². La granularité est invisible. L'astuce est de choisir la durée la plus courte que l'on mesure et de montrer que le nombre reste énorme.

Loi des nœuds. La charge contenue dans un nœud vaut q, et dq/dt est la somme des intensités entrantes. En ARQS un nœud n'accumule pas de charge, donc dq/dt = 0. L'astuce est de dire que le nœud n'a pas de capacité.

Énergie du condensateur. Écrire la puissance reçue p = u i = u C du/dt, reconnaître la dérivée de ½ C u², intégrer depuis l'état déchargé. Même chemin pour la bobine avec p = L i di/dt. L'astuce est de reconnaître une dérivée de carré.

Diviseur de tension. Même intensité i dans les deux résistances, donc u = (R₁ + R₂) i puis u₁ = R₁ i. L'astuce est de commencer par l'intensité commune, jamais par la tension.

Diviseur de courant. Même tension u sur les deux résistances, i = u/R₁ + u/R₂, puis i₁ = u/R₁. L'astuce est de partir de la tension commune, et de vérifier que la petite résistance prend le gros courant.

Thévenin chargé. Loi des mailles e = r i + R i, donc i = e/(R + r) et u = e R/(R + r). L'astuce est de traiter r comme une résistance ordinaire en série.

Exemples et contre-exemples à connaître

GBF de résistance de sortie 50 Ω sur une charge de 50 Ω. La tension délivrée est la moitié de la tension à vide. Exemple de référence pour la résistance de sortie.
Voltmètre de 10 MΩ mesurant la tension aux bornes d'une résistance de 1 MΩ. L'appareil modifie le circuit de près de 10 %. Contre-exemple à « un voltmètre ne perturbe jamais ».
Ampèremètre branché en dérivation. Sa résistance quasi nulle court-circuite le dipôle. Erreur de câblage classique, souvent fatale au fusible.
Deux résistances très différentes en parallèle, 10 Ω et 10 kΩ. L'équivalent vaut 9,99 Ω, c'est la petite qui commande. En série, 10 010 Ω, c'est la grande.
Diviseur de tension chargé. Brancher un dipôle sur la résistance de sortie du diviseur invalide la formule. Toujours revenir au modèle de Thévenin du diviseur.
Condensateur en régime continu. Aucun courant, il se comporte comme une coupure. La bobine idéale, elle, est un fil. À utiliser pour toute question sur le régime permanent.
Circuit intégré à 3 GHz. La longueur d'onde vaut 10 cm, l'ARQS n'est plus valable à l'échelle d'une carte de quelques centimètres. Contre-exemple aux lois de Kirchhoff.
Pile de 1,5 V et de résistance interne 0,5 Ω en court-circuit. Le courant vaut 3 A, la tension aux bornes est nulle. La source idéale de tension n'existe pas.
Diode dans un circuit. Pas de solution analytique simple, seule la construction graphique du point de fonctionnement répond.

Techniques du chapitre

Orienter avant d'écrire. Une flèche de courant par branche, une flèche de tension par dipôle, la masse choisie. Mini-exercice : résistance R = 100 Ω, flèche de courant de A vers B, u_AB = − 3 V. En convention récepteur i = u_AB/R = − 30 mA. Le courant réel va de B vers A.

Réduire le circuit avant de calculer. Repérer les groupements série et parallèle depuis l'extrémité la plus éloignée de la source. Mini-exercice : R en série avec un groupement parallèle formé d'une branche R et d'une branche 2R + 2R. La seconde branche vaut 4R, en parallèle avec R elle donne 4R/5, total 9R/5.

Vérifier la condition du diviseur. Avant d'écrire u R₁/(R₁ + R₂), s'assurer qu'aucune branche ne prélève de courant entre les deux résistances. Mini-exercice : diviseur 1 kΩ et 1 kΩ sous 10 V, un troisième dipôle de 1 kΩ en dérivation sur la résistance basse. La formule donnerait 5 V, la réalité est 10 × 0,5/1,5 = 3,33 V.

Thévenin vu de deux bornes. Tension à vide pour e, résistance vue avec les sources éteintes pour r, source de tension remplacée par un fil, source de courant par une coupure. Mini-exercice : diviseur R₁, R₂ sous E. e = E R₂/(R₁ + R₂), r = R₁R₂/(R₁ + R₂).

Bilan de puissance. Écrire la puissance fournie par la source et vérifier qu'elle égale la somme des puissances reçues. Mini-exercice : source 12 V, r = 1 Ω, charge 5 Ω. i = 2 A, source fournit 24 W, la charge reçoit 20 W, r dissipe 4 W.

