Le cours

Résumé en cinq points

Dénombrable signifie en bijection avec $\N$ . Au plus dénombrable signifie fini ou dénombrable, ce qui équivaut à s'injecter dans $\N$ . Produits finis et réunions dénombrables préservent cette propriété, donc $\Z$ , $\N^p$ et $\Q$ sont dénombrables, mais $\R$ ne l'est pas.
Une tribu contient $\Omega$ et est stable par complémentaire et par réunion dénombrable. Elle sert de domaine de définition à la probabilité, rien de plus.
Une probabilité est $\sigma$ -additive. Toutes les propriétés de première année en découlent, plus la continuité croissante et la continuité décroissante.
Sur un univers au plus dénombrable, une probabilité est entièrement déterminée par les probabilités des singletons, dont la famille est sommable de somme 1.
Négligeable ne veut pas dire impossible, presque sûr ne veut pas dire certain, et l'indépendance deux à deux ne donne pas l'indépendance mutuelle.

Pourquoi ce chapitre

En première année, les probabilités se faisaient sur un univers fini. On pouvait alors additionner les probabilités des issues une par une, et tout se ramenait à du dénombrement. Dès qu'on veut modéliser un jeu de pile ou face répété indéfiniment, ou le rang du premier succès, l'univers devient infini et cette approche s'effondre.

Ce chapitre fournit deux outils :

la dénombrabilité, qui dit quels ensembles infinis restent « énumérables » et autorisent donc des sommes de séries ;
la structure d'espace probabilisé, avec la notion de tribu et l'axiome de $\sigma$ -additivité, qui remplace l'additivité finie.

Le programme est explicite sur le dosage. La tribu est là pour donner un cadre correct, pas pour être manipulée. En revanche, la continuité croissante et la continuité décroissante sont des outils de calcul utilisés en permanence dans les exercices de concours.

1Ensembles dénombrables

1.1Définitions

Définition 1.1Ensemble dénombrable

Un ensemble $E$ est dénombrable s'il existe une bijection de $\N$ sur $E$ . Autrement dit, on peut numéroter ses éléments par les entiers, sans répétition et sans en oublier. Un ensemble dénombrable est donc infini.

Définition 1.2Ensemble au plus dénombrable

Un ensemble est au plus dénombrable s'il est fini ou dénombrable.

Propriété 1.3Caractérisation

Un ensemble est au plus dénombrable si et seulement s'il est en bijection avec une partie de $\N$ .

Deux critères pratiques en découlent, et ce sont ceux qu'on utilise réellement.

Propriété 1.4Critères pratiques

S'il existe une injection de $E$ dans $\N$ , ou plus généralement dans un ensemble au plus dénombrable, alors $E$ est au plus dénombrable.
Si $E$ est non vide et s'il existe une surjection d'un ensemble au plus dénombrable sur $E$ , alors $E$ est au plus dénombrable.

1.2Parties de N

Propriété 1.5Parties infinies de $\N$

Toute partie infinie de $\N$ est dénombrable.

L'idée de la construction est simple. On énumère les éléments de la partie dans l'ordre croissant, ce qui est possible parce que toute partie non vide de $\N$ a un plus petit élément. La partie étant infinie, le procédé ne s'arrête jamais. On obtient une bijection de $\N$ sur cette partie.

Propriété 1.6Conséquence

Une partie d'un ensemble au plus dénombrable est au plus dénombrable.

1.3Stabilité par produit et par réunion

Deux théorèmes, dont les démonstrations ne sont pas exigibles.

Théorème 1.7Produit fini

Un produit cartésien d'une famille finie d'ensembles dénombrables est dénombrable.

Théorème 1.8Réunion dénombrable

Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles finis ou dénombrables est finie ou dénombrable.

L'idée du premier dans le cas de $\N \times \N$ est le parcours en diagonales. On range les couples $(p, q)$ par valeur croissante de $p + q$ , et à somme fixée par $p$ croissant. Chaque diagonale est finie, donc on épuise bien $\N \times \N$ .

