Le cours

Résumé en cinq points

Un oscillateur harmonique obéit à $\dfrac{\dd^2 x}{\dd t^2} + \omega_0^2 x = 0$ , sa période est indépendante de l'amplitude et son énergie se conserve.
Amorti, il obéit à $\dfrac{\dd^2 x}{\dd t^2} + \dfrac{\omega_0}{Q}\dfrac{\dd x}{\dd t} + \omega_0^2 x = 0$ . Le facteur de qualité $Q$ décide de tout.
$Q > 1/2$ donne un régime pseudo-périodique avec environ $Q$ oscillations visibles, $Q = 1/2$ le régime critique le plus rapide, $Q < 1/2$ un régime apériodique lent.
En régime sinusoïdal forcé, la représentation complexe ramène le circuit à des impédances, $\underline{Z}_R = R$ , $\underline{Z}_C = \dfrac{1}{\ii C\omega}$ , $\underline{Z}_L = \ii L\omega$ , qui s'associent comme des résistances.
La résonance en intensité existe toujours et se produit à $\omega_0$ , avec une bande passante $\dfrac{\omega_0}{Q}$ . La résonance en élongation n'existe que si $Q > \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ et se produit en dessous de $\omega_0$ .

Pourquoi ce chapitre

L'oscillateur amorti est le modèle le plus réutilisé de la physique de prépa. Le programme traite simultanément le circuit RLC et l'oscillateur mécanique, pour que l'analogie formelle soit visible. Une seule équation, deux lectures.

Le cœur du chapitre tient en deux paramètres :

la pulsation propre $\omega_0$ , qui fixe l'échelle de temps des oscillations ;
le facteur de qualité $Q$ , qui fixe la nature du régime transitoire, la durée d'amortissement et l'acuité de la résonance.

L'autre apport est la représentation complexe, qui transforme une équation différentielle en une équation algébrique. Cet outil sert ensuite en filtrage, en induction, en optique ondulatoire et en mécanique quantique.

1Oscillateur harmonique

1.1Les deux exemples de référence

Propriété 1.1Circuit LC

Hypothèses

bobine idéale d'inductance $L$ en série avec un condensateur de capacité $C$ ;
$u$ est la tension aux bornes du condensateur.

Alors la loi des mailles $L\,\dfrac{\dd i}{\dd t} + u = 0$ avec $i = C\,\dfrac{\dd u}{\dd t}$ donne $\frac{\dd^2 u}{\dd t^2} + \omega_0^2\,u = 0, \quad \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}.$

Propriété 1.2Oscillateur mécanique

Hypothèses

masse $m$ accrochée à un ressort de raideur $k$ ;
support horizontal sans frottement ;
$x$ est l'écart à la position d'équilibre.

Alors la deuxième loi de Newton $m\,\dfrac{\dd^2 x}{\dd t^2} = -kx$ donne $\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} + \omega_0^2\,x = 0, \quad \omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}.$

Définition 1.3Équation de l'oscillateur harmonique

Une équation est celle d'un oscillateur harmonique quand elle a la forme « dérivée seconde plus constante positive fois la grandeur égale zéro ». La constante positive est $\omega_0^2$ .

1.2Solution et vocabulaire

Propriété 1.4Solution de l'oscillateur harmonique

La solution s'écrit $x(t) = X_m\cos(\omega_0 t + \varphi),$ ou de façon équivalente $A\cos(\omega_0 t) + B\sin(\omega_0 t)$ .

Définition 1.5Vocabulaire

$X_m$ est l'amplitude ;
$\varphi$ est la phase à l'origine ;
$\omega_0$ est la pulsation, en $\unite{rad.s^{-1}}$ ;
$T_0 = \dfrac{2\pi}{\omega_0}$ est la période ;
$f_0 = \dfrac{1}{T_0}$ est la fréquence, en hertz.

Il y a deux constantes d'intégration, donc deux conditions initiales : la position et la vitesse à $t = 0$ . Pour le circuit LC, ce sont la tension initiale du condensateur et l'intensité initiale dans la bobine, toutes deux obtenues par continuité.

Propriété 1.6Isochronisme

La période ne dépend pas de l'amplitude. C'est la propriété d'isochronisme, caractéristique du caractère linéaire de la force de rappel. Elle tombe en défaut hors de l'approximation linéaire, par exemple pour un pendule de grande amplitude.

Exemple 1.7Ordres de grandeur

$L = 100 \unite{mH}$ et $C = 100 \unite{nF}$ : $\omega_0 = 10^4 \unite{rad.s^{-1}}$ , soit $f_0 \approx 1{,}6 \unite{kHz}$ .
$k = 10 \unite{N.m^{-1}}$ et $m = 100 \unite{g}$ : $\omega_0 = 10 \unite{rad.s^{-1}}$ , soit $T_0 \approx 0{,}63 \unite{s}$ .
Pendule simple de $1 \unite{m}$ : $T_0 \approx 2 \unite{s}$ .

1.3Bilan énergétique

Propriété 1.8Conservation de l'énergie

Pour l'oscillateur mécanique, $E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2$ . En dérivant et en utilisant l'équation du mouvement, on trouve $\dfrac{\dd E}{\dd t} = 0$ .

