Le cours

Résumé en cinq points

Tout se passe sur un ouvert, c'est-à-dire un ensemble où chaque point dispose d'un petit disque autour de lui.
Une dérivée partielle se calcule en figeant l'autre variable, mais leur existence seule ne garantit même pas la continuité. La bonne classe est $C^1$ , définie par la continuité des dérivées partielles.
Pour $f$ de classe $C^1$ , l'accroissement s'approche par le produit scalaire du gradient avec le déplacement, ce qui donne le plan tangent.
La règle de la chaîne dérive une composée le long d'un arc, et montre que le gradient est orthogonal aux lignes de niveau.
Sur un ouvert, un extremum local est un point critique, mais un point critique peut être un point selle, et les critères d'ordre deux sont hors programme.

Pourquoi ce chapitre

Presque toutes les grandeurs physiques dépendent de plusieurs paramètres : une température dépend de deux coordonnées d'espace, une énergie dépend d'une position et d'une vitesse. Il faut donc savoir dériver par rapport à chaque variable, et savoir dériver une composée, ce que fait la règle de la chaîne. C'est l'outil de base des changements de variables en physique et en mathématiques.

Le chapitre installe aussi :

le gradient, vecteur qui rassemble les dérivées partielles, pointe dans la direction de plus forte croissance et est orthogonal aux lignes de niveau ;
la condition nécessaire d'extremum sur un ouvert, le point critique, analogue exact du cas d'une variable.

Tout sera repris et généralisé en deuxième année.

1Ouverts de KXF0FXK

1.1Norme et boules

On munit $\R^2$ de la norme euclidienne canonique.

Définition 1.1Norme et distance

Pour un point $u = (x, y)$ , la norme de $u$ est $\norm{u} = \sqrt{x^2 + y^2}$ . La distance entre deux points est la norme de leur différence : c'est la distance usuelle du plan.

Définition 1.2Boules

La boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r > 0$ est l'ensemble des points $u$ tels que $\norm{u - a} < r$ . C'est un disque sans son bord. La boule fermée est définie avec l'inégalité large $\norm{u - a} \leqslant r$ : c'est le disque avec son bord.

1.2Ouverts

Définition 1.3Ouvert

Une partie $U$ de $\R^2$ est un ouvert si, pour tout point $a$ de $U$ , il existe $r > 0$ tel que la boule ouverte de centre $a$ et de rayon $r$ soit contenue dans $U$ .

Autrement dit, on peut se déplacer un peu dans toutes les directions à partir de n'importe quel point sans sortir de $U$ .

Exemple 1.4Ouverts

$\R^2$ tout entier et l'ensemble vide sont des ouverts.
Toute boule ouverte est un ouvert.
Un demi-plan défini par une inégalité stricte, comme $x > 0$ , est un ouvert.
L'ensemble des points où une fonction continue est strictement positive est un ouvert.

Exemple 1.5Contre-exemples

Une boule fermée n'est pas un ouvert : un point du bord n'admet aucune boule contenue dedans. Un segment, un cercle, une droite ne sont pas des ouverts de $\R^2$ .

Toute la suite est écrite sur un ouvert, car c'est la condition qui permet de faire varier chaque variable librement autour d'un point, donc de dériver.

Attention

Sur un domaine avec bord, les résultats d'extremum de la section « Extremums » ne s'appliquent pas au bord.

1.3Continuité

Définition 1.6Continuité

Soit $f$ définie sur un ouvert $U$ de $\R^2$ , à valeurs dans $\R$ . Elle est continue en un point $a$ de $U$ si $f(u)$ tend vers $f(a)$ quand $u$ tend vers $a$ , la proximité étant mesurée par la norme euclidienne. Elle est continue sur $U$ si elle l'est en tout point.

Les fonctions construites à partir des coordonnées par sommes, produits, quotients à dénominateur non nul et composition avec des fonctions usuelles continues sont continues. Cela suffit en pratique : l'étude fine de la continuité n'est pas un objectif du programme, elle est introduite uniquement en vue du calcul différentiel.

Définition 1.7Graphe et ligne de niveau

Le graphe d'une fonction de deux variables est la surface d'équation $z = f(x, y)$ dans l'espace. Une ligne de niveau est l'ensemble des points où $f$ prend une valeur donnée, analogue des courbes de niveau d'une carte topographique.

2Dérivées partielles

2.1Définition

Définition 2.1Dérivées partielles

Soit $f$ définie sur un ouvert $U$ et $a = (x_0, y_0)$ un point de $U$ . La dérivée partielle de $f$ par rapport à $x$ en $a$ est, quand elle existe, la dérivée en $x_0$ de la fonction d'une variable $x \mapsto f(x, y_0)$ . On la note $\dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)$ . De même pour $\dfrac{\partial f}{\partial y}$ , en figeant $x$ .