L'idée du second est le parcours d'un tableau à double entrée, la ligne $n$ listant les éléments du $n$ -ième ensemble, en ne comptant qu'une fois les éléments communs.

Exemple 1.9Conséquences à connaître

$\N^p$ est dénombrable pour tout entier $p \geqslant 1$ .
$\Z$ est dénombrable. On peut l'énumérer par $0, 1, -1, 2, -2$ , et ainsi de suite.
$\Q$ est dénombrable. Tout rationnel s'écrit $p/q$ avec $p \in \Z$ et $q \in \N^*$ , ce qui fournit une surjection de $\Z \times \N^*$ sur $\Q$ .

1.4R n'est pas dénombrable

Théorème 1.10 $\R$ n'est pas dénombrable

$\R$ n'est pas dénombrable. La démonstration n'est pas exigible.

L'idée est l'argument diagonal. Supposons qu'on dispose d'une énumération $x_0, x_1, x_2, \dots$ de tous les réels de $\intff{0}{1}$ . On construit un réel $y$ de $\intff{0}{1}$ en choisissant sa $n$ -ième décimale différente de celle de $x_n$ , en évitant les chiffres 0 et 9 pour écarter les écritures décimales doubles. Alors $y$ diffère de chaque $x_n$ , ce qui contredit l'énumération.

L'ensemble des irrationnels n'est pas dénombrable, puisque sinon $\R$ serait réunion de deux ensembles dénombrables. « Dénombrable » ne veut pas dire « petit » au sens de la taille intuitive, mais « énumérable ».

Remarque

Hors programme, pour la culture. Le même argument diagonal montre qu'aucun ensemble n'est en bijection avec l'ensemble de ses parties. En particulier $\mathcal{P}(\N)$ n'est pas dénombrable.

1.5Lien avec les familles sommables

Le support d'une famille sommable de nombres complexes, c'est-à-dire l'ensemble des indices où le terme est non nul, est au plus dénombrable.

Rappel du strict nécessaire :

pour une famille de réels positifs, la somme est la borne supérieure dans $\intfo{0}{+\infty}$ des sommes finies, éventuellement $+\infty$ ;
une famille de complexes est sommable si la famille des modules est de somme finie, et alors sa somme ne dépend pas de l'ordre d'énumération.

Cette invariance par réindexation rend cohérentes les définitions probabilistes, puisqu'aucun ordre ne s'impose sur les valeurs d'une variable aléatoire.

2Tribus et espaces probabilisables

2.1Définition

Définition 2.1Tribu

Soit $\Omega$ un ensemble. Une partie $\mathcal{A}$ de $\mathcal{P}(\Omega)$ est une tribu sur $\Omega$ si :

$\Omega \in \mathcal{A}$ ;
$\mathcal{A}$ est stable par passage au complémentaire ;
$\mathcal{A}$ est stable par réunion dénombrable : si $(A_n)$ est une suite d'éléments de $\mathcal{A}$ , alors $\bigcup_n A_n \in \mathcal{A}$ .

Définition 2.2Espace probabilisable, événements

Le couple $(\Omega, \mathcal{A})$ est un espace probabilisable. Les éléments de $\mathcal{A}$ sont les événements.

Propriété 2.3Conséquences immédiates

L'ensemble vide est un événement, comme complémentaire de $\Omega$ .
Une tribu est stable par réunion finie, en complétant la suite par des ensembles vides.
Elle est stable par intersection finie ou dénombrable, par passage au complémentaire et loi de De Morgan.
Elle est stable par différence.

Exemple 2.4Tribus usuelles

La tribu grossière $\{\emptyset, \Omega\}$ et la tribu $\mathcal{P}(\Omega)$ sont des tribus. Quand $\Omega$ est fini ou dénombrable, on prend systématiquement $\mathcal{A} = \mathcal{P}(\Omega)$ et la notion de tribu devient invisible.