Pour le circuit LC, $E = \frac{1}{2}Li^2 + \frac{1}{2}Cu^2$ , et le même calcul donne $\dfrac{\dd E}{\dd t} = 0$ .

L'énergie se conserve : elle oscille entre forme cinétique et forme potentielle à la pulsation $2\omega_0$ , donc deux fois plus vite que la position. L'analogie est complète : la bobine joue le rôle de l'inertie et le condensateur celui du ressort.

Définition 1.9Table d'analogie

$x$ correspond à la charge $q$ ;
la vitesse correspond à l'intensité $i$ ;
la masse $m$ correspond à l'inductance $L$ ;
la raideur $k$ correspond à $1/C$ ;
la force de frottement fluide correspond à la résistance $R$ .

2Oscillateur amorti en régime libre

2.1Forme canonique

Propriété 2.1Équations du RLC série et de l'oscillateur amorti

Pour le circuit RLC série, la loi des mailles $L\,\dfrac{\dd i}{\dd t} + Ri + u = 0$ avec $i = C\,\dfrac{\dd u}{\dd t}$ donne $\frac{\dd^2 u}{\dd t^2} + \frac{R}{L}\frac{\dd u}{\dd t} + \frac{u}{LC} = 0.$ Pour l'oscillateur mécanique amorti par un frottement fluide de force $-\alpha v$ , $\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} + \frac{\alpha}{m}\frac{\dd x}{\dd t} + \frac{k}{m}\,x = 0.$

Définition 2.2Forme canonique

La forme canonique commune est $\frac{\dd^2 x}{\dd t^2} + \frac{\omega_0}{Q}\frac{\dd x}{\dd t} + \omega_0^2\,x = 0,$ où $Q$ est le facteur de qualité, sans dimension.

Propriété 2.3Identification de $\omega_0$ et $Q$

RLC série : $\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ et $Q = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{L}{C}}$ , soit aussi $Q = \dfrac{L\omega_0}{R} = \dfrac{1}{RC\omega_0}$ .
Oscillateur mécanique : $\omega_0 = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$ et $Q = \dfrac{m\omega_0}{\alpha} = \dfrac{\sqrt{km}}{\alpha}$ .

Le facteur de qualité est d'autant plus grand que l'amortissement est faible. Un $Q$ élevé signifie un oscillateur qui oscille longtemps.

Exemple 2.4Ordres de grandeur de $Q$

Circuit RLC de travaux pratiques avec $L = 100 \unite{mH}$ , $C = 100 \unite{nF}$ et $R = 100 \unite{\Omega}$ : $Q = 10$ .
Un quartz d'horloge atteint $Q$ de l'ordre de $10^5$ .
Un amortisseur de voiture est réglé au voisinage du régime critique, $Q$ de l'ordre de $0{,}5$ .

2.2Nature de la réponse

On cherche les solutions en $\e^{rt}$ , ce qui donne le polynôme caractéristique $r^2 + \frac{\omega_0}{Q}\,r + \omega_0^2 = 0.$ Son discriminant vaut $\Delta = \omega_0^2\left(\dfrac{1}{Q^2} - 4\right)$ . Le signe de $\Delta$ est entièrement fixé par la comparaison de $Q$ à $1/2$ .

Propriété 2.5Régime pseudo-périodique

Hypothèse : $Q > 1/2$ , donc $\Delta < 0$ .

Alors les racines sont complexes conjuguées, $r = -\frac{\omega_0}{2Q} \pm \ii\omega, \quad \omega = \omega_0\sqrt{1 - \frac{1}{4Q^2}}.$ La solution est une sinusoïde de pulsation $\omega$ dont l'amplitude décroît en $\e^{-\omega_0 t/(2Q)}$ . Le système oscille en s'amortissant. On a $\omega < \omega_0$ : l'amortissement ralentit les oscillations, et $\omega$ tend vers $\omega_0$ quand $Q$ est grand.

Propriété 2.6Régime critique

Hypothèse : $Q = 1/2$ , donc $\Delta = 0$ .

Alors la racine double est $r = -\omega_0$ et la solution s'écrit $(A + Bt)\,\e^{-\omega_0 t}$ . Il n'y a pas d'oscillation, et c'est le régime qui rejoint le plus vite la position finale. C'est le réglage recherché pour un amortisseur ou un instrument de mesure à aiguille.

Propriété 2.7Régime apériodique

Hypothèse : $Q < 1/2$ , donc $\Delta > 0$ .

Alors il y a deux racines réelles négatives et la solution est la somme de deux exponentielles décroissantes. Il n'y a pas d'oscillation. Le retour à l'équilibre est d'autant plus lent que $Q$ est petit, car la racine la plus faible en valeur absolue domine.

Remarque

Dans les trois cas, la partie réelle des racines est strictement négative dès que l'amortissement est non nul : le régime libre s'éteint toujours.

2.3Durée du régime transitoire

Propriété 2.8Durée en régime pseudo-périodique

L'enveloppe décroît avec la constante de temps $\tau = \dfrac{2Q}{\omega_0}$ . La durée du transitoire est de quelques $\tau$ , soit environ $\dfrac{10\,Q}{\omega_0}$ . Comme la pseudo-période vaut à peu près $T_0$ , le nombre d'oscillations visibles avant extinction est de l'ordre de $Q$ .

