Le cours

Résumé en cinq points

$\K[X]$ est un anneau commutatif intègre, $\deg(PQ) = \deg P + \deg Q$ , et les inversibles sont les constantes non nulles.
$a$ est racine de $P$ si et seulement si $X - a$ divise $P$ . Un polynôme non nul de degré $n$ a au plus $n$ racines, donc un polynôme avec une infinité de racines est nul.
La multiplicité $m$ d'une racine se lit sur les dérivées : celles d'ordre $0$ à $m - 1$ s'annulent en $a$ , pas celle d'ordre $m$ . Les racines multiples sont les racines communes à $P$ et $P'$ .
L'arithmétique de $\K[X]$ reproduit celle de $\Z$ : division euclidienne, algorithme d'Euclide, PGCD unitaire, Bézout, Gauss, décomposition en irréductibles.
Sur $\C$ , les irréductibles sont les polynômes de degré 1 et tout polynôme non constant est scindé. Sur $\R$ , les irréductibles sont les polynômes de degré 1 et ceux de degré 2 de discriminant strictement négatif.

Pourquoi ce chapitre

Le chapitre sur les polynômes a deux visages.

C'est d'abord une copie conforme de l'arithmétique de $\Z$ : divisibilité, division euclidienne, algorithme d'Euclide, PGCD, Bézout, lemme de Gauss, décomposition en facteurs irréductibles. Les énoncés se transposent presque mot pour mot, ce qui permet un exposé rapide.
C'est ensuite un outil de calcul omniprésent : factoriser, chercher des racines, reconnaître une racine multiple, borner un nombre de racines.

En seconde année, les polynômes servent à l'étude des endomorphismes. En MPSI, ils interviennent déjà dans le calcul des puissances de matrices, dans la décomposition en éléments simples et donc dans le calcul de primitives. Il faut distinguer le polynôme, objet formel, de la fonction polynomiale associée.

1L'anneau K[X]

1.1Polynômes et degré

Définition 1.1Polynôme

Un polynôme à une indéterminée à coefficients dans $\K$ est une suite $(a_0, a_1, a_2, \dots)$ d'éléments de $\K$ nuls à partir d'un certain rang. On l'écrit $P = a_0 + a_1X + \dots + a_dX^d$ .

La construction formelle de $\K[X]$ n'est pas exigible.

Définition 1.2Degré

Le degré de $P$ non nul, noté $\deg P$ , est le plus grand indice $i$ tel que $a_i \neq 0$ . Le coefficient $a_{\deg P}$ est le coefficient dominant. Le polynôme est unitaire si son coefficient dominant vaut 1.

Par convention, $\deg 0 = -\infty$ , avec les règles usuelles $-\infty + n = -\infty$ et $-\infty < n$ pour tout entier $n$ .

Définition 1.3Polynômes de degré borné

On note $\K_n[X]$ l'ensemble des polynômes de degré au plus $n$ . Il contient le polynôme nul.

1.2Opérations et degré

L'addition et la multiplication des polynômes font de $\K[X]$ un anneau commutatif.

Propriété 1.4Règles sur les degrés

Pour tous polynômes $P$ et $Q$ :

$\deg(P + Q) \leqslant \max(\deg P, \deg Q)$ , avec égalité dès que $\deg P \neq \deg Q$ ;
$\deg(PQ) = \deg P + \deg Q$ .

L'inégalité peut être stricte : avec $P = X$ et $Q = -X + 1$ , $\deg(P+Q) = 0 < 1$ .

De la seconde règle, le produit de deux polynômes non nuls est non nul : l'anneau $\K[X]$ est intègre. On peut donc simplifier une égalité $AB = AC$ par $A$ non nul.

Propriété 1.5Inversibles de K[X]

Les inversibles de $\K[X]$ sont exactement les polynômes constants non nuls.

Démonstration

Si $PQ = 1$ , alors $\deg P + \deg Q = 0$ , donc les deux degrés sont nuls.

Définition 1.6Composition

Pour deux polynômes $P$ et $Q$ , $P \circ Q$ , aussi noté $P(Q)$ , est le polynôme obtenu en remplaçant $X$ par $Q$ .

Si $P$ et $Q$ sont non constants, $\deg(P \circ Q) = \deg P \times \deg Q$ .

2Divisibilité et division euclidienne

2.1Divisibilité

Définition 2.1Divisibilité, polynômes associés

$B$ divise $A$ s'il existe un polynôme $Q$ tel que $A = BQ$ . Deux polynômes qui se divisent mutuellement sont associés : l'un est le produit de l'autre par une constante non nulle.

Parmi tous les associés d'un polynôme non nul, un seul est unitaire.

2.2Division euclidienne

Théorème 2.2Division euclidienne

Hypothèses

$A$ et $B$ sont deux polynômes ;
$B \neq 0$ .

Alors il existe un unique couple $(Q, R)$ de polynômes tel que $A = BQ + R$ et $\deg R < \deg B$ .