Point de fonctionnement graphique. Tracer la droite de charge i = (E − u)/R dans le repère de la caractéristique du dipôle inconnu. Mini-exercice : E = 5 V, R = 1 kΩ, la droite coupe l'axe des tensions en 5 V et celui des courants en 5 mA. Le point cherché est sur cette droite, là où elle rencontre la courbe.

Homogénéité systématique. RC est un temps, L/R est un temps, u²/R est une puissance. Mini-exercice : R = 1 kΩ, C = 100 nF, RC = 10⁻⁴ s. Toute réponse dimensionnellement fausse est rejetée avant tout calcul.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Validité de l'ARQS

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Dire si l'ARQS s'applique pour une ligne de 300 km à 50 Hz, un montage de paillasse de 50 cm à 10 MHz, un câble de 10 m transportant un signal à 100 MHz.

Technique Comparer la taille du circuit à c/f.

Voir le corrigé

Ligne, λ = c/f = 3 × 10⁸/50 = 6 000 km, L = 300 km, rapport 1/20. ARQS acceptable, avec une marge faible.
Paillasse, λ = 30 m, L = 0,5 m, rapport 1/60. ARQS valable.
Câble, λ = 3 m, L = 10 m, rapport supérieur à 1. L'ARQS est fausse, il faut une description par propagation.

piège : Comparer L à λ sans se demander si le rapport est petit devant 1 ou seulement inférieur à 1. Un rapport 1/20 est déjà limite.

Exercice 2. Résistance équivalente et répartition des courants

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Source idéale E = 5 V alimentant R₁ = 1 kΩ en série avec un groupement parallèle formé de R₂ = 1 kΩ d'une part, et de R₃ = 1 kΩ en série avec R₄ = 1 kΩ d'autre part. Calculer l'intensité débitée et les intensités dans chaque branche.

Technique Réduction puis diviseur de courant.

Voir le corrigé

R₃ + R₄ = 2 kΩ, en parallèle avec R₂ : 2 × 1/3 = 0,667 kΩ.
Résistance totale 1,667 kΩ, intensité débitée i = 5/1 667 = 3,0 mA.
Tension aux bornes du groupement parallèle 5 − 1 × 3 = 2 V.
Dans R₂, 2 mA. Dans la branche R₃R₄, 1 mA. Le diviseur de courant confirme, i₂ = 3 × 2/(1 + 2) = 2 mA.
Vérification, 2 + 1 = 3 mA, loi des nœuds respectée.

piège : Additionner R₂ et R₃ parce qu'elles se touchent sur le schéma. Deux résistances ne sont en série que si aucun nœud ne les sépare.

Exercice 3. Batterie et démarreur

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Batterie e = 12 V, résistance interne r = 0,10 Ω, démarreur modélisé par R = 0,050 Ω. Intensité, tension aux bornes de la batterie, puissances.

Technique Thévenin chargé et bilan de puissance.

Voir le corrigé

i = e/(R + r) = 12/0,15 = 80 A.
Tension aux bornes u = e − r i = 12 − 8 = 4 V. La chute est énorme, c'est pourquoi les phares faiblissent au démarrage.
Puissance reçue par le démarreur R i² = 320 W. Dissipée dans r, 640 W. Fournie par la source idéale, e i = 960 W.
Rendement 320/960 = 1/3. Plus la charge est petite devant r, plus la source chauffe.

piège : Lire 12 V aux bornes de la batterie en charge. La tension à vide n'est pas la tension en charge.

Exercice 4. Diviseur chargé et modèle de Thévenin

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Diviseur R₁ = R₂ = 10 kΩ sous E = 10 V. On branche une charge R_L = 10 kΩ sur R₂. Tension aux bornes de la charge, par deux méthodes.

Technique Association parallèle, puis Thévenin du diviseur.

Voir le corrigé

Méthode directe, R₂ parallèle R_L = 5 kΩ. Diviseur R₁ et 5 kΩ, u = 10 × 5/15 = 3,33 V.
Méthode de Thévenin, tension à vide e = 5 V, résistance vue avec E éteinte r = R₁ parallèle R₂ = 5 kΩ.
Thévenin chargé, u = e R_L/(R_L + r) = 5 × 10/15 = 3,33 V. Les deux méthodes concordent.
Cas limite, R_L ≫ r redonne 5 V. Le diviseur n'est fiable que sur une charge grande devant sa résistance de sortie.

piège : Écrire 5 V par réflexe. Le diviseur à vide ne dit rien du diviseur chargé.