Propriété 2.9Durée en régime très amorti

Hypothèse : $Q \ll 1/2$ .

Alors la racine lente vaut approximativement $-\omega_0 Q$ et la durée du transitoire est de l'ordre de $\dfrac{1}{\omega_0 Q}$ , d'autant plus longue que $Q$ est petit.

AttentionRégime le plus rapide

La durée est minimale au voisinage du régime critique. La réponse la plus rapide n'est pas la moins amortie.

2.4Approche énergétique

Propriété 2.10Énergie d'un oscillateur amorti

Pour l'oscillateur mécanique amorti, $\dfrac{\dd E}{\dd t} = -\alpha v^2$ . Pour le RLC, $\dfrac{\dd E}{\dd t} = -Ri^2$ .

Dans les deux cas $\dfrac{\dd E}{\dd t}$ est négatif : l'énergie décroît de façon monotone, ce qui interdit tout mouvement non borné et impose le retour à l'équilibre.

Cette lecture énergétique permet de prévoir le comportement sans résoudre l'équation, ce que le programme demande explicitement.

3Impédances complexes

3.1Notation complexe

En régime sinusoïdal forcé établi, toutes les grandeurs oscillent à la pulsation $\omega$ de l'excitation. À un signal réel $x(t) = X_m\cos(\omega t + \varphi)$ on associe le complexe $\underline{x} = X_m\,\e^{\ii(\omega t + \varphi)}$ , dont le module est l'amplitude et l'argument la phase. Dériver revient à multiplier par $\ii\omega$ , intégrer revient à diviser par $\ii\omega$ .

Définition 3.1Impédance complexe

L'impédance complexe d'un dipôle est $\underline{Z} = \dfrac{\underline{u}}{\underline{i}}$ en notation complexe, en convention récepteur.

Propriété 3.2Les trois impédances

Résistance : $\underline{Z} = R$ , réelle, tension et courant en phase.
Condensateur : $\underline{Z} = \dfrac{1}{\ii C\omega}$ , de module $\dfrac{1}{C\omega}$ ; le courant est en avance de $\pi/2$ sur la tension.
Bobine : $\underline{Z} = \ii L\omega$ , de module $L\omega$ ; le courant est en retard de $\pi/2$ sur la tension.

À retenir

En basse fréquence, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert et la bobine comme un fil. En haute fréquence, c'est l'inverse.

3.2Associations

Propriété 3.3Associations d'impédances

Les impédances s'associent comme les résistances.

En série : $\underline{Z}_{\text{eq}} = \underline{Z}_1 + \underline{Z}_2$ .
En parallèle : $\dfrac{1}{\underline{Z}_{\text{eq}}} = \dfrac{1}{\underline{Z}_1} + \dfrac{1}{\underline{Z}_2}$ .

Les diviseurs de tension et de courant restent valables avec les mêmes conditions d'emploi. La structure des calculs de circuit résistif est intégralement conservée.

4Régime sinusoïdal forcé et résonance

4.1Mise en place

On alimente un RLC série par une tension $e(t) = E_m\cos(\omega t)$ . Le régime libre s'éteint après quelques $\tau$ , il ne reste que le régime forcé, sinusoïdal à la pulsation $\omega$ . Le système oscille à la pulsation imposée par l'excitation, pas à sa pulsation propre.

L'impédance totale vaut $\underline{Z} = R + \ii\left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right).$

4.2Résonance en intensité

L'amplitude du courant vaut $I_m = \frac{E_m}{|\underline{Z}|} = \frac{E_m}{\sqrt{R^2 + \left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)^2}}.$

Propriété 4.1Résonance en intensité

Hypothèse : RLC série en régime sinusoïdal forcé, quel que soit $Q$ .

Alors $I_m$ est maximale quand la partie imaginaire s'annule, soit $L\omega = \dfrac{1}{C\omega}$ , c'est-à-dire $\omega = \omega_0$ . La résonance en intensité existe donc toujours et se produit exactement à la pulsation propre. À la résonance, l'impédance est purement réelle et vaut $R$ , l'amplitude du courant vaut $E_m/R$ , et le courant est en phase avec la tension d'excitation.

Définition 4.2Bande passante à $-3\,\mathrm{dB}$

La bande passante à $-3\,\mathrm{dB}$ est l'ensemble des pulsations pour lesquelles $I_m > I_{\max}/\sqrt{2}$ . Sa largeur vaut $\Delta\omega = \dfrac{\omega_0}{Q}$ .

Plus $Q$ est grand, plus la résonance est aiguë. La relation $Q = \dfrac{\omega_0}{\Delta\omega}$ permet de mesurer $Q$ sur un graphe expérimental.

4.3Résonance en tension aux bornes du condensateur, ou en élongation

L'amplitude de la tension aux bornes du condensateur, ou de façon analogue l'amplitude de l'élongation de l'oscillateur mécanique, ne se comporte pas comme le courant.

Propriété 4.3Résonance en élongation

Cette résonance n'existe que si $Q > \dfrac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}71$ . Dans ce cas elle a lieu à la pulsation $\omega_r = \omega_0\sqrt{1 - \frac{1}{2Q^2}},$ strictement inférieure à $\omega_0$ . Si $Q \leqslant \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ , l'amplitude décroît de façon monotone avec $\omega$ et il n'y a pas de résonance.