Démonstration

Existence, par récurrence forte sur $\deg A$ . Si $\deg A < \deg B$ , on prend $Q = 0$ et $R = A$ . Sinon on soustrait à $A$ le produit de $B$ par le monôme qui tue le terme dominant de $A$ , ce qui fait baisser le degré, et on applique l'hypothèse de récurrence.

Unicité. Si $BQ + R = BQ' + R'$ , alors $B(Q - Q') = R' - R$ . Si $Q \neq Q'$ , le membre de gauche est de degré au moins $\deg B$ , ce que le membre de droite interdit. Donc $Q = Q'$ , puis $R = R'$ .

En pratique, on pose la division comme une division de nombres, en travaillant sur les termes de plus haut degré.

3Racines et multiplicité

3.1Fonction polynomiale et racines

À $P$ dans $\K[X]$ on associe la fonction polynomiale $x \mapsto P(x)$ . Il faut distinguer les deux objets, même si sur $\R$ et sur $\C$ ils se déterminent l'un l'autre.

Définition 3.1Racine

Un élément $a$ de $\K$ est une racine de $P$ si $P(a) = 0$ .

Propriété 3.2Caractérisation des racines

$a$ est racine de $P$ si et seulement si $(X - a)$ divise $P$ .

Démonstration

Le reste de la division euclidienne de $P$ par $X - a$ est une constante, égale à $P(a)$ .

Propriété 3.3Racines distinctes

Si $a_1, \dots, a_r$ sont des racines deux à deux distinctes de $P$ , alors le produit des $(X - a_i)$ divise $P$ .

MéthodeMéthode de Horner

Écrire $P$ sous forme emboîtée $a_0 + X(a_1 + X(a_2 + \dots))$ .
Partir du coefficient dominant, multiplier par $a$ , ajouter le coefficient suivant, et recommencer.

Le procédé coûte $n$ multiplications et $n$ additions. Les valeurs intermédiaires sont les coefficients du quotient de $P$ par $X - a$ .

Exemple 3.4Horner pour $2X^3 - X + 5$ en $3$

On obtient successivement $2$ , $6$ , $17$ , puis $56$ . Donc $P(3) = 56$ .

Théorème 3.5Nombre de racines

Un polynôme non nul de degré $n$ a au plus $n$ racines distinctes dans $\K$ .

Un polynôme ayant une infinité de racines est nul. Comme $\R$ et $\C$ sont infinis, deux polynômes qui définissent la même fonction polynomiale sont égaux. C'est ce qui autorise l'abus de langage entre polynôme et fonction polynomiale sur $\R$ et sur $\C$ .

3.2Multiplicité

Définition 3.6Multiplicité

Soit $a \in \K$ et $P$ non nul. La multiplicité de $a$ comme racine de $P$ est le plus grand entier $m$ tel que $(X - a)^m$ divise $P$ .

Si $P(a) \neq 0$ , la multiplicité est $0$ .
Une racine est simple si $m = 1$ , double si $m = 2$ , multiple si $m \geqslant 2$ .

Propriété 3.7Caractérisation

$a$ est racine de multiplicité $m$ si et seulement si $P = (X - a)^m Q$ avec $Q(a) \neq 0$ .

Si $a_1, \dots, a_r$ sont des racines distinctes de multiplicités $m_1, \dots, m_r$ , alors $m_1 + \dots + m_r \leqslant \deg P$ .

3.3Polynômes scindés et relations coefficients-racines

Définition 3.8Polynôme scindé

$P$ de degré $n \geqslant 1$ est scindé sur $\K$ s'il s'écrit $P = c(X - a_1)\cdots(X - a_n)$ , produit de son coefficient dominant et de $n$ facteurs de degré 1. Les $a_i$ ne sont pas nécessairement distincts.

Théorème 3.9Formules de Viète

Hypothèses

$P = a_nX^n + \dots + a_0$ est scindé ;
ses racines $x_1, \dots, x_n$ sont comptées avec multiplicité.

Alors $\begin{aligned} x_1 + \dots + x_n &= -\frac{a_{n-1}}{a_n},\\ x_1 \cdots x_n &= (-1)^n\frac{a_0}{a_n}. \end{aligned}$

Ces deux formules doivent être connues. Les relations intermédiaires, qui font intervenir les sommes de produits de $k$ racines, se retrouvent en développant le produit des $(X - x_i)$ .

Exemple 3.10Cas usuels

Pour $aX^2 + bX + c$ scindé : $x_1 + x_2 = -b/a$ et $x_1x_2 = c/a$ .
Pour $aX^3 + bX^2 + cX + d$ scindé : somme des racines $-b/a$ , somme des produits deux à deux $c/a$ , produit $-d/a$ .

4Dérivation

4.1Dérivée formelle

Définition 4.1Dérivée formelle

Si $P = \sum a_iX^i$ , on définit $P' = \sum_{i \geqslant 1} i\,a_iX^{i-1}$ .

C'est une définition algébrique, valable sans notion de limite. Pour $\K = \R$ , $P'$ est bien le polynôme dont la fonction polynomiale est la dérivée de celle de $P$ .

Si $\deg P \geqslant 1$ , alors $\deg P' = \deg P - 1$ . Les polynômes de dérivée nulle sont exactement les constantes.

