Intégration sur un segment

Résumé en cinq points

1Continuité uniforme et théorème de Heine

1.1Définition

La différence avec la continuité tient à la place des quantificateurs : dans la continuité en chaque point, $\delta$ dépend de $\varepsilon$ et du point, alors qu'ici un même $\delta$ convient pour tout le domaine.

1.2Théorème de Heine

La démonstration n'est pas exigible. Ce théorème sert uniquement à construire l'intégrale, en permettant d'encadrer une fonction continue sur $[a, b]$ entre deux fonctions en escalier arbitrairement proches. L'étude systématique de l'uniforme continuité est hors programme.

2Fonctions continues par morceaux

2.1Subdivisions et fonctions en escalier

2.2Fonctions continues par morceaux

Sur un intervalle $I$ quelconque, $f$ est dite continue par morceaux si sa restriction à tout segment inclus dans $I$ l'est.

3L'intégrale sur un segment

3.1Construction et interprétation

Le programme n'impose aucune construction particulière. L'intégrale d'une fonction en escalier est la somme des $c_k(x_{k+1} - x_k)$, où $c_k$ est la valeur constante sur $]x_k, x_{k+1}[$, et elle ne dépend pas de la subdivision adaptée choisie. On étend aux fonctions continues par morceaux par encadrement entre fonctions en escalier, l'uniforme continuité rendant l'écart aussi petit qu'on veut.

Pour $f$ réelle positive, l'intégrale est l'aire sous la courbe. Pour $f$ complexe, on intègre séparément partie réelle et partie imaginaire. La variable d'intégration est muette.

3.2Propriétés fondamentales

On étend la notation au cas $b < a$ en posant $\int_a^b f = -\int_b^a f$. La relation de Chasles et la linéarité restent alors vraies pour $a$, $b$, $c$ quelconques.

3.3Le cas d'annulation

Conséquence : si $f$ est continue et si $\int_a^b |f| = 0$, alors $f$ est nulle. C'est ce résultat qui fait de $(f, g) \mapsto \int fg$ un produit scalaire sur les fonctions continues sur $[a, b]$.

4Sommes de Riemann

4.1Énoncé

C'est la méthode des rectangles à gauche. La variante avec $k$ de $1$ à $n$ converge vers la même limite. On approche l'aire sous la courbe par $n$ rectangles de même largeur.

Dans cet exemple, chaque rectangle a pour largeur $1/4$ et pour hauteur $f(k/4)$, pour $k=0,1,2,3$. Leur aire totale est $\frac14\sum_{k=0}^3 f(k/4)$; quand le nombre de rectangles augmente, les sommes convergent vers $\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}=\frac{\pi}{4}$.

4.2Idée de la démonstration dans le cas lipschitzien

La démonstration est exigible lorsque $f$ est lipschitzienne, c'est-à-dire lorsqu'il existe $M \geqslant 0$ tel que $|f(x) - f(y)| \leqslant M|x - y|$ pour tous $x$, $y$ de $[a, b]$.

On obtient au passage la vitesse de convergence, en $1/n$. Une fonction de classe $\mathcal{C}^1$ sur un segment est lipschitzienne de rapport $\sup|f'|$, par l'inégalité des accroissements finis : ce cas se traite donc de la même façon.

4.3Usage pratique

Numériquement, on compare la méthode des rectangles et celle des trapèzes.

5Intégrale et primitives

5.1Théorème fondamental

Conséquences :

• toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives ;
• deux primitives d'une même fonction sur un intervalle diffèrent d'une constante ;
• si $G$ est une primitive quelconque de $f$ sur $I$, alors $\int_a^b f = G(b) - G(a)$.

5.2Dérivation d'une intégrale à bornes variables

On l'écrit $F(v(x)) - F(u(x))$ et on compose.

5.3Primitives usuelles

Sont exigibles :

• les primitives des fonctions puissances, exponentielle, logarithme, trigonométriques et hyperboliques ;
• celle de $x \mapsto \frac{1}{1 + x^2}$, qui donne $\arctan$ ;
• celle de $x \mapsto \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$, qui donne $\arcsin$ ;
• celle de $x \mapsto \frac{1}{ax^2 + bx + c}$, selon le signe du discriminant ;
• la reconnaissance d'une dérivée composée $u'/u$, qui donne $\ln|u|$, ou $u'u^\alpha$.