Le programme précise que la manipulation des tribus n'est pas un objectif. On n'attend pas de construire des tribus exotiques, mais de savoir pourquoi elle est là. Sur un univers infini non dénombrable, on ne peut pas toujours affecter une probabilité à toutes les parties de $\Omega$ de façon cohérente. La tribu délimite les parties auxquelles on sait donner un sens probabiliste.

2.2Vocabulaire des événements

Il prolonge celui de première année.

Deux événements $A$ et $B$ sont incompatibles si $A \cap B = \emptyset$ .
Le contraire de $A$ est son complémentaire.
Une famille finie ou dénombrable $(A_i)$ d'événements deux à deux incompatibles dont la réunion est $\Omega$ s'appelle un système complet d'événements.

3Probabilités et espaces probabilisés

3.1Définition

Définition 3.1Probabilité

Soit $(\Omega, \mathcal{A})$ un espace probabilisable. Une probabilité sur $(\Omega, \mathcal{A})$ est une application $P$ de $\mathcal{A}$ dans $\intff{0}{1}$ telle que :

$P(\Omega) = 1$ ;
pour toute suite $(A_n)$ d'événements deux à deux incompatibles, la série $\sum P(A_n)$ converge et $P\Big(\bigcup_{n} A_n\Big) = \sum_{n=0}^{+\infty} P(A_n).$

Cette dernière propriété est la $\sigma$ -additivité. Le triplet $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ est un espace probabilisé.

Attention

Attention à l'ordre logique : la $\sigma$ -additivité impose la convergence de la série. Elle est automatique ici, puisque les termes sont positifs et les sommes partielles majorées par 1.

3.2Propriétés élémentaires

Elles se démontrent comme en première année, en complétant par des ensembles vides quand il faut passer du fini au dénombrable.

Propriété 3.2Propriétés élémentaires

$P(\emptyset) = 0$ .
Additivité finie pour des événements deux à deux incompatibles.
$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ .
Croissance : si $A \subset B$ , alors $P(A) \leqslant P(B)$ .
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

3.3Continuité croissante et continuité décroissante

C'est le cœur calculatoire du chapitre.

Théorème 3.3Continuité croissante

Hypothèses

$(A_n)$ est une suite d'événements ;
elle est croissante : $A_n \subset A_{n+1}$ pour tout $n$ .

Alors $P\Big(\bigcup_{n} A_n\Big) = \lim_{n\to+\infty} P(A_n).$

Démonstration

On pose $B_0 = A_0$ et $B_n = A_n \setminus A_{n-1}$ pour $n \geqslant 1$ . Les $B_n$ sont des événements deux à deux incompatibles, leur réunion est celle des $A_n$ , et la somme partielle de rang $n$ des $P(B_k)$ vaut $P(A_n)$ . La $\sigma$ -additivité donne le résultat.

Théorème 3.4Continuité décroissante

Hypothèses

$(A_n)$ est une suite d'événements ;
elle est décroissante.

Alors $P\Big(\bigcap_{n} A_n\Big) = \lim_{n\to+\infty} P(A_n).$ On l'obtient en appliquant la continuité croissante à la suite des complémentaires.

Pour une suite quelconque $(A_n)$ d'événements, la suite des réunions des $A_k$ pour $k$ de 0 à $n$ est croissante, et la suite des intersections est décroissante. Donc :

$\begin{aligned} P\Big(\bigcup_{k=0}^{n} A_k\Big) &\to P\Big(\bigcup_{k} A_k\Big),\\ P\Big(\bigcap_{k=0}^{n} A_k\Big) &\to P\Big(\bigcap_{k} A_k\Big). \end{aligned}$

C'est le réflexe qui permet de traiter les événements du type « il y a au moins un succès » ou « il n'y a jamais de succès » dans un jeu infini.