4.2Règles de calcul

Propriété 4.2Règles de dérivation

La dérivation est linéaire et $(PQ)' = P'Q + PQ'$ .

Par récurrence, on obtient la formule de Leibniz : $(PQ)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} P^{(k)} Q^{(n-k)}.$

4.3Formule de Taylor polynomiale

Théorème 4.3Formule de Taylor

Hypothèses

$P \in \K_n[X]$ ;
$a \in \K$ .

Alors $P = \sum_{k=0}^{n} \frac{P^{(k)}(a)}{k!}\,(X - a)^k.$

Cette formule est exacte, sans reste. Elle exprime la décomposition de $P$ dans la base des $(X - a)^k$ .

4.4Caractérisation de la multiplicité

Théorème 4.4Multiplicité et dérivées

Hypothèses

$m \geqslant 1$ ;
$a \in \K$ .

Alors $a$ est racine de $P$ de multiplicité $m$ si et seulement si $P(a) = P'(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0$ et $P^{(m)}(a) \neq 0$ .

Propriété 4.5Racines multiples

$a$ est racine multiple de $P$ si et seulement si $P(a) = 0$ et $P'(a) = 0$ . Les racines multiples de $P$ sont les racines communes à $P$ et $P'$ .

La multiplicité exacte se lit sur les dérivées successives.

Exemple 4.6Racine double

$P = X^3 - 3X + 2$ vérifie $P(1) = 0$ , $P'(1) = 3 - 3 = 0$ et $P''(1) = 6 \neq 0$ . Donc $1$ est racine double, et $P = (X - 1)^2(X + 2)$ .

5Arithmétique dans K[X]

Tout ce paragraphe est le décalque de l'arithmétique de $\Z$ .

Définition 5.1PGCD

Soient $A$ et $B$ non tous les deux nuls. Tout diviseur commun à $A$ et $B$ de degré maximal est un PGCD. Tous les PGCD sont associés, et un seul est unitaire : on le note $A \wedge B$ .

L'ensemble des diviseurs communs à $A$ et $B$ est exactement l'ensemble des diviseurs de $A \wedge B$ .

MéthodeAlgorithme d'Euclide

Si $A = BQ + R$ , alors $A \wedge B = B \wedge R$ .
Itérer : les degrés des restes décroissent strictement, l'algorithme s'arrête.
Le dernier reste non nul, rendu unitaire, est le PGCD.

Théorème 5.2Relation de Bézout

Il existe des polynômes $U$ et $V$ tels que $AU + BV = A \wedge B$ .

L'algorithme d'Euclide étendu fournit $U$ et $V$ .

Théorème 5.3Théorème de Bézout

$A$ et $B$ sont premiers entre eux, c'est-à-dire $A \wedge B = 1$ , si et seulement s'il existe $U$ et $V$ tels que $AU + BV = 1$ .

Théorème 5.4Lemme de Gauss

Hypothèses

$A$ divise $BC$ ;
$A \wedge B = 1$ .

Alors $A$ divise $C$ .

Définition 5.5PPCM

Le PPCM $A \vee B$ est le générateur unitaire des multiples communs. Le produit $AB$ est associé au produit de $A \wedge B$ et de $A \vee B$ .

On définit de même le PGCD d'un nombre fini de polynômes, avec une relation de Bézout. On distingue les polynômes premiers entre eux dans leur ensemble de ceux qui le sont deux à deux.

6Factorisation dans C[X] et dans R[X]

6.1Théorème de d'Alembert-Gauss

Théorème 6.1d'Alembert-Gauss

Tout polynôme non constant de $\C[X]$ admet au moins une racine dans $\C$ .

La démonstration est hors programme.

Propriété 6.2Conséquences

Tout polynôme de $\C[X]$ de degré $n \geqslant 1$ est scindé sur $\C$ . Il s'écrit $c\,(X - z_1)^{m_1}\cdots(X - z_r)^{m_r}$ avec des $z_i$ distincts et $m_1 + \dots + m_r = n$ . Cette écriture est unique à l'ordre près.

Les polynômes irréductibles de $\C[X]$ sont exactement les polynômes de degré 1.

Propriété 6.3Divisibilité dans C[X]

$A$ divise $B$ si et seulement si toute racine de $A$ est racine de $B$ avec une multiplicité au moins égale.
Deux polynômes de $\C[X]$ sont premiers entre eux si et seulement s'ils n'ont aucune racine commune dans $\C$ .

Attention

Il faut raisonner sur les racines complexes, même pour des polynômes réels : $X^2 + 1$ et $X^4 + 2X^2 + 1$ n'ont pas de racine réelle commune et ne sont pourtant pas premiers entre eux.

Exemple 6.4Racines de $X^n - 1$

$X^n - 1 = \prod_{k=0}^{n-1}(X - \omega^k)$ où $\omega = \e^{2\ii\pi/n}$ .

6.2Le cas réel

Propriété 6.5Racines conjuguées

Si $P \in \R[X]$ et si $z$ est racine complexe de $P$ de multiplicité $m$ , alors $\overline{z}$ est aussi racine de $P$ avec la même multiplicité $m$ .