Pour $Q$ grand, $\omega_r$ tend vers $\omega_0$ et l'amplitude à la résonance vaut environ $Q$ fois l'amplitude en régime continu. Le facteur de qualité mesure donc directement le facteur de surtension.

Exemple 4.4Surtension

Avec $Q = 10$ et une excitation de $5 \unite{V}$ , la tension aux bornes du condensateur atteint environ $50 \unite{V}$ . Cela surprend souvent en travaux pratiques et impose de vérifier les tenues en tension.

AttentionDeux seuils différents

$Q = 1/2$ sépare les régimes transitoires oscillants et non oscillants.
$Q = 1/\sqrt{2}$ conditionne l'existence d'une résonance en élongation.

Les confondre est l'erreur classique.

4.4Déphasage

Propriété 4.5Déphasage de l'élongation

Le déphasage de la réponse par rapport à l'excitation passe de $0$ en basse fréquence à $-\pi$ en haute fréquence pour l'élongation, en passant par $-\pi/2$ exactement à $\omega = \omega_0$ , quelle que soit la valeur de $Q$ .

Cette propriété donne une mesure de $\omega_0$ bien plus précise que la recherche du maximum d'amplitude, car la courbe de phase est raide au voisinage de $\omega_0$ alors que le sommet d'une résonance est plat.

5Capacités expérimentales

MéthodeAcquisition d'un transitoire du second ordre

Utiliser un générateur basse fréquence en signal carré, de demi-période grande devant la durée du transitoire, un circuit RLC série et un oscilloscope.
Faire varier $R$ : on observe le passage du régime pseudo-périodique au régime apériodique et on repère le régime critique.
Mesurer $Q$ par le décrément logarithmique, en relevant le rapport de deux maxima successifs de l'enveloppe.

MéthodeCaractérisation d'une résonance

Balayer la fréquence en gardant l'amplitude d'excitation constante, ce qu'il faut vérifier à chaque point car la résistance de sortie du générateur charge le circuit.
Relever l'amplitude et le déphasage.
Lire $\omega_0$ au maximum de la courbe d'intensité ou au passage par $-\pi/2$ de la phase.
Déduire $Q$ par la largeur de bande.

RemarqueSimilitude mécanique-électronique

On met en évidence que les deux systèmes obéissent à la même équation en superposant les courbes réduites, amplitude normalisée en fonction de $\omega/\omega_0$ .

Méthodes

MéthodeInterpréter une équation d'oscillateur

Écrire l'équation sous forme canonique avant toute interprétation.
Identifier $\omega_0$ et $Q$ par comparaison terme à terme.
Pour la nature du régime libre, comparer $Q$ à $1/2$ .
Pour l'existence d'une résonance en élongation, comparer $Q$ à $1/\sqrt{2}$ .

MéthodeRégime forcé

Ne jamais résoudre l'équation différentielle.
Passer en complexes.
Écrire un diviseur de tension avec les impédances.

MéthodeVérifier un comportement

Vérifier les comportements limites en basse et haute fréquence avant de commenter une courbe : ils donnent gratuitement les asymptotes.

MéthodeBilan énergétique

Dériver l'énergie.
Utiliser l'équation du mouvement.
Le terme dissipatif apparaît toujours comme un carré.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Établir l'équation de l'oscillateur harmonique pour le circuit LC et pour le système masse-ressort, la résoudre avec des conditions initiales données.
Mettre l'équation du RLC série sous forme canonique et identifier $\omega_0$ et $Q$ , puis faire de même pour l'oscillateur mécanique amorti.
Discuter la nature du régime libre selon $Q$ en passant par le polynôme caractéristique, et donner la pseudo-pulsation.
Donner un ordre de grandeur de la durée du régime transitoire dans les trois régimes et expliquer pourquoi le régime critique est le plus rapide.
Établir les trois impédances complexes et retrouver leurs comportements en basse et haute fréquence.
Étudier la résonance en intensité d'un RLC série, donner la pulsation de résonance et la bande passante.
Dire à quelle condition il y a résonance en élongation, donner $\omega_r$ , et expliquer le phénomène de surtension.
Expliquer comment déterminer $\omega_0$ et $Q$ à partir de graphes expérimentaux d'amplitude et de phase.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Équation de l'oscillateur harmonique d²x/dt² + ω₀²x = 0, avec ω₀ = 1/√(LC) pour le circuit LC et ω₀ = √(k/m) pour la masse-ressort. Exigible avec démonstration.
Solution x = X_m cos(ω₀t + φ) ou A cos ω₀t + B sin ω₀t, deux constantes fixées par les conditions initiales. Exigible. Isochronisme, la période ne dépend pas de l'amplitude.
Conservation de l'énergie, E = ½mv² + ½kx² ou ½Li² + ½Cu², dE/dt = 0. Exigible avec démonstration.
Forme canonique de l'oscillateur amorti, d²x/dt² + (ω₀/Q)dx/dt + ω₀²x = 0. Pour le RLC série, Q = (1/R)√(L/C). Pour la mécanique avec frottement −αv, Q = √(km)/α. Exigible avec démonstration.
Polynôme caractéristique r² + (ω₀/Q)r + ω₀² = 0, discriminant ω₀²(1/Q² − 4). Trois régimes : pseudo-périodique pour Q > 1/2, critique pour Q = 1/2, apériodique pour Q < 1/2. Exigible avec démonstration.
Pseudo-pulsation ω = ω₀√(1 − 1/(4Q²)), enveloppe en exp(−ω₀t/(2Q)), durée du transitoire de l'ordre de 2Q/ω₀ à quelques unités près, environ Q oscillations visibles. Exigible.
Bilan d'énergie amorti, dE/dt = −αv² ou −Ri², toujours négatif. Exigible avec démonstration.
Continuité de u_C et de i_L, qui fixent les conditions initiales. Exigible.
Impédances Z_R = R, Z_C = 1/(jCω), Z_L = jLω, association série et parallèle. Exigibles avec démonstration.
Résonance en intensité du RLC série à ω = ω₀ pour tout Q, I_max = E_m/R, bande passante Δω = ω₀/Q, phase nulle à la résonance. Exigible avec démonstration.
Résonance en tension aux bornes de C, ou en élongation, seulement si Q > 1/√2, à ω_r = ω₀√(1 − 1/(2Q²)), amplitude voisine de QE_m pour Q grand. Exigible, le calcul de ω_r peut être demandé.
Phase de u_C par rapport à e égale à −π/2 exactement à ω₀, quel que soit Q. Exigible.
Hors programme signalé : réponse à une excitation quelconque par transformée ou par produit de convolution, oscillateur paramétrique, couplage de deux oscillateurs, non-linéarités.