3.4Sous-additivité

Propriété 3.5Sous-additivité

Pour toute suite $(A_n)$ d'événements : $P\Big(\bigcup_{n} A_n\Big) \leqslant \sum_{n=0}^{+\infty} P(A_n),$ la somme étant éventuellement infinie. Cette majoration ne suppose aucune incompatibilité.

3.5Événements négligeables et presque sûrs

Définition 3.6Négligeable, presque sûr

Un événement $A$ est négligeable si $P(A) = 0$ . Il est presque sûr si $P(A) = 1$ . Les deux notions sont échangées par passage au complémentaire.

Propriété 3.7Stabilité

Une réunion finie ou dénombrable d'événements négligeables est négligeable, par sous-additivité. Par complémentaire, une intersection finie ou dénombrable d'événements presque sûrs est presque sûre.

Attention

Sur un univers infini, un événement négligeable n'est pas forcément impossible, et un événement presque sûr n'est pas forcément certain. Dans un jeu de pile ou face infini, l'événement « on obtient pile à chaque lancer » est de probabilité nulle, il est pourtant réalisable dans le modèle.

Le programme introduit aussi les systèmes quasi-complets d'événements, c'est-à-dire les familles finies ou dénombrables d'événements deux à deux incompatibles dont la réunion est presque sûre. Tout développement supplémentaire est hors programme.

4Espaces probabilisés discrets

Définition 4.1Distribution de probabilités discrète

Soit $\Omega$ un ensemble. Une distribution de probabilités discrète sur $\Omega$ est une famille $(p_\omega)$ de réels positifs indexée par $\Omega$ et de somme 1, au sens des familles sommables.

Son support, c'est-à-dire l'ensemble des $\omega$ tels que $p_\omega \neq 0$ , est au plus dénombrable. C'est une conséquence directe du résultat sur les familles sommables.

À une telle distribution on associe une probabilité $P$ sur la tribu $\mathcal{P}(\Omega)$ en posant, pour toute partie $A$ de $\Omega$ : $P(A) = \sum_{\omega \in A} p_\omega.$ Cette somme a un sens car la famille est sommable.

Propriété 4.2Réciproque

Si $\Omega$ est au plus dénombrable, toute probabilité sur $\mathcal{P}(\Omega)$ s'obtient ainsi, en prenant $p_\omega = P(\{\omega\})$ .

Sur un univers au plus dénombrable, se donner une probabilité revient exactement à se donner les probabilités des singletons, de somme 1. C'est le cadre de tous les exercices concrets.

5Conditionnement et indépendance

5.1Probabilités conditionnelles

Définition 5.1Probabilité conditionnelle

Soit $B$ un événement tel que $P(B) > 0$ . La probabilité conditionnelle sachant $B$ est $P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.$ On note aussi $P(A \mid B)$ .

L'application $P_B$ est une probabilité sur $(\Omega, \mathcal{A})$ , ce qui autorise à lui appliquer tous les résultats du chapitre, continuité croissante comprise.

Les formules de première année s'étendent mot pour mot.

Propriété 5.2Formule des probabilités composées

Hypothèses

$A_1, \dots, A_n$ sont des événements ;
$P(A_1 \cap \dots \cap A_{n-1}) \neq 0$ .

Alors $\begin{aligned} P(A_1 \cap \dots \cap A_n) &= P(A_1)\,P(A_2 \mid A_1)\cdots\\ &\quad P(A_n \mid A_1 \cap \dots \cap A_{n-1}). \end{aligned}$

Propriété 5.3Formule des probabilités totales

Hypothèses

$(A_i)$ est un système complet d'événements, fini ou dénombrable ;
$B$ est un événement.

Alors $P(B) = \sum_i P(B \cap A_i) = \sum_i P(A_i)\,P(B \mid A_i),$ les termes correspondant à un $A_i$ de probabilité nulle étant comptés pour 0. La formule reste valable pour un système quasi-complet.