Cela vient de ce que les coefficients sont réels.

Propriété 6.6Irréductibles de R[X]

Les polynômes irréductibles de $\R[X]$ sont exactement les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 de discriminant strictement négatif.

Théorème 6.7Décomposition dans R[X]

Tout polynôme non constant de $\R[X]$ s'écrit, de façon unique à l'ordre près, comme produit :

d'une constante ;
de facteurs $(X - a_i)^{m_i}$ avec $a_i$ réel ;
de facteurs $(X^2 + b_jX + c_j)^{n_j}$ avec $b_j^2 - 4c_j < 0$ .

En pratique on factorise sur $\C$ , puis on regroupe les racines conjuguées : $(X - z)(X - \overline{z}) = X^2 - 2\operatorname{Re}(z)X + \abs{z}^2,$ réel de discriminant négatif.

Propriété 6.8Degré impair

Tout polynôme réel de degré impair admet au moins une racine réelle, puisque les racines non réelles vont par paires.

7Interpolation de Lagrange

Théorème 7.1Interpolation de Lagrange

Hypothèses

$x_1, \dots, x_n$ sont des éléments distincts de $\K$ ;
$y_1, \dots, y_n$ sont des éléments quelconques de $\K$ .

Alors il existe un unique polynôme $P \in \K_{n-1}[X]$ tel que $P(x_i) = y_i$ pour tout $i$ .

Propriété 7.2Expression

$P = \sum_{i=1}^{n} y_i L_i$ , où $L_i = \prod_{j \neq i}\frac{X - x_j}{x_i - x_j}.$ Les $L_i$ sont de degré $n - 1$ et vérifient $L_i(x_i) = 1$ et $L_i(x_j) = 0$ pour $j \neq i$ .

Démonstration

Unicité. Si $P$ et $\tilde P$ conviennent, leur différence est de degré au plus $n - 1$ avec $n$ racines distinctes, donc elle est nulle.

Propriété 7.3Toutes les solutions

Les polynômes $Q \in \K[X]$ tels que $Q(x_i) = y_i$ pour tout $i$ sont exactement les polynômes $P + S\,(X - x_1)\cdots(X - x_n),$ avec $S$ décrivant $\K[X]$ .

Méthodes

MéthodeFactoriser un polynôme

Chercher des racines évidentes : $0$ , $1$ , $-1$ , $2$ .
Diviser par le facteur correspondant.
Recommencer sur le quotient.

MéthodeMontrer qu'un polynôme est nul

Lui trouver une infinité de racines, ou plus de racines que son degré.

MéthodeMultiplicité et racines simples

Pour trouver la multiplicité d'une racine, dériver plutôt que factoriser à la main.
Pour montrer qu'un polynôme n'a que des racines simples, montrer que $P$ et $P'$ sont premiers entre eux.

MéthodeProuver une divisibilité dans C[X]

Raisonner sur les racines et les multiplicités plutôt que poser une division.

MéthodeDéterminer un reste de division euclidienne

Écrire $A = BQ + R$ avec $\deg R < d$ , où $d = \deg B$ .
Évaluer en les racines de $B$ .
Si $B$ a des racines multiples, dériver la relation avant d'évaluer.

MéthodeExploiter des relations coefficients-racines

Ne pas chercher les racines. Exprimer les quantités demandées en fonction des sommes et produits, par exemple $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2.$

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Démontrer l'existence et l'unicité de la division euclidienne dans $\K[X]$ .
Démontrer qu'un polynôme non nul de degré $n$ a au plus $n$ racines, et en déduire l'égalité entre polynôme et fonction polynomiale sur $\R$ .
Énoncer et utiliser la caractérisation de la multiplicité d'une racine par les dérivées successives.
Écrire la formule de Taylor polynomiale et l'utiliser pour changer de variable, par exemple développer un polynôme suivant les puissances de $X - 1$ .
Dérouler l'algorithme d'Euclide sur deux polynômes et obtenir une relation de Bézout.
Factoriser $X^n - 1$ dans $\C[X]$ puis dans $\R[X]$ .
Factoriser un polynôme réel de degré 4 en irréductibles de $\R[X]$ en passant par $\C$ .
Écrire le polynôme interpolateur de Lagrange sur trois points et justifier son unicité.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Dans tout le chapitre, K désigne R ou C.