Exercice 5. Pont de Wheatstone et jauge de contrainte

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Quatre résistances R₁, R₂, R₃, R₄ forment deux diviseurs en parallèle sous E, R₁ au-dessus de R₂ et R₃ au-dessus de R₄. On mesure la tension entre les deux points milieux avec un voltmètre idéal. Condition d'équilibre. Puis R₁ = R₂ = R₃ = R et R₄ = R(1 + ε) avec ε ≪ 1, exprimer la tension mesurée.

Technique Deux diviseurs indépendants, car le voltmètre idéal ne prélève aucun courant.

Voir le corrigé

Potentiel du milieu gauche V_A = E R₂/(R₁ + R₂), du milieu droit V_B = E R₄/(R₃ + R₄).
Équilibre V_A = V_B, soit R₂(R₃ + R₄) = R₄(R₁ + R₂), donc R₁R₄ = R₂R₃.
Avec la jauge, V_A = E/2 et V_B = E(1 + ε)/(2 + ε).
u_AB = E[1/2 − (1 + ε)/(2 + ε)] = − E ε/(2(2 + ε)) ≈ − E ε/4.
La tension est proportionnelle à ε, le pont linéarise la mesure. Avec E = 10 V et ε = 10⁻³, on lit 2,5 mV, mesurable.

piège : Appliquer les deux diviseurs sans vérifier que la branche de mesure ne prélève aucun courant. Avec un voltmètre de 10 MΩ et des résistances de 100 Ω, l'approximation est excellente, mais il faut le dire.

Exercice 6. Résistance de sortie d'un GBF

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP, capacité expérimentale

Un GBF délivre à vide une amplitude u₀ = 4,00 V. Sur une charge R = 100 Ω, on lit u = 2,67 V. Déterminer sa résistance de sortie r. Proposer une méthode sans calcul.

Technique Thévenin chargé, puis inversion.

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À vide, u₀ = e. En charge, u = e R/(R + r).
r = R(u₀/u − 1) = 100 × (1,50 − 1) = 50 Ω.
Méthode de la demi-tension, ajuster une résistance variable jusqu'à lire u₀/2, alors R = r.
Contrôle, l'oscilloscope qui mesure u présente 1 MΩ, négligeable devant 100 Ω. La mesure de u₀ n'est pas perturbée non plus.

piège : Mesurer u₀ avec un appareil de résistance d'entrée comparable à r. Ici 1 MΩ contre 50 Ω, aucun risque, mais la vérification fait partie de la réponse.

Exercice 7. Perturbation d'une mesure de tension

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Diviseur R₁ = R₂ = 1 MΩ sous E = 10 V. Tension aux bornes de R₂ lue avec un voltmètre de 10 MΩ, puis avec un oscilloscope de 1 MΩ.

Technique L'appareil est une résistance en parallèle sur R₂.

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Valeur théorique 5,00 V.
Voltmètre, R₂ parallèle 10 MΩ = 0,909 MΩ, u = 10 × 0,909/1,909 = 4,76 V. Erreur 4,8 %.
Oscilloscope, R₂ parallèle 1 MΩ = 0,5 MΩ, u = 10 × 0,5/1,5 = 3,33 V. Erreur 33 %.
Règle, la mesure est correcte si la résistance d'entrée est grande devant la résistance de Thévenin vue par l'appareil, ici 0,5 MΩ.

piège : Comparer la résistance d'entrée à R₂ seule. C'est la résistance de Thévenin du montage, R₁ parallèle R₂, qui compte.

Exercice 8. Puissance maximale transmise

Classiques de khôlle et concours · Type écrit e3a

Source de Thévenin (e, r) chargée par une résistance R variable. Pour quelle valeur de R la puissance reçue par R est-elle maximale ? Rendement dans ce cas.

Technique Expression de la puissance puis étude de fonction.

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i = e/(R + r), P = R i² = e² R/(R + r)².
Dérivée par rapport à R proportionnelle à (R + r)² − 2R(R + r) = (R + r)(r − R). Elle s'annule pour R = r, maximum car P tend vers 0 aux deux extrémités.
P_max = e²/(4r). Avec e = 4 V et r = 50 Ω, 80 mW.
Rendement P/(e i) = R/(R + r) = 1/2 à l'optimum.
Cas limite, R → ∞ donne un rendement de 1 mais une puissance nulle. Maximiser la puissance et maximiser le rendement sont deux objectifs distincts.

piège : Croire qu'une charge très grande reçoit beaucoup de puissance parce que la tension est maximale. Le courant s'effondre.