En pratique, on dérive par rapport à une variable en traitant l'autre comme une constante.

Exemple 2.2

Pour $f(x, y) = x^2 y + \sin(x + y)$ : $\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} &= 2xy + \cos(x + y),\\ \frac{\partial f}{\partial y} &= x^2 + \cos(x + y). \end{aligned}$

Attention

L'existence des deux dérivées partielles en un point n'entraîne pas la continuité en ce point. Les dérivées partielles ne regardent que deux directions, les axes, et ne disent rien du comportement le long des autres directions. Ce décalage avec le cas d'une variable est explicitement mentionné par le programme.

2.2Fonctions de classe $C^1$

Définition 2.3Classe $C^1$

Une fonction $f$ est de classe $C^1$ sur un ouvert $U$ si ses deux dérivées partielles existent en tout point de $U$ et sont continues sur $U$ .

C'est cette définition, et non la différentiabilité, qui est au programme.

Propriété 2.4Continuité des fonctions $C^1$

Toute fonction de classe $C^1$ sur un ouvert est continue sur cet ouvert.

Cela règle le problème du piège précédent. Les fonctions polynomiales en deux variables, les fractions rationnelles sur leur domaine, et toutes les compositions usuelles sont de classe $C^1$ .

Remarque

Les dérivées partielles d'ordre deux ne sont pas au programme de PCSI, et le théorème de Schwarz non plus. Ils seront vus en deuxième année.

2.3Développement limité à l'ordre 1

Théorème 2.5Développement limité à l'ordre 1

Hypothèses

$f$ est de classe $C^1$ sur un ouvert $U$ ;
$(x_0, y_0)$ appartient à $U$ .

Alors, quand $(h, k) \to (0, 0)$ : $\begin{aligned} f(x_0 + h, y_0 + k) &= f(x_0, y_0)\\ &\quad + h\,\frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)\\ &\quad + k\,\frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)\\ &\quad + o(\norm{(h, k)}). \end{aligned}$ Démonstration hors programme.

C'est l'approximation affine de $f$ au voisinage du point. La partie linéaire en $(h, k)$ est la meilleure approximation linéaire de l'accroissement $f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0, y_0)$ .

Propriété 2.6Plan tangent

Avec $z_0 = f(x_0, y_0)$ , la surface d'équation $z = f(x, y)$ admet au point considéré un plan tangent, d'équation $\begin{aligned} z - z_0 &= \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x - x_0)\\ &\quad + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y - y_0). \end{aligned}$

2.4Gradient

Définition 2.7Gradient

Le gradient de $f$ en $(x_0, y_0)$ , noté $\nabla f(x_0, y_0)$ , est le vecteur de $\R^2$ dont les composantes sont les deux dérivées partielles en ce point.

Avec cette notation, le développement limité s'écrit, où $\langle\cdot,\cdot\rangle$ est le produit scalaire canonique de $\R^2$ : $\begin{aligned} f(x_0 + h, y_0 + k) &= f(x_0, y_0)\\ &\quad + \langle \nabla f(x_0, y_0), (h, k)\rangle\\ &\quad + o(\norm{(h, k)}). \end{aligned}$

Le gradient indique la direction dans laquelle $f$ croît le plus vite, et sa norme donne le taux de croissance dans cette direction. Cela se voit sur le produit scalaire, maximal à norme fixée quand le vecteur est colinéaire et de même sens que le gradient, par le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz.

Exemple 2.8

Pour $f(x, y) = x^2 + y^2$ , le gradient en $(x, y)$ est $(2x, 2y)$ , soit deux fois le vecteur position. Il pointe vers l'extérieur, ce qui est cohérent : la fonction croît quand on s'éloigne de l'origine. En l'origine, le gradient est nul.

3Dérivée selon un vecteur et règle de la chaîne

3.1Dérivée selon un vecteur

Définition 3.1Dérivée selon un vecteur

Soit $f$ de classe $C^1$ sur un ouvert, $a$ un point de cet ouvert et $u$ un vecteur de $\R^2$ . La dérivée de $f$ en $a$ selon $u$ est la dérivée en $0$ de la fonction $t \mapsto f(a + tu)$ , bien définie pour $t$ assez petit puisque l'ouvert contient une boule autour de $a$ .

Théorème 3.2Dérivée selon un vecteur

Cette dérivée vaut $\langle \nabla f(a), u\rangle$ .