deg(P + Q) ≤ max(deg P, deg Q) et deg(PQ) = deg P + deg Q. Exigible avec démonstration.
K[X] est intègre et ses inversibles sont les constantes non nulles. Exigible avec démonstration.
Si P est non nul et Q non constant, deg(P ∘ Q) = deg P × deg Q. Exigible.
A et B non nuls sont associés si et seulement si A = λB avec λ ∈ K non nul. Exigible avec démonstration.
Division euclidienne par B non nul : existence et unicité de (Q, R) avec deg R < deg B. Exigible avec démonstration.
a est racine de P si et seulement si X − a divise P. Exigible avec démonstration.
Si a₁, …, a_r sont des racines deux à deux distinctes de P, le produit des X − a_i divise P. Exigible, par récurrence sur r.
Un polynôme non nul de degré n a au plus n racines, même comptées avec multiplicité. Exigible avec démonstration.
Un polynôme ayant une infinité de racines est nul. Un polynôme est donc déterminé par sa fonction polynomiale. Exigible, cela repose sur le fait que K est infini.
a est racine de multiplicité m si et seulement si P = (X − a)^m Q avec Q(a) ≠ 0. Exigible.
Formules de Viète : la somme et le produit des racines sont à connaître par cœur, les autres relations à retrouver rapidement.
Dérivée d'un produit et formule de Leibniz. Exigible avec démonstration.
Formule de Taylor polynomiale pour deg P ≤ n. Exigible avec démonstration.
Caractérisation de la multiplicité par les dérivées successives. Exigible avec démonstration.
PGCD, algorithme d'Euclide, Bézout, Gauss, PPCM et décomposition en irréductibles unitaires. Exigibles, avec des preuves calquées sur Z.
Théorème de d'Alembert-Gauss. Admis, sa démonstration est hors programme.
Irréductibles de C[X], et tout polynôme non constant de C[X] est scindé. Exigible, c'est un corollaire de d'Alembert-Gauss.
Si P ∈ R[X], z et z̄ ont la même multiplicité. Exigible avec démonstration.
Irréductibles de R[X] et décomposition dans R[X]. Exigible.
Interpolation de Lagrange : existence et unicité dans K_n−1[X]. Exigible avec démonstration.
Hors programme : la construction formelle de K[X], les polynômes sur un autre corps que R ou C, et la majoration de l'erreur d'interpolation comme résultat de cours (c'est un thème de problème).

Clés de démonstration

Division euclidienne. On raisonne par récurrence forte sur p = deg A. On note q = deg B, et a et b les coefficients dominants de A et de B. Si p ≥ q, le polynôme A − (a/b)X^p−qB est de degré strictement inférieur à p. L'unicité se lit sur les degrés dans l'égalité B(Q − Q') = R' − R. L'astuce est le monôme qui tue le terme dominant.

Au plus n racines. On raisonne par récurrence sur n. Si P, de degré n + 1, a une racine a, on écrit P = (X − a)Q avec deg Q = n. Toute autre racine b vérifie (b − a)Q(b) = 0, donc Q(b) = 0. L'astuce est de factoriser par X − a, puis d'utiliser qu'un produit nul dans K a un facteur nul.

Formule de Taylor. Le binôme appliqué à X^j = ((X − a) + a)^j permet d'écrire P = Σ c_k (X − a)^k. On dérive k fois et on évalue en a : il reste k! c_k. L'astuce est que dériver puis évaluer isole un seul coefficient.

Multiplicité par les dérivées. On part du développement de Taylor en a. Si P(a), …, P^(m−1)(a) sont nuls, (X − a)^m se factorise, et le quotient vaut P^(m)(a)/m! en a. Réciproquement, si P = (X − a)^m Q, la formule de Leibniz donne P^(k)(a) = 0 pour k < m et P^(m)(a) = m! Q(a).

Racines conjuguées. Chaque dérivée P^(k) est à coefficients réels, donc P^(k)(z̄) est le conjugué de P^(k)(z). Les conditions d'annulation sont donc les mêmes en z et en z̄. L'astuce est de passer par la caractérisation de la multiplicité par les dérivées.

Lemme de Gauss. De A ∧ B = 1 on tire AU + BV = 1, puis ACU + BCV = C. A divise les deux termes de gauche, donc A divise C. L'astuce est de multiplier la relation de Bézout par C.

Formule de Leibniz. On raisonne par récurrence sur n, comme pour le binôme. L'astuce est la relation de Pascal C(n, k − 1) + C(n, k) = C(n + 1, k).

Exemples et contre-exemples à connaître

X⁴ + 1 = (X² + √2X + 1)(X² − √2X + 1). Ce polynôme n'a pas de racine réelle et il est pourtant réductible sur R. À partir du degré 4, « sans racine » n'implique pas « irréductible ».
X² + 1 est irréductible sur R et vaut (X − i)(X + i) sur C. L'irréductibilité dépend du corps.
Xⁿ − 1 n'a que des racines simples. Sur R, on regroupe les racines e^±2ikπ/n en facteurs X² − 2cos(2kπ/n)X + 1.
Pour n ≥ 1, (X + 1)ⁿ − Xⁿ est de degré n − 1. Les termes dominants se compensent, et l'inégalité deg(P + Q) ≤ max peut être stricte.
Si deg P = d ≥ 1, alors P(X + 1) − P(X) est de degré d − 1, de terme dominant d a_d X^d−1. C'est l'outil de base des sommes Σ P(k).
X(X − 1)/2 prend des valeurs entières en tout entier sans avoir de coefficients entiers.
Les polynômes de Tchebychev (exercice 10) sont définis par une identité entre fonctions. Leur unicité vient d'une infinité de points d'accord.
Sur le corps Z/2Z, hors programme, X² + X s'annule en tout point sans être nul. L'identification entre polynôme et fonction polynomiale exige un corps infini.

