Le cours

Résumé en cinq points

Un ensemble est au plus dénombrable si on peut énumérer ses éléments par des indices entiers. $\N$ , $\Z$ , $\N^2$ et $\Q$ le sont, et les parties, produits finis et unions dénombrables d'ensembles dénombrables le restent.
Pour une famille de réels positifs, la somme existe toujours dans $[0, +\infty]$ , ne dépend d'aucun ordre, et la sommation par paquets est toujours licite. La famille est sommable quand cette somme est finie.
Une famille complexe est sommable quand la famille des modules l'est. Pour $I = \N$ , cela équivaut exactement à la convergence absolue de la série.
En cas de sommabilité, on dispose de la croissance, de la linéarité, de la sommation par paquets, du théorème de Fubini et de la formule du produit de deux sommes.
Sans sommabilité, l'interversion de deux sommations est fausse en général. Le seul cas où l'on n'a rien à vérifier est celui des termes positifs.

Pourquoi ce chapitre

Pour parler de probabilités discrètes, il faut savoir sommer une infinité de termes indexés par un ensemble qui n'est pas forcément $\N$ . Une variable aléatoire peut prendre ses valeurs dans $\Z$ , dans $\N^2$ , dans l'ensemble des couples d'entiers. Une somme sur un tel ensemble n'a pas d'ordre naturel, donc la notion de série ne suffit plus. Ce court chapitre installe deux outils.

D'abord le vocabulaire de la dénombrabilité, qui dit quels ensembles d'indices sont acceptables.
Ensuite la notion de famille sommable, qui généralise la convergence absolue et permet de sommer dans n'importe quel ordre, de regrouper par paquets, d'intervertir deux sommations et de multiplier deux sommes.

C'est ce dont on aura besoin pour les lois conjointes, la formule des probabilités totales, l'espérance et la formule de transfert.

1Ensembles au plus dénombrables

1.1Définitions

Définition 1.1Ensemble dénombrable

Un ensemble est dénombrable s'il est en bijection avec $\N$ . Il est au plus dénombrable s'il est en bijection avec une partie de $\N$ , ce qui revient à dire qu'il est fini ou dénombrable.

Propriété 1.2Formulation pratique

Un ensemble $E$ est au plus dénombrable si et seulement si on peut l'écrire en extension sous la forme $\{x_i,\ i \in I\}$ , où $I$ est $\N$ ou une partie de $\N$ , avec des $x_i$ deux à deux distincts. Autrement dit, on peut énumérer ses éléments.

1.2Exemples et règles

Exemple 1.3Ensembles dénombrables

Sont dénombrables :

$\N$ , $\N$ privé de $0$ , l'ensemble des entiers pairs ;
$\Z$ ;
$\N^2$ , et plus généralement un produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables ;
$\Q$ .

Propriété 1.4Règles à connaître

Toute partie d'un ensemble au plus dénombrable est au plus dénombrable.
Un produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables est dénombrable.
Une union au plus dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable.

Exemple 1.5Idée pour $\Z$

On énumère $0, 1, -1, 2, -2$ , et ainsi de suite, ce qui fournit une bijection avec $\N$ .

Exemple 1.6Idée pour $\N^2$

On énumère les couples par diagonales successives, c'est-à-dire par valeur croissante de la somme des deux coordonnées, puis dans l'ordre de la première coordonnée à somme fixée. Aucune formule explicite n'est exigible.

Remarque

Hors programme, pour la culture. $\R$ n'est pas dénombrable. C'est pour cela que les variables aléatoires à densité, qui prennent leurs valeurs dans $\R$ , sortent du cadre discret et sont hors programme en PC.

2Somme d'une famille de réels positifs

Le programme admet sans soulever de difficulté les deux points suivants.

Propriété 2.1Somme d'une famille positive

Pour toute famille au plus dénombrable $(x_i)_{i \in I}$ d'éléments de $[0, +\infty]$ , on sait associer sa somme $\sum_{i \in I} x_i \in [0, +\infty]$ . Cette somme ne dépend d'aucun ordre d'énumération.

Résultat admis.

Propriété 2.2Sommation par paquets

Hypothèses

$I$ est la réunion d'une famille au plus dénombrable de parties $I_n$ deux à deux disjointes ;
les $x_i$ sont dans $[0, +\infty]$ .