Clés de démonstration

Forme canonique du RLC. Loi des mailles L di/dt + Ri + u = e avec i = C du/dt, division par LC. Comparaison terme à terme avec la forme canonique : ω₀² = 1/(LC), ω₀/Q = R/L. L'astuce : diviser par le coefficient de la dérivée seconde avant d'identifier.

Nature du régime. Solutions en e^rt, polynôme caractéristique. Δ = (ω₀/Q)² − 4ω₀² = ω₀²(1/Q² − 4), négatif si et seulement si Q > 1/2. L'astuce : tout se lit sur le signe de 1/Q² − 4.

Bilan d'énergie. On multiplie l'équation m x'' + αx' + kx = 0 par x'. Le terme m x'x'' est la dérivée de ½mx'², le terme kxx' celle de ½kx², il reste −αx'². L'astuce : multiplier par la vitesse fait apparaître des dérivées de carrés.

Résonance en intensité. I = E/(R + j(Lω − 1/(Cω))), module maximal quand la partie imaginaire s'annule. Bande passante : |Z|² = 2R² donne Lω − 1/(Cω) = ±R, soit x − 1/x = ±1/Q avec x = ω/ω₀, deux racines positives dont la différence vaut 1/Q. L'astuce : les deux équations du second degré ont des racines dont la différence se calcule sans les résoudre, par produit des racines égal à −1.

Résonance en u_C. H = u_C/e = 1/(1 − x² + jx/Q). Le module est maximal quand (1 − x²)² + x²/Q² est minimal, dérivée en x² nulle pour x² = 1 − 1/(2Q²), qui n'existe que si Q > 1/√2. L'astuce : dériver par rapport à X = x², pas par rapport à x.

Exemples et contre-exemples à connaître

L = 100 mH, C = 100 nF, R = 100 Ω : ω₀ = 10⁴ rad/s, f₀ = 1,6 kHz, Q = 10. La référence de travaux pratiques.
Même circuit avec R = 2 kΩ : Q = 1/2, régime critique. Avec R = 10 kΩ : Q = 0,1, apériodique, retour lent.
Q = 0,6 : le régime libre oscille, mais il n'y a aucune résonance en tension aux bornes de C, car 0,6 < 0,71. Contre-exemple à « oscille donc résonne ».
Le régime critique est le plus rapide. Un amortissement plus faible oscille longtemps, un amortissement plus fort traîne. Contre-exemple à « moins d'amortissement, plus vite ».
Q = 10, E_m = 5 V : u_C atteint environ 50 V à la résonance. Un condensateur prévu pour 25 V claque.
Bobine réelle avec résistance interne r : elle s'ajoute à R dans Q. Un « RLC sans résistance » n'existe pas, et Q ne dépasse pas quelques dizaines en pratique.
Pendule simple de grande amplitude : la période croît avec l'amplitude, l'isochronisme tombe. L'oscillateur harmonique est un modèle linéaire.
Le régime forcé se fait à la pulsation de l'excitation, jamais à ω₀. Contre-exemple à « le circuit oscille à sa fréquence propre ».
Bande passante 160 Hz à f₀ = 1,6 kHz pour Q = 10, 16 Hz pour Q = 100. La sélectivité d'un récepteur radio est un facteur de qualité.

Techniques du chapitre

Technique 1, forme canonique avant tout. Mini-exercice : 3x'' + 12x' + 300x = 0. Division par 3 : x'' + 4x' + 100x = 0, ω₀ = 10 rad/s, ω₀/Q = 4 donc Q = 2,5, pseudo-périodique.

Technique 2, conditions initiales par continuité. Mini-exercice : RLC série, condensateur chargé à E, interrupteur fermé à t = 0. u(0⁺) = E par continuité de u_C, i(0⁺) = 0 par continuité de i_L, donc u'(0⁺) = i/C = 0. Deux conditions pour deux constantes.