Techniques du chapitre

Technique 1 : trouver un reste en évaluant aux racines du diviseur. Pour le reste de Xⁿ par (X − 1)(X − 2), on écrit Xⁿ = (X − 1)(X − 2)Q + aX + b. En 1, on obtient 1 = a + b, et en 2, on obtient 2ⁿ = 2a + b. Donc R = (2ⁿ − 1)X + 2 − 2ⁿ.

Technique 2 : si le diviseur a une racine multiple, dériver avant d'évaluer. Pour le reste de Xⁿ par (X − 1)², on écrit Xⁿ = (X − 1)²Q + aX + b. En 1, on obtient 1 = a + b. On dérive puis on évalue en 1, ce qui donne n = a. Donc R = nX + 1 − n.

Technique 3 : utiliser Viète sans chercher les racines. Pour X³ − 2X + 1, on lit σ₁ = 0 et σ₂ = −2. La somme des carrés des racines vaut σ₁² − 2σ₂ = 4. Contrôle : les racines sont 1 et (−1 ± √5)/2, et 1 + 3 = 4.

Technique 4 : conclure à la nullité grâce à une infinité de racines. Si P(X + 1) = P(X), alors par récurrence P(n) = P(0) pour tout entier n. Le polynôme P − P(0) a une infinité de racines, il est nul, et P est constant.

Technique 5 : changer de variable avec Taylor. Pour P = X³ − 2X + 5 en 2, on calcule P(2) = 9, P'(2) = 10, P''(2)/2 = 6 et P'''/6 = 1. Donc P = 9 + 10(X − 2) + 6(X − 2)² + (X − 2)³. Contrôle en 0 : 9 − 20 + 24 − 8 = 5.

Technique 6 : prouver que les racines sont simples avec P'. Pour Xⁿ − 1 avec n ≥ 1, la dérivée nXⁿ⁻¹ ne s'annule qu'en 0, et P(0) = −1. P et P' n'ont donc aucune racine commune.

Technique 7 : fixer le degré avant d'identifier. On cherche les P tels que P(X²) = (X² + 1)P(X). Si P ≠ 0 est de degré d, alors 2d = d + 2, donc d = 2. On pose P = aX² + bX + c et on identifie : b = 0 et c = −a. Les solutions sont les a(X² − 1), avec a ∈ K, y compris P = 0.

Technique 8 : factoriser dans R[X] en regroupant les conjuguées. Les racines de X⁶ − 1 sont les e^ikπ/3. Les racines réelles sont ±1, et les paires e^±iπ/3 et e^±2iπ/3 donnent X² − X + 1 et X² + X + 1. Donc X⁶ − 1 = (X − 1)(X + 1)(X² − X + 1)(X² + X + 1).

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Poser une division euclidienne

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Diviser A = X⁴ + 2X³ − X + 3 par B = X² + X + 1, puis contrôler le reste en j = e^2iπ/3.

Technique algorithme de division sur les termes dominants.

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On retranche X²B = X⁴ + X³ + X². Il reste X³ − X² − X + 3.
On retranche XB = X³ + X² + X. Il reste −2X² − 2X + 3.
On retranche −2B. Il reste 5, de degré 0 < 2, et on s'arrête.
Donc Q = X² + X − 2 et R = 5.
Contrôle : B(j) = 0 et j³ = 1, donc A(j) = j + 2 − j + 3 = 5.

piège : Continuer au-delà du degré de B, ou se tromper de signe en soustrayant.

Exercice 2. Euclide étendu et relation de Bézout

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer que A = X³ + 1 et B = X² + 1 sont premiers entre eux, puis trouver U et V tels que AU + BV = 1.

Technique algorithme d'Euclide, puis remontée des calculs.

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On a A = XB + R₁ avec R₁ = 1 − X.
Comme (1 − X)(−1 − X) = X² − 1, on a B = R₁(−1 − X) + 2.
Le dernier reste non nul est la constante 2, donc A ∧ B = 1.
On remonte : 2 = B + (X + 1)(A − XB) = (X + 1)A + (1 − X − X²)B.
Donc U = (X + 1)/2 et V = (1 − X − X²)/2.

piège : Oublier de diviser par la constante finale, ou ne pas vérifier en développant.

Exercice 3. Relations coefficients-racines

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soient a, b, c les racines complexes de X³ + X + 1. Calculer a² + b² + c², a³ + b³ + c³ et 1/a + 1/b + 1/c.

Technique fonctions symétriques élémentaires, et équation vérifiée par chaque racine.

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On lit σ₁ = 0, σ₂ = 1 et σ₃ = −1.
On en déduit a² + b² + c² = σ₁² − 2σ₂ = −2. Cette somme est négative, donc une racine au moins n'est pas réelle.
Chaque racine vérifie x³ = −x − 1. En sommant, a³ + b³ + c³ = −σ₁ − 3 = −3.
P(0) = 1, donc les racines sont non nulles, et 1/a + 1/b + 1/c = σ₂/σ₃ = −1.

piège : Oublier le signe (−1)ⁿ dans le produit des racines.