Alors $\sum_{i \in I} x_i = \sum_{n=0}^{+\infty} \Big( \sum_{i \in I_n} x_i \Big).$

Résultat admis.

Définition 2.3Famille sommable positive

La famille $(x_i)$ d'éléments de $[0, +\infty]$ est sommable si sa somme est finie.

Cas particulier important : si $I = \N$ , la somme des $x_n$ coïncide avec la somme de la série à termes positifs $\sum x_n$ , finie ou infinie. La sommabilité équivaut donc à la convergence de cette série. Cela fait le pont entre le langage des séries et celui des familles.

À retenir

Dans le cas positif, on peut découper en paquets, calculer et majorer les sommes directement : la finitude du résultat vaut preuve de sommabilité.

Exemple 2.4Somme des $1/2^{i+j}$ sur $\N^2$

On découpe $\N^2$ en paquets indexés par $i$ . Le paquet numéro $i$ donne $\sum_{j=0}^{+\infty} \frac{1}{2^{i+j}} = \frac{2}{2^i}.$ En sommant sur $i$ , on obtient $4$ . La famille est donc sommable, de somme $4$ .

3Familles sommables de nombres complexes

3.1Définition et critères

Définition 3.1Famille sommable complexe

Une famille $(x_i)$ au plus dénombrable de nombres complexes est sommable si la famille des modules $(\abs{x_i})$ l'est, c'est-à-dire si $\sum \abs{x_i}$ est finie. On peut alors parler de la somme des $x_i$ , qui est un nombre complexe.

Lien avec les séries. Pour $I = \N$ , la sommabilité d'une suite équivaut à la convergence absolue de la série associée, et la somme de la famille est la somme de la série.

Propriété 3.2Critère de domination

Hypothèses

$\abs{x_i} \leqslant y_i$ pour tout $i \in I$ ;
la famille $(y_i)$ est sommable.

Alors la famille $(x_i)$ est sommable.

Attention

Sommable est l'analogue exact de absolument convergente, jamais de convergente. Une série convergente non absolument convergente, comme celle de terme général $(-1)^n/n$ , ne donne pas une famille sommable. C'est normal : sa somme dépend de l'ordre de sommation, donc une somme sans ordre n'aurait pas de sens.

3.2Règles de manipulation

En cas de sommabilité, les sommes se manipulent naturellement grâce aux propriétés suivantes, toutes admises.

Propriété 3.3Croissance

Pour des familles réelles sommables, si $x_i \leqslant y_i$ pour tout $i$ , alors $\sum x_i \leqslant \sum y_i$ .

Propriété 3.4Linéarité

Hypothèses

$(x_i)$ et $(y_i)$ sont sommables ;
$\lambda$ et $\mu$ sont des scalaires.

Alors $(\lambda x_i + \mu y_i)$ est sommable et $\sum (\lambda x_i + \mu y_i) = \lambda \sum x_i + \mu \sum y_i.$

Propriété 3.5Sommation par paquets

Hypothèses

$I$ est la réunion d'une famille au plus dénombrable de parties $I_n$ deux à deux disjointes ;
$(x_i)$ est sommable sur $I$ .

Alors chaque sous-famille est sommable et la somme totale est la somme des sommes par paquets.

Théorème 3.6Théorème de Fubini

Hypothèses

$(x_{i,j})$ est une famille double indexée par $I \times J$ ;
elle est sommable.

Alors on peut sommer d'abord en $i$ puis en $j$ , ou d'abord en $j$ puis en $i$ , et on obtient le même résultat.

C'est le cas particulier de la sommation par paquets où l'on découpe par lignes ou par colonnes.

Propriété 3.7Produit de deux sommes

Hypothèses

$(x_i)$ indexée par $I$ est sommable ;
$(y_j)$ indexée par $J$ est sommable.

Alors la famille des produits $x_i y_j$ indexée par $I \times J$ est sommable, et $\sum_{(i,j)} x_i y_j = \Big(\sum_i x_i\Big)\Big(\sum_j y_j\Big).$

3.3Exemples

Exemple 3.8Avec Fubini

Considérons $x_{i,j} = \dfrac{1}{2^i 3^j}$ pour $(i, j) \in \N^2$ . La famille est à termes positifs, donc on peut sommer par paquets sans précaution. En sommant d'abord sur $j$ puis sur $i$ , on obtient $\frac{3}{2} \times 2 = 3$ . En sommant dans l'autre ordre on trouve la même chose. On pouvait aussi appliquer directement la règle du produit de deux sommes.