Technique 3, lire Q sur un relevé. Mini-exercice : deux maxima successifs de l'enveloppe dans le rapport 0,73. Le rapport vaut exp(−ω₀T/(2Q)) ≈ exp(−π/Q) pour Q grand, d'où Q ≈ π/ln(1/0,73) = 10.

Technique 4, comportements limites avant tout calcul. Mini-exercice : pont diviseur R, C série, sortie sur C. Basse fréquence, C est un interrupteur ouvert, sortie égale à l'entrée. Haute fréquence, C est un fil, sortie nulle. C'est un passe-bas, sans avoir écrit H.

Technique 5, diviseur de tension en complexes. Mini-exercice : RLC série, sortie sur R. H = R/(R + j(Lω − 1/(Cω))) = 1/(1 + jQ(x − 1/x)). Module 1 à x = 1, phase nulle, c'est la résonance en intensité vue sur la tension aux bornes de R.

Technique 6, mesurer ω₀ sur la phase. Mini-exercice : sur le relevé de u_C, on cherche la fréquence où le déphasage avec e vaut −π/2, indépendante de Q, plus précise que le maximum d'amplitude, qui est plat et décalé.

Technique 7, énergie pour prévoir sans résoudre. Mini-exercice : masse-ressort avec frottement fluide, lâchée sans vitesse à x₀. E décroît strictement tant que v ≠ 0, elle est minorée par 0, donc elle converge et le mobile finit à l'équilibre, quelle que soit la valeur de Q.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Circuit LC et conditions initiales

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

L = 10 mH, C = 10 nF, condensateur chargé sous E = 5 V, bobine idéale, fermeture à t = 0. Établir l'équation, donner u(t) et i(t), amplitude du courant, vérifier la conservation de l'énergie.

Technique Loi des mailles, continuité, énergie.

Voir le corrigé

L di/dt + u = 0 et i = C du/dt donnent u'' + u/(LC) = 0, ω₀ = 1/√(10⁻² × 10⁻⁸) = 10⁵ rad/s, f₀ = 15,9 kHz.
u = A cos ω₀t + B sin ω₀t. u(0) = E donne A = E, i(0) = 0 donne B = 0. u = E cos ω₀t.
i = C du/dt = −Cω₀E sin ω₀t, amplitude Cω₀E = 10⁻⁸ × 10⁵ × 5 = 5 mA.
½Cu² + ½Li² = ½CE²(cos² + LCω₀² sin²) = ½CE², constante, 1,25 × 10⁻⁷ J. L'énergie passe du condensateur à la bobine à la pulsation 2ω₀.

piège : Prendre i(0) = E/R par réflexe de premier ordre. Ici la bobine impose i(0⁺) = i(0⁻) = 0.

Exercice 2. Régimes du RLC série

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

L = 100 mH, C = 100 nF. Pour R = 100 Ω, nature du régime, pseudo-période, durée du transitoire, nombre d'oscillations visibles. Valeur de R pour le régime critique. Pour R = 10 kΩ, ordre de grandeur de la durée du retour à l'équilibre.

Technique Forme canonique, Q, discussion.

Voir le corrigé

ω₀ = 10⁴ rad/s, Q = (1/R)√(L/C) = (1/100) × 1 000 = 10 > 1/2, pseudo-périodique.
ω = ω₀√(1 − 1/400) ≈ 0,998 7 ω₀, T ≈ 2π/ω₀ = 0,63 ms. Enveloppe en exp(−t/τ) avec τ = 2Q/ω₀ = 2 ms, transitoire de 3τ à 5τ, soit 6 à 10 ms, une dizaine d'oscillations, c'est Q.
Q = 1/2 pour R = 2√(L/C) = 2 000 Ω.
R = 10 kΩ, Q = 0,1. Racines r = −(ω₀/2Q)(1 ± √(1 − 4Q²)), soit −ω₀ × 5(1 ± 0,98), la racine lente vaut environ −ω₀Q = −10³ s⁻¹, durée de l'ordre de 5/(ω₀Q) = 5 ms. Plus lent que le critique, pour lequel 5/ω₀ = 0,5 ms.

piège : Croire que plus R est grand, plus le circuit s'arrête vite. Au-delà du critique, c'est l'inverse.

Exercice 3. Masse-ressort vertical

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Masse m = 200 g suspendue à un ressort de raideur k = 20 N/m, sans frottement. Position d'équilibre, équation du mouvement pour l'écart z à cet équilibre. On tire de 5,0 cm vers le bas et on lâche. Mouvement, vitesse maximale, énergie mécanique.

Technique Écart à l'équilibre, le poids disparaît de l'équation.

Voir le corrigé

Équilibre : k Δl_eq = mg, Δl_eq = 0,2 × 9,8/20 = 9,8 cm.
Avec z compté depuis l'équilibre vers le bas, m z'' = mg − k(Δl_eq + z) = −kz. Donc z'' + ω₀²z = 0, ω₀ = √(k/m) = 10 rad/s, T₀ = 0,63 s.
z(0) = 5,0 cm, z'(0) = 0 donnent z = 5,0 cos(10t) en cm. Vitesse maximale ω₀ z_max = 0,50 m/s.
E = ½kz_max² = 0,5 × 20 × (0,05)² = 25 mJ, en prenant pour référence l'énergie potentielle totale à l'équilibre.

piège : Garder mg dans l'équation avec un z compté depuis la longueur à vide, puis chercher une solution sinusoïdale centrée en zéro. L'oscillation se fait autour de l'équilibre, pas autour de la longueur à vide.