Exercice 4. Imposer une racine double

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit n ≥ 1. Trouver a et b réels tels que 1 soit racine au moins double de P = aXⁿ⁺¹ + bXⁿ + 1, puis préciser la multiplicité exacte.

Technique caractérisation de la multiplicité par les dérivées.

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On écrit P(1) = a + b + 1 = 0 et P'(1) = (n + 1)a + nb = 0.
On remplace b par −1 − a : a − n = 0, donc a = n et b = −(n + 1).
On calcule P''(1) = n²(n + 1) − (n + 1)n(n − 1) = n(n + 1), qui est non nul.
Donc 1 est racine exactement double.

piège : Annoncer « double » sans calculer P''(1). On n'a alors prouvé qu'une multiplicité au moins égale à 2.

Exercice 5. Une exponentielle tronquée à racines simples

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit n ≥ 1 et P = Σ X^k/k! pour k de 0 à n. Montrer que les racines complexes de P sont simples.

Technique racines communes à P et P'.

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En dérivant terme à terme, on obtient P' = P − Xⁿ/n!.
Si a est racine multiple, alors P(a) = P'(a) = 0, donc aⁿ/n! = 0 et a = 0.
Or P(0) = 1. C'est une contradiction.

piège : Chercher les racines, ce qui est impossible. La relation entre P et P' suffit.

Exercice 6. Divisibilité par X² + X + 1

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit n ≥ 1. Pour quels n le polynôme X² + X + 1 divise-t-il P = X²ⁿ + Xⁿ + 1 ?

Technique divisibilité lue sur les racines complexes.

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On a X² + X + 1 = (X − j)(X − j²), avec deux racines simples. La divisibilité équivaut donc à P(j) = P(j²) = 0.
P est réel et j² = j̄. P(j²) est donc le conjugué de P(j), et il suffit d'étudier P(j).
On utilise j³ = 1. Si n = 3k, alors P(j) = 3.
Si n = 3k + 1, alors P(j) = j² + j + 1 = 0. Si n = 3k + 2, alors P(j) = j + j² + 1 = 0.
La divisibilité a lieu si et seulement si n n'est pas multiple de 3.

piège : Oublier que les racines du diviseur sont simples. Avec une racine double, il faudrait aussi annuler P'.

Exercice 7. Reste modulo X² + 1

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Soient θ réel et n ∈ N. Déterminer le reste de la division de (cos θ + X sin θ)ⁿ par X² + 1. D'après un écrit CCINP MP.

Technique évaluation en une racine complexe, puis identification justifiée.

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On écrit P = (X² + 1)Q + aX + b. La division dans R[X] est aussi, par unicité, celle dans C[X]. Donc a et b sont réels.
En i, on obtient e^inθ = b + ai.
Comme a et b sont réels, b = cos(nθ) et a = sin(nθ).
Donc R = sin(nθ)X + cos(nθ).

piège : Identifier parties réelles et imaginaires sans avoir justifié que a et b sont réels.

Exercice 8. Interpolation de Lagrange

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

(a) Trouver P de degré au plus 2 tel que P(−1) = 2, P(0) = 1 et P(1) = 4. (b) Soient x₁, …, x_n distincts et L₁, …, L_n les polynômes de Lagrange associés. Montrer que Σ x_i^k L_i = X^k pour tout k ≤ n − 1.

Technique polynômes élémentaires, et unicité par comptage des racines.

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(a) Les polynômes élémentaires sont X(X − 1)/2, −(X² − 1) et X(X + 1)/2.
Donc P = X(X − 1) − (X² − 1) + 2X(X + 1) = 2X² + X + 1, et on vérifie les trois valeurs.
(b) Les deux membres sont de degré au plus n − 1 et coïncident en chaque x_j, car L_i(x_j) vaut 1 si i = j et 0 sinon.
Leur différence, de degré au plus n − 1, a n racines distinctes, donc elle est nulle. Avec k = 0, on obtient Σ L_i = 1.

piège : Appliquer (b) avec k = n. Le membre de gauche reste de degré au plus n − 1, et l'égalité est fausse.

Exercice 9. Dérivée d'un polynôme scindé à racines simples

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Soit P ∈ R[X] de degré n ≥ 2, scindé sur R à racines simples. Montrer que P' est scindé sur R à racines simples. L'exercice utilise le théorème de Rolle.

Technique Rolle entre deux racines consécutives, puis comptage.

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On range les racines de P : x₁ < … < x_n.
Pour chaque k de 1 à n − 1, Rolle fournit c_k dans ]x_k, x_k+1[ tel que P'(c_k) = 0.
Ces intervalles ouverts sont disjoints, donc les c_k sont n − 1 racines distinctes de P'.
Le produit des X − c_k divise P', qui est de degré n − 1. P' est donc ce produit à une constante près, scindé à racines simples.

piège : Ne pas justifier que les c_k sont distincts. Prolongement : avec des multiplicités, P' reste scindé, car une racine de multiplicité m ≥ 2 de P est de multiplicité m − 1 pour P'.

Exercice 10. Polynômes de Tchebychev

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Montrer que pour tout n ∈ N, il existe un unique T_n ∈ R[X] tel que T_n(cos θ) = cos(nθ) pour tout réel θ. Donner son degré, son coefficient dominant et sa factorisation.