Exemple 3.9Probabiliste

Si $(X, Y)$ est un couple de variables aléatoires discrètes, la famille des $\P(X = x, Y = y)$ , indexée par les couples de valeurs possibles, est sommable de somme $1$ . Sommer par paquets à $x$ fixé donne la loi marginale de $X$ , c'est-à-dire $\P(X = x)$ . C'est ce mécanisme que l'on utilisera au chapitre suivant.

Exemple 3.10Avec la sommation par paquets

Soit la famille des $1/n^2$ indexée par les entiers $n \geqslant 1$ . En découpant $\N$ privé de $0$ en entiers pairs et entiers impairs, on obtient que la somme totale $S$ vérifie $S = S/4 + T$ , où $T$ est la somme sur les impairs. On en déduit $T = 3S/4$ . Ce genre de découpage est un réflexe utile.

3.4Pièges

Attention

Le théorème de Fubini est faux sans hypothèse de sommabilité. Il existe des familles doubles pour lesquelles les deux ordres de sommation donnent des résultats différents. On vérifie donc toujours la sommabilité avant d'intervertir, sauf si tous les termes sont positifs, auquel cas l'interversion est toujours licite dans $[0, +\infty]$ .

Attention

Une famille peut être sommable sans que chacune de ses sommes partielles ait un sens ordonné. Il ne faut pas chercher à ordonner l'ensemble d'indices, c'est justement ce que la notion de famille sommable évite.

Attention

Ne pas confondre la sommabilité de la famille double $(x_{i,j})$ sur $I \times J$ avec la sommabilité de chaque ligne. La première est plus forte, et c'est elle qui autorise Fubini.

Méthodes

MéthodeJustifier qu'un ensemble d'indices est acceptable

Écrire l'ensemble comme partie, produit fini ou union dénombrable d'ensembles dénombrables connus.

MéthodeProuver qu'une famille de réels positifs est sommable

Majorer terme à terme par une famille dont on sait calculer la somme ;
ou calculer directement la somme par paquets et constater qu'elle est finie.

MéthodeProuver qu'une famille complexe est sommable

Appliquer le critère de domination à la famille des modules.

MéthodeCalculer une somme double

Vérifier la sommabilité ou constater la positivité.
Sommer par paquets dans l'ordre le plus commode, typiquement à première coordonnée fixée.

MéthodeFactoriser une somme double

Vérifier que le terme général se sépare en un produit.
Appliquer la règle du produit de deux sommes.

MéthodeIntervertir deux sommations en probabilités

Justifier l'interversion par la sommabilité, en une phrase.
Le plus souvent, invoquer la positivité des termes.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Définir ensemble dénombrable et au plus dénombrable, et donner une énumération explicite de $\Z$ .
Justifier que $\N^2$ est dénombrable en décrivant l'énumération par diagonales.
Énoncer la règle de sommation par paquets pour une famille de réels positifs.
Expliquer pourquoi la sommabilité d'une suite équivaut à la convergence absolue de la série associée.
Calculer la somme des $1/2^{i+j}$ sur $\N^2$ , par paquets puis par la règle du produit.
Énoncer le théorème de Fubini pour les familles sommables et préciser l'hypothèse indispensable.
Retrouver une loi marginale à partir d'une loi conjointe par sommation par paquets.
Expliquer pourquoi une série convergente non absolument convergente ne définit pas une famille sommable.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Définition : E est dénombrable s'il est en bijection avec N, au plus dénombrable s'il est en bijection avec une partie de N. Définition exigible.
Z est dénombrable. Admis.
Un produit cartésien d'un nombre fini d'ensembles dénombrables est dénombrable. Admis.
Une union au plus dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable. Admis.
Une partie d'un ensemble dénombrable est au plus dénombrable. Admis.
Q est dénombrable. C'est une conséquence des règles précédentes, non exigible.
À toute famille au plus dénombrable d'éléments de [0, +∞] on associe une somme dans [0, +∞], indépendante de tout ordre. Admis.
Sommation par paquets pour une famille positive, sans aucune hypothèse, avec égalité dans [0, +∞]. Admis.
Famille positive sommable : somme finie. Famille complexe sommable : famille des modules sommable. Définitions exigibles.
Pour I = N, la sommabilité équivaut à la convergence absolue de la série, et les deux sommes coïncident. Admis.
Domination : si |x_i| ≤ y_i pour tout i et si (y_i) est sommable, alors (x_i) est sommable. Admis.
Pour des familles sommables : croissance, linéarité, sommation par paquets, théorème de Fubini, produit de deux sommes. Admis.
Hors programme : l'étude générale de la dénombrabilité, la non-dénombrabilité de R, les familles non dénombrables, les familles à valeurs vectorielles, et tout usage des familles sommables hors des probabilités.