Les primitives de $x \mapsto \e^{ax}\cos(bx)$ et $x \mapsto \e^{ax}\sin(bx)$ se calculent en passant par $x \mapsto \e^{\lambda x}$ avec $\lambda = a + \ii b$, puis en prenant partie réelle ou imaginaire.

6Les deux techniques de calcul

6.1Intégration par parties

Cas d'usage typiques :

• un polynôme fois une exponentielle ou une fonction trigonométrique, où l'on dérive le polynôme ;
• un logarithme ou un arctan seuls, où l'on prend $u' = 1$ ;
• une intégrale de Wallis, où l'IPP produit une relation de récurrence.

6.2Changement de variable

$\varphi$ n'a besoin d'être ni bijective ni monotone.

• Sens direct : on reconnaît la forme $f(\varphi(t))\varphi'(t)$ et on pose $x = \varphi(t)$.
• Sens inverse : on choisit une substitution, et $\varphi$ doit alors être bijective de l'intervalle des nouvelles variables sur celui des anciennes pour traduire les bornes.

Deux conséquences à savoir redémontrer ainsi :

• l'intégrale sur $[-a, a]$ d'une fonction impaire est nulle, celle d'une fonction paire vaut deux fois celle sur $[0, a]$ ;
• pour $f$ continue $T$-périodique, l'intégrale sur tout segment de longueur $T$ est la même.

6.3Fractions rationnelles

Pour primitiver une fraction rationnelle, on la décompose en éléments simples puis on intègre terme à terme. Les briques sont :

• $\frac{1}{(x - a)^k}$, qui donne un logarithme ou une puissance ;
• les éléments de seconde espèce sur $\R$, ramenés après mise sous forme canonique à $u'/u$ plus un multiple de $\frac{1}{1 + w^2}$.

7Formules de Taylor globales

7.1Formule de Taylor avec reste intégral

C'est une égalité exacte, valable sur tout l'intervalle et non seulement au voisinage de $a$. Le prix à payer est l'hypothèse de classe $\mathcal{C}^{n+1}$.

7.2Inégalité de Taylor-Lagrange

On l'obtient en majorant le reste intégral. L'égalité de Taylor-Lagrange est hors programme en MPSI.

7.3Comparaison avec Taylor-Young

La formule de Taylor-Young dit que $f(x)$ est la somme des mêmes termes plus $o((x - a)^n)$ quand $x$ tend vers $a$. Elle est locale et ne donne aucune information chiffrée à distance finie de $a$. Les formules globales donnent au contraire une majoration explicite de l'erreur, valable partout, au prix d'une dérivée de plus.

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

1. Définir une fonction continue par morceaux sur un segment et donner un contre-exemple pour chaque hypothèse.
2. Énoncer le théorème de Heine et dire à quoi il sert dans la construction de l'intégrale.
3. Démontrer que si $f$ est continue positive sur $[a, b]$ d'intégrale nulle, alors $f$ est nulle.
4. Démontrer la convergence des sommes de Riemann pour $f$ lipschitzienne, avec la majoration en $1/n$.
5. Calculer par somme de Riemann la limite de $\sum_{k=1}^{n} \frac{n}{n^2 + k^2}$.
6. Démontrer le théorème fondamental : la dérivée de $x \mapsto \int_a^x f$ est $f$, pour $f$ continue.
7. Démontrer la formule de Taylor avec reste intégral par récurrence, puis en déduire l'inégalité de Taylor-Lagrange.
8. Calculer les intégrales de Wallis par intégration par parties et en déduire une relation de récurrence.