Technique récurrence double, et unicité par une infinité de points.

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Existence. On pose T₀ = 1, T₁ = X et T_n+2 = 2X T_n+1 − T_n. L'identité cos((n + 2)θ) + cos(nθ) = 2 cos θ cos((n + 1)θ) propage la propriété.
Unicité. Deux solutions coïncident sur [−1, 1], ensemble infini, donc elles sont égales.
Pour n ≥ 1, T_n est de degré n et de coefficient dominant 2ⁿ⁻¹, par récurrence, car le terme 2X T_n+1 domine.
Pour n ≥ 1, on pose x_k = cos((2k + 1)π/(2n)) pour k de 0 à n − 1. On a T_n(x_k) = cos((2k + 1)π/2) = 0.
Les angles sont distincts dans ]0, π[, où cos est strictement décroissant. On obtient n racines distinctes, et T_n = 2ⁿ⁻¹ Π (X − x_k).

piège : Faire aller k jusqu'à 2n − 1. On obtient des racines répétées et une contradiction apparente avec le degré.

Exercice 11. Une équation fonctionnelle polynomiale

Approfondissement · Type oral Mines

Déterminer les P ∈ C[X] tels que P(X²) = P(X)P(X + 1).

Technique ensemble des racines stable par une transformation, et argument de finitude.

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Si P est constant, c = c², donc P = 0 ou P = 1. Sinon, la comparaison des coefficients dominants montre que P est unitaire.
Si z est racine, z² l'est aussi. Si z ≠ 0 et |z| ≠ 1, les |z|^{2^k} sont deux à deux distincts, ce qui donne une infinité de racines. Donc z = 0 ou |z| = 1.
En z − 1, on obtient P((z − 1)²) = P(z − 1)P(z) = 0. Par l'étape 2, z = 1 ou |z − 1| = 1.
Donc z ∈ {0, 1} ou z = e^±iπ/3. Dans ce dernier cas, z² serait racine avec |z² − 1| = √3, ce que l'étape 3 appliquée à z² exclut.
P est donc de la forme X^a (X − 1)^b. L'identité devient X^2a(X − 1)^b(X + 1)^b = X^a+b(X − 1)^b(X + 1)^a, d'où a = b.
Réciproquement, (X² − X)^a convient. Les solutions sont 0 et les (X² − X)^a, pour a ∈ N.

piège : Oublier l'étape 3. La seule stabilité par z ↦ z² laisse possibles toutes les racines de l'unité.

Erreurs fréquentes

Écrire deg(P + Q) = max(deg P, deg Q) sans vérifier que les termes dominants ne se compensent pas.
Conclure à une multiplicité m sans vérifier P^(m)(a) ≠ 0. On n'a alors prouvé qu'une multiplicité au moins égale à m.
Raisonner sur les seules racines réelles pour une divisibilité ou une coprimalité. Le critère par les racines se lit dans C.
Dans Viète, oublier de diviser par le coefficient dominant, ou oublier le signe (−1)ⁿ du produit des racines.
Identifier parties réelles et imaginaires d'un reste sans avoir justifié que ses coefficients sont réels, ou évaluer aux racines d'un diviseur à racine multiple sans dériver la relation.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de MPSI (2021), chapitre « Polynômes et fractions rationnelles », paragraphes a) à g). Elle couvre l'anneau $\K[X]$ , le degré, la division euclidienne, les racines et leur multiplicité, la dérivation formelle, l'arithmétique de $\K[X]$ , la factorisation dans $\C[X]$ et dans $\R[X]$ et l'interpolation de Lagrange. Les fractions rationnelles font l'objet de la fiche suivante. Le corps $\K$ est toujours $\R$ ou $\C$ .

Polynômes

Résumé en cinq points

1L'anneau K[X]

1.1Polynômes et degré

1.2Opérations et degré

2Divisibilité et division euclidienne

2.1Divisibilité

2.2Division euclidienne

3Racines et multiplicité

3.1Fonction polynomiale et racines

3.2Multiplicité

3.3Polynômes scindés et relations coefficients-racines

4Dérivation

4.1Dérivée formelle

4.2Règles de calcul

4.3Formule de Taylor polynomiale

4.4Caractérisation de la multiplicité

5Arithmétique dans K[X]

6Factorisation dans C[X] et dans R[X]

6.1Théorème de d'Alembert-Gauss

6.2Le cas réel

7Interpolation de Lagrange

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Poser une division euclidienne

Exercice 2. Euclide étendu et relation de Bézout

Exercice 3. Relations coefficients-racines

Exercice 4. Imposer une racine double

Exercice 5. Une exponentielle tronquée à racines simples

Exercice 6. Divisibilité par X² + X + 1

Exercice 7. Reste modulo X² + 1

Exercice 8. Interpolation de Lagrange

Exercice 9. Dérivée d'un polynôme scindé à racines simples

Exercice 10. Polynômes de Tchebychev

Exercice 11. Une équation fonctionnelle polynomiale

Erreurs fréquentes

Au concours