En prenant pour $u$ les vecteurs de la base canonique, on retrouve les deux dérivées partielles : c'est une généralisation.

3.2Règle de la chaîne, cas d'un arc

Théorème 3.3Règle de la chaîne

Hypothèses

$x$ et $y$ sont deux fonctions de classe $C^1$ de $t$ , à valeurs réelles ;
$f$ est de classe $C^1$ sur un ouvert contenant les points $(x(t), y(t))$ .

Alors $t \mapsto f(x(t), y(t))$ est de classe $C^1$ et $\begin{aligned} \frac{\dd}{\dd t} f(x(t), y(t)) &= \frac{\partial f}{\partial x}(x(t), y(t))\,x'(t)\\ &\quad + \frac{\partial f}{\partial y}(x(t), y(t))\,y'(t). \end{aligned}$

Avec le gradient : si $\gamma$ est l'arc défini par $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ , de vecteur dérivé $\gamma'(t) = (x'(t), y'(t))$ , alors $(f \circ \gamma)'(t) = \langle \nabla f(\gamma(t)), \gamma'(t)\rangle.$ On l'interprète comme la dérivée de $f$ le long de l'arc.

Propriété 3.4Gradient et lignes de niveau

Le gradient de $f$ est orthogonal aux lignes de niveau de $f$ .

Démonstration

Si $\gamma$ est un arc tracé sur une ligne de niveau, alors $f \circ \gamma$ est constante, donc sa dérivée est nulle. Ainsi le gradient est orthogonal au vecteur tangent.

La direction de plus forte croissance est perpendiculaire aux directions où rien ne varie.

3.3Règle de la chaîne, cas de deux variables

Théorème 3.5Règle de la chaîne à deux variables

Sous les hypothèses appropriées de classe $C^1$ , si $\varphi$ et $\psi$ sont deux fonctions de deux variables, la fonction $(u, v) \mapsto f(\varphi(u, v), \psi(u, v))$ admet des dérivées partielles données par la même règle : $\begin{aligned} \frac{\partial}{\partial u} &= \frac{\partial f}{\partial x}\,\frac{\partial \varphi}{\partial u}\\ &\quad + \frac{\partial f}{\partial y}\,\frac{\partial \psi}{\partial u}, \end{aligned}$ où les dérivées de $f$ sont évaluées au point image. Formule analogue pour $v$ .

Exemple 3.6Coordonnées polaires

On pose $x = r\cos\theta$ , $y = r\sin\theta$ et $g(r, \theta) = f(r\cos\theta, r\sin\theta)$ . Alors $\begin{aligned} \frac{\partial g}{\partial r} &= \cos\theta\,\frac{\partial f}{\partial x} + \sin\theta\,\frac{\partial f}{\partial y},\\ \frac{\partial g}{\partial \theta} &= -r\sin\theta\,\frac{\partial f}{\partial x}\\ &\quad + r\cos\theta\,\frac{\partial f}{\partial y}. \end{aligned}$ Ces deux formules sont le point de départ de tous les exercices de changement de variables.

Attention

Quand on change de variables, il faut distinguer la fonction $f$ et la fonction composée $g$ , et préciser en quel point chaque dérivée partielle est évaluée. Écrire les deux fonctions avec la même lettre est la source d'erreur numéro un.

Exemple 3.7Application type

Chercher les fonctions $f$ de classe $C^1$ telles que $\dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial f}{\partial y}$ . On pose $u = x + y$ et $v = x - y$ , on exprime les dérivées partielles de la composée, et l'équation devient une condition sur une seule variable, que l'on intègre.

4Extremums

4.1Définitions

Définition 4.1Extremums

Soit $f$ définie sur une partie $A$ de $\R^2$ et $a$ un point de $A$ . La fonction $f$ admet en $a$ :

un maximum global sur $A$ si $f(u) \leqslant f(a)$ pour tout $u$ de $A$ ;
un maximum local s'il existe une boule ouverte centrée en $a$ sur laquelle cette inégalité est vraie.

Définitions analogues pour les minimums. Un extremum est un maximum ou un minimum.

Global entraîne local, la réciproque est fausse.

4.2Points critiques

Définition 4.2Point critique

Un point critique de $f$ , fonction de classe $C^1$ sur un ouvert, est un point où le gradient est nul, c'est-à-dire où les deux dérivées partielles s'annulent simultanément.

Théorème 4.3Condition nécessaire d'extremum

Hypothèses

$f$ est de classe $C^1$ sur un ouvert $U$ ;
$f$ admet un extremum local en un point $a$ de $U$ .

Alors $a$ est un point critique de $f$ .