Les résultats à connaître

• Une fonction lipschitzienne sur une partie de R y est uniformément continue. Exigible avec démonstration, c'est l'exemple cité par le programme.
• Théorème de Heine : une fonction continue sur un segment y est uniformément continue. La démonstration n'est pas exigible.
• Les fonctions continues par morceaux sur un segment, à valeurs dans K, forment un sous-espace vectoriel et un sous-anneau de l'ensemble des fonctions. Elles sont bornées. Exigible.
• Linéarité, positivité, croissance, inégalité triangulaire et relation de Chasles pour f, g continues par morceaux sur [a, b]. Exigibles à l'usage. Leur preuve dépend de la construction, que le programme n'impose pas.
• Cas b < a : Chasles et linéarité restent vraies, croissance et inégalité triangulaire exigent a ≤ b. Exigible.
• Si f est continue sur [a, b] avec a < b, à valeurs réelles positives, d'intégrale nulle, alors f est nulle sur [a, b]. Exigible avec démonstration.
• Intégrale d'une fonction paire ou impaire sur [−a, a], d'une fonction T-périodique sur un segment de longueur T. Exigibles avec démonstration.
• Sommes de Riemann pour f continue par morceaux sur [a, b]. Démonstration exigible pour f lipschitzienne, admise sinon.
• Pour f continue sur un intervalle I et a ∈ I, x ↦ ∫ de a à x de f est de classe C¹, de dérivée f. Exigible avec démonstration. Corollaire : toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
• Intégration par parties pour u, v de classe C¹, changement de variable pour φ de classe C¹ et f continue sur φ(I). Exigibles avec démonstration.
• Formule de Taylor avec reste intégral pour f de classe Cⁿ⁺¹ sur I. Exigible avec démonstration.
• Inégalité de Taylor-Lagrange. Exigible avec démonstration. L'égalité de Taylor-Lagrange est hors programme.
• Hors programme : l'étude systématique de la continuité uniforme.

Clés de démonstration

Lipschitzienne implique uniformément continue. Soit k un rapport de Lipschitz. Si k = 0, f est constante et tout δ convient. Sinon δ = ε/k convient, car |f(x) − f(y)| ≤ k|x − y| ≤ ε. Astuce : δ ne dépend que de ε, c'est l'uniformité.

Continue, positive, d'intégrale nulle. Soit a < b. On pose F(x) = ∫ de a à x de f. F est C¹ sur [a, b] de dérivée f ≥ 0, donc croissante, et F(a) = 0 = F(b). Donc F est nulle sur [a, b], et f = F' aussi. Astuce : la primitive évite l'argument local avec un ε. Pour f négative, on passe à −f. Si a = b, l'énoncé est faux : toute fonction a une intégrale nulle sur [a, a].

Sommes de Riemann, cas lipschitzien. On note h = (b − a)/n et x_k = a + kh. Par Chasles, l'intégrale est la somme des ∫ de x_k à x_(k+1) de f, et h f(x_k) est l'intégrale de la constante f(x_k) sur le même segment. Chaque écart est au plus ∫ de x_k à x_(k+1) de M(t − x_k) dt = Mh²/2, d'où un total M(b − a)²/(2n). Astuce : écrire chaque terme de la somme comme une intégrale de constante.

Théorème fondamental. On fixe x dans I et ε > 0, la continuité de f en x fournit δ. Pour 0 < |h| ≤ δ avec x + h ∈ I, (F(x + h) − F(x))/h − f(x) = (1/h) ∫ de x à x + h de (f(t) − f(x)) dt, de module au plus ε. Donc F'(x) = f(x), continue. Astuce : f(x) = (1/h) ∫ de x à x + h de f(x) dt, et majorer avec |h| pour couvrir h < 0.

Intégration par parties et changement de variable. Pour l'IPP, on intègre (uv)' = u'v + uv', qui est continue. Pour le changement de variable, φ(I) est un intervalle, f y a une primitive F, et (F∘φ)' = (f∘φ)φ'. Les deux membres valent F(φ(b)) − F(φ(a)). Astuce : on compare des primitives, on ne manipule jamais « dx ».

Parité et périodicité. Pour la parité, on substitue t = −x. Pour f continue T-périodique, g(x) = ∫ de x à x + T de f a pour dérivée f(x + T) − f(x) = 0, donc g est constante sur R. Si f est seulement continue par morceaux, on coupe en T par Chasles et on translate.

Taylor avec reste intégral. Récurrence sur n, le cas n = 0 étant le théorème fondamental. Pour l'hérédité, avec f de classe Cⁿ⁺², on intègre par parties le reste d'ordre n avec u(t) = −(x − t)ⁿ⁺¹/(n+1)!, de dérivée (x − t)ⁿ/n!, et v = fⁿ⁺¹. Le crochet donne le terme fⁿ⁺¹(a)(x − a)ⁿ⁺¹/(n+1)!, l'intégrale restante est le reste suivant. Astuce : choisir la primitive qui s'annule en t = x.