Clés de démonstration

Aucune démonstration n'est exigible, car le programme admet tout le préambule. Les idées suivantes servent à comprendre et à répondre à un colleur curieux.

Z est dénombrable. On pose f(n) = n/2 si n est pair et f(n) = −(n + 1)/2 si n est impair. Les pairs sont envoyés sur N et les impairs sur les entiers strictement négatifs, sans répétition. Astuce : alterner positifs et négatifs.

N² est dénombrable. L'application (i, j) ↦ 2ⁱ (2j + 1) − 1 est une bijection de N² sur N. En effet, tout entier m ≥ 1 s'écrit de façon unique comme une puissance de 2 multipliée par un nombre impair, et i est l'exposant de 2 dans m. Astuce : l'unicité de cette décomposition remplace l'énumération par diagonales.

Union dénombrable. On énumère chaque A_n sous la forme a_n,0, a_n,1, et ainsi de suite. L'application (n, k) ↦ a_n,k est une surjection de N² sur l'union. En gardant pour chaque élément le premier couple qui l'atteint, on obtient une injection de l'union dans N², donc une bijection avec une partie de N². Astuce : tout se ramène à N².

Lien avec les séries. Si l'on définit la somme d'une famille positive comme la borne supérieure de ses sommes finies, le cas I = N est immédiat. Toute partie finie de N est incluse dans un intervalle {0, ..., n}, donc cette borne supérieure est la limite des sommes partielles croissantes. Astuce : la croissance des sommes partielles.

Produit de deux sommes. On découpe I × J en lignes {i} × J. La ligne i a pour somme x_i fois la somme des y_j, par linéarité. On somme ensuite sur i. On traite d'abord le cas des modules, ce qui donne la sommabilité, puis le cas complexe. Astuce : Fubini suivi de la linéarité.

Exemples et contre-exemples à connaître

La famille des 1/(i + j)^α sur (N*)² est sommable si et seulement si α > 2. Chaque ligne converge dès que α > 1, ce qui piège les élèves. En PC, elle sert à normaliser une loi conjointe (exercice 1).
La famille des 1/(i² + j²) sur (N*)² n'est pas sommable. Elle illustre la minoration d'un paquet.
La suite des (−1)ⁿ/n donne une série convergente mais pas une famille sommable. Sommable veut dire absolument convergente.
La famille a_i,j définie sur N² par 1 si j = i, −1 si j = i + 1 et 0 sinon a deux sommes itérées différentes, 0 et 1. C'est le contre-exemple à Fubini.
La famille des xⁱ y^j sur N² est sommable si et seulement si |x| < 1 et |y| < 1. Sa somme est 1/((1 − x)(1 − y)) par la règle du produit.
Pour X et Y indépendantes de lois de Poisson de paramètres λ > 0 et μ > 0, la famille positive des P(X = i, Y = j) = e^−λ−μ λⁱ μʲ/(i! j!) sur N² se découpe selon i + j. Ce découpage donne la loi de X + Y (exercice 7).
Pour 0 < q < 1, la somme des q^|n| sur Z vaut (1 + q)/(1 − q). C'est le premier exemple de loi à valeurs dans Z.
La famille des P(X = x, Y = y) d'un couple discret est sommable de somme 1. Tout calcul de loi marginale en découle.

Techniques du chapitre

Technique 1 : justifier l'ensemble d'indices. Mini-exercice : X est à valeurs dans N et Y dans Z. Le couple (X, Y) prend ses valeurs dans N × Z, produit de deux ensembles dénombrables, donc dénombrable. La variable X − Y prend ses valeurs dans Z. Toute sommation sur ces valeurs porte donc sur une famille au plus dénombrable.