Démonstration

Les fonctions partielles $x \mapsto f(x, y_0)$ et $y \mapsto f(x_0, y)$ sont dérivables et admettent un extremum local en un point intérieur à leur intervalle de définition, puisque $U$ est ouvert. Leur dérivée y est donc nulle, ce qui est exactement l'annulation des deux dérivées partielles.

Attention

Deux hypothèses sont cruciales. L'ouvert : sinon un extremum peut être atteint au bord sans que le gradient s'annule, comme pour $f(x, y) = x$ sur le disque fermé. Et le caractère $C^1$ , qui donne l'existence des dérivées partielles.

4.3La réciproque est fausse

Un point critique n'est pas nécessairement un extremum.

Exemple 4.4Point selle

Pour $f(x, y) = x^2 - y^2$ , le gradient est $(2x, -2y)$ , qui s'annule seulement en l'origine. Pourtant $f$ vaut $x^2 > 0$ sur l'axe des abscisses et $-y^2 < 0$ sur l'axe des ordonnées, arbitrairement près de l'origine. Il n'y a donc ni maximum ni minimum. On parle de point selle, ou point col, la surface ayant la forme d'une selle de cheval.

Les critères d'ordre deux ne sont pas au programme de PCSI. On étudie donc le signe de $f(a + h) - f(a)$ à la main, par factorisation, par une inégalité, ou en se restreignant à des directions bien choisies pour prouver qu'il n'y a pas d'extremum.

Exemple 4.5

Pour $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x$ , le gradient est $(2x - 2, 2y)$ et le seul point critique est $(1, 0)$ . On écrit $f(x, y) = (x - 1)^2 + y^2 - 1,$ qui est toujours supérieur ou égal à $-1$ , avec égalité seulement en $(1, 0)$ . C'est donc un minimum global.

Méthodes

MéthodeCalculer une dérivée partielle

Figer l'autre variable.
Dériver comme en première année.
Vérifier que le domaine est bien un ouvert.

MéthodeObtenir un plan tangent

Calculer le gradient au point.
Écrire l'équation affine du plan tangent.

MéthodeChanger de variables

Écrire explicitement la composée.
Appliquer la règle de la chaîne terme à terme.
Garder trace des points d'évaluation.

MéthodeDirection de plus forte pente et ligne de niveau

Calculer le gradient : il donne la direction de plus forte pente.
Pour une ligne de niveau, se rappeler que le gradient lui est orthogonal, ce qui donne aussi la tangente à la ligne de niveau.

MéthodeChercher des extremums sur un ouvert

Résoudre le système des deux dérivées partielles nulles.
Étudier chaque point critique séparément, par l'étude directe du signe de l'accroissement.

MéthodeExtremums sur un domaine fermé borné

Traiter l'intérieur par les points critiques.
Traiter le bord séparément, souvent par paramétrage, ce qui ramène à une fonction d'une variable.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Définir une boule ouverte et un ouvert de $\R^2$ , et décider si un ensemble donné est ouvert.
Calculer les dérivées partielles et le gradient d'une fonction explicite, et donner l'équation du plan tangent.
Énoncer le développement limité à l'ordre 1 d'une fonction de classe $C^1$ , avec le reste en $o(\norm{(h, k)})$ .
Expliquer pourquoi l'existence des dérivées partielles n'entraîne pas la continuité.
Démontrer que la dérivée selon un vecteur est le produit scalaire du gradient par ce vecteur.
Appliquer la règle de la chaîne à un arc, et en déduire que le gradient est orthogonal aux lignes de niveau.
Effectuer le passage en coordonnées polaires et exprimer les dérivées partielles de la fonction composée.
Démontrer que tout extremum local sur un ouvert est un point critique, et donner un point critique qui n'est pas un extremum.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PCSI (2021), deuxième semestre, section « Fonctions de deux variables ». Le point de vue du programme est essentiellement pratique, l'objectif étant de manier les dérivées partielles et la règle de la chaîne, et de développer une vision géométrique. Toute extension théorique est hors programme, en particulier la notion de fonction différentiable.

Fonctions de deux variables

Résumé en cinq points

1Ouverts de KXF0FXK

1.1Norme et boules

1.2Ouverts

1.3Continuité

2Dérivées partielles

2.1Définition

2.2Fonctions de classe C1C^1C1

2.3Développement limité à l'ordre 1

2.4Gradient

3Dérivée selon un vecteur et règle de la chaîne

3.1Dérivée selon un vecteur

3.2Règle de la chaîne, cas d'un arc

3.3Règle de la chaîne, cas de deux variables

4Extremums

4.1Définitions

4.2Points critiques

4.3La réciproque est fausse

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

2.2Fonctions de classe $C^1$