Exercice 9. Point de fonctionnement d'une diode électroluminescente

Approfondissement · Type oral Centrale

Source E = 5,0 V, résistance R = 220 Ω en série avec une diode électroluminescente. On modélise la diode par un courant nul si u < U_s = 2,0 V, et par u = U_s + r_d i au-delà, avec r_d = 10 Ω. Déterminer le point de fonctionnement, graphiquement puis par le calcul. Que se passe-t-il si E = 1,5 V ?

Technique Droite de charge et caractéristique linéaire par morceaux.

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Droite de charge i = (E − u)/R, elle passe par (5 V, 0) et (0, 22,7 mA).
Caractéristique de la diode, segment horizontal i = 0 jusqu'à 2 V, puis droite de pente 1/r_d très raide.
L'intersection est sur la branche passante. Loi des mailles E = R i + U_s + r_d i, donc i = (E − U_s)/(R + r_d) = 3/230 = 13 mA.
Tension aux bornes de la diode 2,13 V, puissance reçue 28 mW. R limite le courant, sans elle i serait fixé par r_d seule, 300 mA, destructeur.
Si E = 1,5 V < U_s, la droite de charge ne coupe la caractéristique que sur la branche i = 0. La diode reste éteinte.

piège : Chercher le point de fonctionnement en résolvant une équation avec la mauvaise branche de la caractéristique. Vérifier après coup que u > U_s.

Exercice 10. Réseau en échelle infini

Approfondissement · Type écrit Mines

Une échelle infinie répète le motif suivant, une résistance R en série puis une résistance R en dérivation. Déterminer la résistance équivalente vue de l'entrée.

Technique Argument d'invariance, retirer un motif ne change pas l'échelle.

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Soit R_éq la résistance de l'échelle vue de l'entrée. Après le premier motif, ce qui reste est encore une échelle infinie, de résistance R_éq.
Donc R_éq = R + (R parallèle R_éq) = R + R R_éq/(R + R_éq).
Multiplier par (R + R_éq), R_éq² − R R_éq − R² = 0.
Racine positive R_éq = R(1 + √5)/2 ≈ 1,62 R. La racine négative est rejetée, une résistance est positive.
Contrôle, R_éq est comprise entre R, échelle sans dérivation infinie, et 2R, cas d'un seul motif ouvert en sortie.

piège : Oublier de justifier l'existence de la limite. En khôlle, on admet que l'échelle tronquée à n motifs converge, et on le vérifie numériquement sur les premiers termes, 2R, 1,67R, 1,625R.

Erreurs fréquentes

Changer d'orientation en cours de calcul. La flèche de courant choisie au départ est celle de tout le calcul, un signe négatif final est une information, pas une faute.
Appliquer un diviseur de tension à deux résistances qui ne portent pas la même intensité. Chercher toujours la branche qui dérive du courant.
Confondre tension à vide et tension en charge d'une source réelle.
Croiser les indices dans le diviseur de courant. Le courant dans R₁ est proportionnel à R₂, la petite résistance prend le plus de courant.
Oublier que l'appareil de mesure est un dipôle. Un voltmètre se met en parallèle et doit être très résistant, un ampèremètre en série et doit être très peu résistant.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique de PCSI (2021), premier semestre, thème 1 « ondes et signaux », partie 1.2 « Signaux électriques dans l'ARQS ». Elle couvre les grandeurs électriques, les lois de Kirchhoff, les dipôles linéaires, les associations et les notions de résistance d'entrée et de sortie. Les régimes transitoires font l'objet des chapitres suivants.

Signaux électriques dans l'ARQS

Résumé en cinq points

1Grandeurs électriques

1.1Charge et intensité

1.2Potentiel, tension

1.3Puissance et conventions

1.4Approximation des régimes quasi stationnaires

2Lois de Kirchhoff

2.1Loi des nœuds

2.2Loi des mailles

3Dipôles linéaires

3.1Relations courant-tension

3.2Continuité, comportement limite

3.3Énergie

3.4Sources

4Associations et diviseurs

4.1Résistances équivalentes

4.2Diviseur de tension

4.3Diviseur de courant

5Résistance d'entrée, résistance de sortie

6Caractéristique d'un dipôle et point de fonctionnement

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Validité de l'ARQS

Exercice 2. Résistance équivalente et répartition des courants

Exercice 3. Batterie et démarreur

Exercice 4. Diviseur chargé et modèle de Thévenin

Exercice 5. Pont de Wheatstone et jauge de contrainte

Exercice 6. Résistance de sortie d'un GBF

Exercice 7. Perturbation d'une mesure de tension

Exercice 8. Puissance maximale transmise

Exercice 9. Point de fonctionnement d'une diode électroluminescente

Exercice 10. Réseau en échelle infini

Erreurs fréquentes

Au concours