Inégalité de Taylor-Lagrange. On majore le module du reste par l'intégrale du module, bornes remises dans l'ordre croissant. On obtient M × ∫ |x − t|ⁿ/n! dt = M|x − a|ⁿ⁺¹/(n+1)!. Astuce : si x < a, écrire d'abord ∫ de a à x = −∫ de x à a.

Exemples et contre-exemples à connaître

1. x ↦ x² est lipschitzienne sur tout segment mais pas uniformément continue sur R, car (x + δ)² − x² = 2xδ + δ² n'est pas borné. Tout dépend du domaine.
2. √ sur [0, 1] est uniformément continue par Heine mais pas lipschitzienne, car √x/x n'est pas bornée près de 0. Le cas lipschitzien des sommes de Riemann ne couvre pas tout.
3. La fonction nulle sauf en un point où elle vaut 1 : positive, continue par morceaux, d'intégrale nulle, non nulle. La continuité est indispensable.
4. sin(1/x), prolongée par 0 en 0, est bornée sur [0, 1] mais pas continue par morceaux, faute de limite en 0. Borné ne suffit pas.
5. F(x) = ∫ de 0 à x de E(t) dt est continue, affine par morceaux, non dérivable en chaque entier, où la pente passe de n − 1 à n. Sans continuité de l'intégrande, le théorème fondamental tombe.
6. Pour f(x) = x sur [0, 1], la somme de Riemann à gauche vaut 1/2 − 1/(2n). L'erreur en 1/n est atteinte.
7. « ∫ de −1 à 1 de dx/x² = [−1/x] = −2 » est faux : négatif pour une fonction positive. L'intégrande n'est pas continue par morceaux sur le segment.
8. ∫ de 1 à 0 de x dx = −1/2 < 0 pour une fonction positive. La positivité suppose des bornes croissantes.

Techniques du chapitre

Technique 1 : majorer l'intégrande pour une limite. Limite de J_n = ∫ de 0 à 1 de xⁿ/(1 + x²) dx. Sur [0, 1], 0 ≤ xⁿ/(1 + x²) ≤ xⁿ. Par croissance, 0 ≤ J_n ≤ 1/(n + 1), donc J_n tend vers 0.

Technique 2 : reconnaître une somme de Riemann. Limite de Σ pour k de 1 à n de k/(n² + k²). Le terme vaut (1/n) × (k/n)/(1 + (k/n)²), somme de Riemann de x ↦ x/(1 + x²), continue sur [0, 1]. Limite : (1/2) ln 2.

Technique 3 : dériver une intégrale à bornes variables. g(x) = ∫ de x à 2x de e^−t² dt. Avec F primitive de t ↦ e^−t², g(x) = F(2x) − F(x), donc g'(x) = 2e^−4x² − e^−x².

Technique 4 : récurrence par intégration par parties. I_n = ∫ de 0 à 1 de xⁿ e^x dx. En dérivant xⁿ, I_n = e − n I_(n−1) pour n ≥ 1. Avec I₀ = e − 1, on obtient I₁ = 1.

Technique 5 : symétrie par changement de variable. I = ∫ de 0 à π/2 de sin x/(sin x + cos x) dx. Le changement x = π/2 − t échange sin et cos, donc I égale l'intégrale J avec cos au numérateur. Or I + J = π/2, donc I = π/4.

Technique 6 : passer par les complexes. ∫ de 0 à π de e^x cos x dx est la partie réelle de ∫ de 0 à π de e^(1+i)x dx = (e^(1+i)π − 1)/(1 + i) = −(e^π + 1)(1 − i)/2. Résultat : −(e^π + 1)/2.

Technique 7 : majorer une erreur par Taylor-Lagrange. Pour x ≥ 0, comparer ln(1 + x) et x − x²/2. La dérivée troisième 2/(1 + t)³ est au plus 2 sur [0, x]. Donc |ln(1 + x) − x + x²/2| ≤ 2x³/3! = x³/3.

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