Exercice 4. Réponse d'un RLC à un échelon

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

RLC série de l'exercice 2 avec R = 100 Ω, condensateur déchargé, on applique E = 5 V à t = 0. Établir u_C(t). Valeur du premier maximum, instant où il est atteint, durée pour rester à moins de 5 % de E.

Technique Solution particulière constante plus solution homogène, conditions initiales.

Voir le corrigé

u'' + (ω₀/Q)u' + ω₀²u = ω₀²E. Solution particulière u = E. Solution générale u = E + e^−t/τ(A cos ωt + B sin ωt), τ = 2Q/ω₀ = 2 ms, ω ≈ ω₀.
u(0) = 0 donne A = −E. u'(0) = 0 donne −A/τ + Bω = 0, B = −E/(ωτ) = −E/(2Q) = −0,25 V, négligeable devant A.
u ≈ E[1 − e^−t/τcos(ω₀t)]. Premier maximum pour ω₀t = π, t = 0,31 ms, u = E(1 + e^−π/(2Q)) = E × 1,85 = 9,3 V. Dépassement de 85 %.
L'enveloppe vaut 5 % pour e^−t/τ = 0,05, t = 3τ = 6 ms, une dizaine d'oscillations.
Pour Q = 1/2, pas de dépassement, u = E[1 − (1 + ω₀t)e^−ω₀t], à 5 % en 4,7/ω₀ = 0,47 ms. Le critique est bien le plus rapide.

piège : Écrire u(0) = E parce que « on applique E ». La tension du condensateur est continue, elle part de 0.

Exercice 5. Amortisseur et régime critique

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Un quart de voiture est modélisé par une masse m = 300 kg sur un ressort de raideur k = 3,0 × 10⁴ N/m et un amortisseur de coefficient α. Pulsation propre. Valeur de α pour le régime critique. Après un dos-d'âne qui donne à la masse une vitesse initiale v₀ = 0,5 m/s depuis l'équilibre, écrire z(t) en régime critique et donner l'élongation maximale. Que se passe-t-il si l'amortisseur est usé, α divisé par 4 ?

Technique Régime critique, solution (A + Bt)e^−ω₀t.

Voir le corrigé

ω₀ = √(k/m) = 10 rad/s, f₀ = 1,6 Hz, la fréquence de rebond d'une voiture.
Q = √(km)/α = 1/2 donne α = 2√(km) = 2 × 3 000 = 6,0 × 10³ kg/s.
z = (A + Bt)e^−ω₀t, z(0) = 0 donne A = 0, z'(0) = v₀ donne B = v₀. z = v₀ t e^−ω₀t, maximal en t = 1/ω₀ = 0,1 s, z_max = v₀/(eω₀) = 1,8 cm, puis retour sans rebond.
α/4 donne Q = 2, régime pseudo-périodique, deux oscillations visibles environ, la voiture rebondit et la tenue de route se dégrade. C'est le test de l'amortisseur : on appuie sur l'aile et on compte les rebonds.

piège : Confondre α, en kg/s, et Q, sans dimension. Vérifier la dimension de α = 2√(km) : N/m × kg = kg²/s², racine en kg/s.

Exercice 6. Impédance et courant hors résonance

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

RLC série de l'exercice 2, R = 100 Ω, Q = 10, alimenté par e = E_m cos ωt avec E_m = 5 V. Donner l'impédance en fonction de x = ω/ω₀, puis l'amplitude et la phase du courant pour x = 1, x = 2 et x = 0,9.

Technique Z = R[1 + jQ(x − 1/x)].

Voir le corrigé

Z = R + j(Lω − 1/(Cω)) = R[1 + jQ(x − 1/x)], car Lω₀/R = 1/(RCω₀) = Q.
x = 1 : Z = R, I_m = E_m/R = 50 mA, courant en phase avec e.
x = 2 : Q(x − 1/x) = 15, |Z| = R√226 = 1,50 kΩ, I_m = 3,3 mA. Phase du courant −arctan 15 = −86°, retard quasi maximal, comportement inductif.
x = 0,9 : Q(x − 1/x) = 10(0,9 − 1,111) = −2,11, |Z| = R√(1 + 4,46) = 234 Ω, I_m = 21 mA, phase +65°, courant en avance, comportement capacitif.
À 10 % de ω₀, l'amplitude est déjà divisée par 2,4. La largeur relative de résonance est bien 1/Q = 10 %.

piège : Oublier que la phase du courant est l'opposé de l'argument de Z.

Exercice 7. Résonance en tension aux bornes du condensateur

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Même circuit. Fonction de transfert u_C/e. Existe-t-il une résonance ? Pulsation et amplitude de résonance. Comparer pour Q = 10 et Q = 0,6. Déphasage à ω₀.

Technique H = 1/(1 − x² + jx/Q), minimisation du dénominateur.