Propriété 5.4Formule de Bayes

Hypothèses

$P(A) > 0$ et $P(B) > 0$ .

Alors, en écrivant $P(A \cap B)$ de deux façons, $P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)\,P(A)}{P(B)}.$

La nouveauté par rapport à la première année est que la somme peut être une série. Elle converge toujours, à termes positifs et de somme au plus 1.

5.2Indépendance

Définition 5.5Événements indépendants

Deux événements $A$ et $B$ sont indépendants si $P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$ .

Cette définition ne suppose rien sur les probabilités de $A$ et de $B$ . Lorsque $P(B) > 0$ , elle équivaut à $P(A \mid B) = P(A)$ .

Propriété 5.6Indépendance et complémentaire

Si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $A$ et $\overline{B}$ le sont aussi.

Démonstration

$\begin{aligned} P(A \cap \overline{B}) &= P(A) - P(A \cap B)\\ &= P(A)(1 - P(B))\\ &= P(A)\,P(\overline{B}). \end{aligned}$

Définition 5.7Famille indépendante

Une famille quelconque d'événements est indépendante si, pour toute sous-famille finie, la probabilité de l'intersection est le produit des probabilités. On parle d'indépendance mutuelle.

Attention

Piège classique et exigible : l'indépendance deux à deux n'implique pas l'indépendance de la famille.

Exemple 5.8Trois événements deux à deux indépendants

On lance deux pièces équilibrées. Soit $A$ l'événement « la première donne pile », $B$ l'événement « la seconde donne pile », $C$ l'événement « les deux résultats sont égaux ». Chacun est de probabilité $1/2$ , et chaque intersection de deux d'entre eux est de probabilité $1/4$ , donc ils sont deux à deux indépendants. Mais $A \cap B \cap C = A \cap B$ est de probabilité $1/4$ , alors que le produit des trois probabilités vaut $1/8$ .

Méthodes

MéthodeMontrer qu'un ensemble est au plus dénombrable

Chercher une injection dans $\N$ , dans $\N^2$ , ou dans un ensemble déjà connu comme dénombrable.
Ne pas construire de bijection explicite si une injection suffit.

MéthodeMontrer qu'un ensemble est dénombrable

Montrer qu'il est au plus dénombrable.
Montrer qu'il est infini.

MéthodeMontrer qu'un ensemble n'est pas dénombrable

Chercher une injection de $\R$ , ou de $\{0, 1\}^{\N}$ , dans cet ensemble.
Sinon, reprendre l'argument diagonal.

MéthodeÉvénement « $A_n$ se produit pour au moins un $n$ »

Écrire la réunion des $A_n$ .
Passer par la suite croissante des réunions partielles et la continuité croissante.

MéthodeÉvénement « $A_n$ se produit pour tout $n$ »

Écrire l'intersection des $A_n$ .
Passer par la suite décroissante des intersections partielles et la continuité décroissante.

MéthodeDébloquer un calcul de probabilité

Chercher un système complet d'événements naturel, souvent indexé par le résultat du premier tirage ou par le rang du premier succès.
Appliquer les probabilités totales.