Technique 2 : famille positive, calculer d'abord et conclure ensuite. Mini-exercice : la famille des 1/(2ⁱ 3^i+j) sur N². Elle est positive. À i fixé, la somme sur j vaut (1/6)ⁱ × 3/2. En sommant sur i, on obtient (3/2) × (6/5) = 9/5. La finitude du résultat prouve la sommabilité.

Technique 3 : découper selon la diagonale n = i + j. Mini-exercice : pour 0 ≤ x < 1, la famille des x^i+j sur N² a pour somme 1/(1 − x)² par la règle du produit. Le paquet i + j = n contient n + 1 couples, donc la sommation par paquets donne Σ_n≥0 (n + 1) xⁿ = 1/(1 − x)².

Technique 4 : sommer un triangle dans les deux sens. Mini-exercice : la somme des 1/2^j sur les couples 0 ≤ i < j. À j fixé, on a j termes, d'où Σ j/2^j. À i fixé, la somme des 1/2^j pour j > i vaut 1/2ⁱ, d'où Σ 1/2ⁱ = 2. La famille est positive, les deux calculs coïncident, donc Σ j/2^j = 2.

Technique 5 : famille complexe, dominer par les modules puis calculer. Mini-exercice : la famille des (−1)^i+j/(2ⁱ 3^j) sur N². Les modules forment une famille sommable de somme 3. La règle du produit donne alors 1/(1 + 1/2) × 1/(1 + 1/3) = (2/3)(3/4) = 1/2.

Technique 6 : prouver la non-sommabilité en minorant un découpage. Mini-exercice : 1/(i² + j²) sur (N*)². On a i² + j² ≤ (i + j)², donc le terme est minoré par 1/(i + j)². Le paquet i + j = n contribue au moins (n − 1)/n², terme d'une série divergente. La somme vaut +∞.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Une loi conjointe de type Riemann

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Pour α réel, à quelle condition existe-t-il c > 0 tel que P(X = i, Y = j) = c/(i + j)^α, pour (i, j) ∈ (N*)², définisse la loi d'un couple (X, Y) ? Pour α = 3, exprimer c à l'aide de S₂ = Σ_n≥1 1/n² et S₃ = Σ_n≥1 1/n³.

Technique découpage diagonal d'une famille positive.

Voir le corrigé

Un tel c existe si et seulement si la famille des 1/(i + j)^α a une somme finie, car cette somme est non nulle. On aura alors c égal à l'inverse de cette somme.
La famille est positive, on peut sommer par paquets sans condition. On pose I_n = {(i, j) ∈ (N*)² : i + j = n} pour n ≥ 2. Ce paquet contient n − 1 couples.
La somme vaut Σ_n≥2 (n − 1)/n^α. Le terme est positif et équivalent à 1/n^α−1.
Par comparaison aux séries de Riemann, la somme est finie si et seulement si α − 1 > 1, soit α > 2.
Pour α = 3, (n − 1)/n³ = 1/n² − 1/n³. Les deux séries convergent, donc la somme vaut (S₂ − 1) − (S₃ − 1) = S₂ − S₃. Donc c = 1/(S₂ − S₃).

piège : Sommer une ligne, constater qu'elle converge pour α > 1 et conclure à la sommabilité. Chaque ligne finie ne dit rien de la famille entière.

Exercice 2. La formule des queues

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. Montrer que Σ_n≥1 P(X ≥ n) = Σ_k≥1 k P(X = k) dans [0, +∞]. Application : X suit la loi géométrique de paramètre p ∈ ]0, 1[.

Technique sommer un triangle positif dans les deux sens.

Voir le corrigé

On considère la famille des P(X = k) indexée par les couples (n, k) tels que 1 ≤ n ≤ k. Elle est positive, indexée par une partie de N².
À n fixé, on somme sur k ≥ n et on obtient P(X ≥ n). La somme totale vaut Σ_n≥1 P(X ≥ n).
À k fixé, on somme sur n de 1 à k et on obtient k P(X = k). La somme totale vaut Σ_k≥1 k P(X = k).
Les deux découpages portent sur la même famille positive, les deux sommes sont égales, éventuellement infinies.
Application : avec q = 1 − p, P(X ≥ n) = Σ_k≥n p q^k−1 = qⁿ⁻¹. La somme vaut 1/(1 − q) = 1/p.

piège : Faire partir la somme des queues de n = 0, ce qui ajoute P(X ≥ 0) = 1.