Voir le corrigé

Diviseur de tension : H = Z_C/(Z_R + Z_L + Z_C) = 1/(1 − LCω² + jRCω) = 1/(1 − x² + jx/Q).
|H|⁻² = (1 − x²)² + x²/Q² = X² + X(1/Q² − 2) + 1 avec X = x². Minimum en X = 1 − 1/(2Q²), qui n'est positif que si Q > 1/√2.
Q = 10 : x_r = √(1 − 0,005) = 0,997 5, ω_r = 9 975 rad/s. |H|_max = 1/(x_r/Q × √(1 − x_r² … )) ≈ Q/√(1 − 1/(4Q²)) = 10,01. Amplitude 50 V pour E_m = 5 V.
Q = 0,6 : X = 1 − 1,39 < 0, pas de résonance, |H| décroît de 1 à 0 de façon monotone.
À x = 1, H = −jQ, déphasage −π/2 quel que soit Q, amplitude exactement QE_m. C'est la fréquence qu'on mesure sur la courbe de phase.

piège : Confondre les seuils 1/2 et 1/√2. Le premier concerne le régime libre, le second la résonance en élongation.

Exercice 8. Oscillateur mécanique forcé et lecture des graphes

Approfondissement · Type écrit Centrale

Une masse m sur un ressort k, freinée par −αv, est soumise à F = F₀ cos ωt. Établir l'amplitude de l'élongation en régime forcé. Sur un relevé expérimental, l'amplitude maximale vaut 8,2 fois l'élongation statique F₀/k et le déphasage vaut −π/2 à 2,4 Hz. Déterminer ω₀ et Q. Pente de la courbe de phase à ω₀.

Technique Analogie complète avec u_C, puis exploitation des graphes.

Voir le corrigé

m x'' + αx' + kx = F₀ cos ωt, forme canonique x'' + (ω₀/Q)x' + ω₀²x = (F₀/m) cos ωt. En complexes, x = (F₀/k)/(1 − x² + jx/Q) avec x = ω/ω₀ : même fonction que u_C/e.
Le déphasage −π/2 se produit exactement à ω₀, donc f₀ = 2,4 Hz, ω₀ = 15 rad/s, sans hypothèse sur Q.
Amplitude maximale Q/√(1 − 1/(4Q²)) fois l'élongation statique. 8,2 donne Q ≈ 8,2 à 0,2 % près, car la correction vaut 1/(8Q²).
Phase φ = −arctan[(x/Q)/(1 − x²)] prolongée continûment. Près de x = 1, on écrit φ = −π/2 + arctan[Q(1 − x²)/x], dont la dérivée en x = 1 vaut −2Q. Donc dφ/dω = −2Q/ω₀.
Pour Q = 8,2, une variation de 1 % de ω change la phase de 0,16 rad, soit 9°, alors que l'amplitude ne varie que de 1 %. La phase est le meilleur instrument de mesure de ω₀.

piège : Lire ω₀ au maximum d'amplitude. Ce maximum est en ω_r < ω₀ et il est plat.

Exercice 9. Décrément logarithmique et mesure de Q

Approfondissement · Type oral Mines

Sur l'oscillogramme du régime libre d'un RLC, on lit les maxima successifs 4,00 V, 2,92 V, 2,13 V, 1,56 V, et une pseudo-période de 0,628 ms. Déterminer Q et ω₀, puis L et C sachant que R = 100 Ω, résistance de la bobine comprise.

Technique Rapport des maxima, exp(−T/τ).

Voir le corrigé

Rapports successifs 0,730, 0,729, 0,732, constants, ce qui confirme une enveloppe exponentielle. ln(1/0,730) = 0,315 = T/τ.
τ = 0,628/0,315 = 2,0 ms. Avec τ = 2Q/ω₀ et T = 2π/(ω₀√(1 − 1/(4Q²))) : au premier ordre T/τ = π/Q, Q = 10. La correction en 1/(8Q²) est de 0,1 %, invisible ici.
ω₀ = 2Q/τ = 1,0 × 10⁴ rad/s.
Q = Lω₀/R donne L = QR/ω₀ = 100 mH, puis C = 1/(Lω₀²) = 100 nF.

piège : Mesurer une seule pseudo-période et un seul rapport. Sur quatre maxima, on vérifie la constance du rapport, ce qui valide le modèle linéaire.

Erreurs fréquentes

Identifier ω₀ et Q sans avoir divisé par le coefficient de la dérivée seconde.
Prendre des conditions initiales fausses : u_C et i_L sont continus, i_C et u_L ne le sont pas.
Confondre Q = 1/2, seuil d'oscillation du régime libre, et Q = 1/√2, seuil d'existence de la résonance en élongation.
Résoudre l'équation différentielle en régime sinusoïdal forcé au lieu de passer en complexes, et oublier que la réponse a la pulsation de l'excitation.
Oublier le signe moins entre la phase du courant et l'argument de l'impédance, ou lire ω₀ au maximum d'amplitude de u_C au lieu du passage de la phase par −π/2.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique de PCSI (2021), premier semestre, thème 1 « ondes et signaux », partie 1.4 « Oscillateurs libres et forcés ». Elle couvre l'oscillateur harmonique, le circuit RLC série et l'oscillateur mécanique amorti, les impédances complexes et le régime sinusoïdal forcé avec la résonance.