Exercice 3. Fubini sans sommabilité

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Sur N², on pose a_i,j = 1 si j = i, a_i,j = −1 si j = i + 1 et a_i,j = 0 sinon. Calculer les deux sommes itérées. Conclure.

Technique contre-exemple et vérification de la sommabilité.

Voir le corrigé

À i fixé, la ligne contient un 1 et un −1. Sa somme est nulle, donc la somme des sommes de lignes vaut 0.
À j fixé, la colonne j = 0 contient seulement a_0,0 = 1. Pour j ≥ 1, la colonne contient a_j,j = 1 et a_j−1,j = −1, de somme nulle. La somme des sommes de colonnes vaut 1.
Les deux résultats diffèrent. Le théorème de Fubini ne s'applique donc pas, et en effet la somme des |a_i,j| vaut +∞, car une infinité de termes valent 1 en module.

piège : Croire que la sommabilité de chaque ligne et de chaque colonne suffit. Ici elles ont toutes un nombre fini de termes non nuls, et pourtant l'interversion échoue.

Exercice 4. Deux géométriques indépendantes

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

X et Y sont indépendantes, de loi géométrique de paramètre p ∈ ]0, 1[. On pose q = 1 − p. Calculer P(X = Y) et P(X < Y).

Technique écrire l'événement comme union disjointe dénombrable, puis sommer par paquets.

Voir le corrigé

L'événement {X = Y} est l'union disjointe des {X = k, Y = k} pour k ≥ 1. Par indépendance, P(X = Y) = Σ_k≥1 p² q^2k−2 = p²/(1 − q²) = p/(1 + q) = p/(2 − p).
L'événement {X < Y} est l'union disjointe des {X = i, Y = j} pour 1 ≤ i < j. La famille est positive, on somme à i fixé : Σ_j>i p q^j−1 = qⁱ.
Donc P(X < Y) = Σ_i≥1 p qⁱ⁻¹ qⁱ = p q/(1 − q²) = q/(1 + q) = (1 − p)/(2 − p).
Contrôle : par symétrie P(X > Y) = P(X < Y), et p/(2 − p) + 2(1 − p)/(2 − p) = 1.

piège : Écrire P(X = k, Y = k) = P(X = k) P(Y = k) sans citer l'indépendance.

Exercice 5. Une loi sur Z

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Soit q ∈ ]0, 1[. Déterminer c tel que P(X = n) = c q^|n|, n ∈ Z, définisse une loi. Calculer P(X ≥ 0) et P(X pair).

Technique découper Z en N et en entiers strictement négatifs.

Voir le corrigé

La famille des q^|n| est positive. On découpe Z en N et en {−1, −2, ...}. La somme vaut 1/(1 − q) + q/(1 − q) = (1 + q)/(1 − q). Donc c = (1 − q)/(1 + q).
P(X ≥ 0) = c/(1 − q) = 1/(1 + q).
Les entiers pairs sont les 2m, m ∈ Z. Le même découpage donne Σ_m∈Z q^2|m| = (1 + q²)/(1 − q²).
Donc P(X pair) = (1 − q)(1 + q²)/((1 + q)(1 − q)(1 + q)) = (1 + q²)/(1 + q)².

piège : Écrire la somme sur Z comme 2 Σ_n≥0 qⁿ, ce qui compte deux fois l'indice 0.

Exercice 6. Loi conjointe et marginales

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

On pose P(X = i, Y = j) = c (i + j)/(i! j!) pour (i, j) ∈ N². Déterminer c, les lois de X et Y, et étudier l'indépendance.

Technique sommation par paquets à i fixé, puis test sur un couple.

Voir le corrigé

La famille est positive. On calcule Σ_i≥0 i/i! = Σ_i≥1 1/(i − 1)! = e.
À i fixé, Σ_j (i + j)/(i! j!) = (i e + e)/i! = e (i + 1)/i!.
En sommant sur i : e (e + e) = 2e². Donc c = 1/(2e²).
P(X = i) = (i + 1)/(2e × i!). Par symétrie des rôles, Y a la même loi.
P(X = 0, Y = 0) = 0 alors que P(X = 0) P(Y = 0) = 1/(4e²). Les variables ne sont pas indépendantes.

piège : Chercher une factorisation du terme en produit de fonctions de i et de j pour prouver l'indépendance. Un seul couple suffit pour la réfuter.

Exercice 7. Somme de deux variables de Poisson indépendantes

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

X et Y sont indépendantes, de lois de Poisson de paramètres λ > 0 et μ > 0. Déterminer la loi de X + Y.

Technique union disjointe finie, indépendance, puis formule du binôme.

Voir le corrigé

X + Y prend ses valeurs dans N. Pour n ∈ N, l'événement {X + Y = n} est l'union disjointe finie des {X = k, Y = n − k}, 0 ≤ k ≤ n.
Par indépendance, P(X + Y = n) = e^−(λ+μ) Σ_k=0ⁿ λ^k μ^n−k/(k! (n − k)!).
Par la formule du binôme, Σ_k=0ⁿ λ^k μ^n−k/(k! (n − k)!) = (1/n!) Σ_k=0ⁿ C(n, k) λ^k μ^n−k = (λ + μ)ⁿ/n!.
Donc P(X + Y = n) = e^−(λ+μ) (λ + μ)ⁿ/n!, et X + Y suit la loi de Poisson de paramètre λ + μ.
Contrôle : Σ_n≥0 P(X + Y = n) = e^−(λ+μ) e^λ+μ = 1. C'est la sommation par paquets selon i + j de la famille positive des P(X = i, Y = j), de somme 1.

piège : Faire varier k au-delà de n dans l'étape 1, ce qui fait apparaître des probabilités P(Y = n − k) avec n − k < 0.

Exercice 8. Une loi fabriquée avec les sommes de Riemann

Approfondissement · Type oral Mines

Pour n ≥ 2, on pose p_n = Σ_k≥2 1/kⁿ. Montrer que (p_n) définit une loi de probabilité sur {2, 3, ...}, puis calculer Σ_n≥2 n p_n.

Technique Fubini pour une famille positive, en sommant d'abord sur l'indice qui donne une série géométrique.

Voir le corrigé

Pour n ≥ 2, p_n est fini par comparaison aux séries de Riemann, et positif.
On considère la famille positive des 1/kⁿ pour n ≥ 2 et k ≥ 2. À k fixé, la somme sur n est une série géométrique de raison 1/k ≤ 1/2, qui vaut 1/(k(k − 1)) = 1/(k − 1) − 1/k.
La somme sur k ≥ 2 est télescopique et vaut 1. Donc Σ p_n = 1 et (p_n) est une loi.
Pour la seconde somme, on utilise la technique 3 : Σ_n≥1 n xⁿ = x/(1 − x)² pour 0 ≤ x < 1, d'où Σ_n≥2 n xⁿ = x²(2 − x)/(1 − x)². Avec x = 1/k, on obtient (2k − 1)/(k (k − 1)²).
On décompose : (2k − 1)/(k (k − 1)²) = 1/(k − 1) − 1/k + 1/(k − 1)². En sommant sur k ≥ 2, la partie télescopique donne 1 et le dernier terme donne S₂ = Σ_m≥1 1/m².
Donc Σ n p_n = 1 + S₂, qui vaut 1 + π²/6 avec la valeur classique de S₂, admise ici.

piège : Sommer d'abord sur k, ce qui ne mène à rien de calculable, ou oublier de justifier l'interversion par la positivité.

Erreurs fréquentes

Intervertir deux sommations dans une copie de probabilités sans une phrase de justification. La phrase attendue est « la famille est positive » ou « la famille est sommable car ».
Appliquer Fubini à une famille non sommable parce que chaque ligne converge. C'est la sommabilité de la famille double qui compte.
Confondre convergence et sommabilité. Une série seulement convergente, comme celle des (−1)ⁿ/n, ne définit pas une famille sommable.
Mal découper : paquets qui se chevauchent, indice 0 compté deux fois sur Z, bornes fausses dans un triangle ou sur une diagonale. On vérifie que chaque indice appartient à un seul paquet.
Utiliser la formule du produit de deux sommes pour une loi conjointe sans indépendance. La factorisation P(X = i, Y = j) = P(X = i) P(Y = j) doit être justifiée avant tout calcul.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de PC (2021), partie « Variables aléatoires discrètes », section A « Ensembles dénombrables, familles sommables ». Le programme présente ce préambule comme une introduction minimale, dont les résultats sont admis sans démonstration. Ces notions ne font l'objet d'aucune évaluation spécifique et leur usage est strictement réservé au contexte probabiliste.