MéthodeMajorer la probabilité d'une réunion

Sans hypothèse d'incompatibilité, utiliser la sous-additivité.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Démontrer que toute partie infinie de $\N$ est dénombrable, en décrivant l'énumération croissante.
Justifier la dénombrabilité de $\Z$ , de $\N^2$ , puis de $\Q$ , en donnant à chaque fois l'injection ou la surjection utilisée.
Énoncer l'argument diagonal montrant que $\R$ n'est pas dénombrable.
Donner la définition d'une tribu et en déduire la stabilité par intersection dénombrable.
Démontrer la continuité croissante à partir de la $\sigma$ -additivité, en construisant les événements deux à deux incompatibles.
Calculer, dans un jeu de pile ou face infini, la probabilité d'obtenir au moins une fois pile, par continuité croissante ou par passage au complémentaire.
Écrire la formule des probabilités totales avec un système complet dénombrable et justifier la convergence de la série.
Donner un exemple de trois événements deux à deux indépendants mais non indépendants dans leur ensemble.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Toute partie infinie de N est dénombrable. Exigible avec démonstration.
E est au plus dénombrable si et seulement si E est en bijection avec une partie de N. Exigible avec démonstration.
S'il existe une injection de E dans un ensemble au plus dénombrable, alors E est au plus dénombrable. Exigible.
Si E est non vide et s'il existe une surjection d'un ensemble au plus dénombrable sur E, alors E est au plus dénombrable. Exigible.
Un produit cartésien fini d'ensembles dénombrables est dénombrable. Exigible sans démonstration.
Une réunion finie ou dénombrable d'ensembles au plus dénombrables est au plus dénombrable. Exigible sans démonstration.
N^p pour p ≥ 1, Z et Q sont dénombrables. Exigible.
R n'est pas dénombrable. Exigible sans démonstration.
Le support d'une famille sommable de complexes est au plus dénombrable. Exigible.
Une tribu contient ∅ et est stable par réunion finie, par intersection finie ou dénombrable et par différence. Exigible avec démonstration.
Propriétés élémentaires d'une probabilité : P(∅) = 0, additivité finie, complémentaire, croissance, formule de P(A ∪ B). Exigibles avec démonstration.
Continuité croissante et continuité décroissante. Exigibles avec démonstration.
Pour une suite quelconque (A_n), P de la réunion des A_k pour k ≤ n tend vers P de la réunion totale, et de même pour les intersections. Exigible.
Sous-additivité dénombrable, sans hypothèse d'incompatibilité. Exigible avec démonstration.
Une réunion finie ou dénombrable d'événements négligeables est négligeable. Une intersection finie ou dénombrable d'événements presque sûrs est presque sûre. Exigible.
Probabilités composées, probabilités totales avec un système complet ou quasi-complet dénombrable, formule de Bayes. Exigibles.
Si A et B sont indépendants, A et le contraire de B le sont. Exigible avec démonstration.
Extension à une famille indépendante, dont on peut remplacer n'importe quels événements par leurs contraires. Elle se prouve par récurrence et est à savoir refaire.
Une distribution discrète sur Ω définit une probabilité sur P(Ω). Si Ω est au plus dénombrable, on obtient ainsi toutes les probabilités sur P(Ω). Exigible.
Hors programme : tribu engendrée, lemmes de Borel-Cantelli comme résultats de cours (le premier se traite en exercice), théorème de Cantor sur P(E), construction d'espaces probabilisés, convergences presque sûre, en probabilité et en loi. On admet l'existence d'un espace modélisant une suite infinie de lancers indépendants.

Clés de démonstration

Parties infinies de N. Soit A une partie infinie de N. On pose φ(0) = min A, puis φ(n+1) égal au plus petit élément de A strictement supérieur à φ(n), qui existe car A est infinie. La suite φ est strictement croissante, donc injective, et vérifie φ(n) ≥ n. Pour la surjectivité, on prend a dans A non atteint. Il existe n tel que φ(n) > a, et on prend le plus petit. Ce n n'est pas nul car φ(0) ≤ a. Alors φ(n−1) < a, donc φ(n) ≤ a par définition, ce qui est contradictoire. Astuce : définir par récurrence avec le bon ordre, puis raisonner sur le premier rang où l'on dépasse a.

Injection et surjection. Si f injecte E dans N, E est en bijection avec f(E), partie finie ou infinie de N. Si s est une surjection d'une partie de N sur E, l'application qui à e associe le plus petit antécédent de e est une injection de E dans N. Astuce : le plus petit antécédent transforme une surjection en injection, sans axiome du choix.

Une injection explicite de N² dans N. L'application (p, q) ↦ 2^p 3^q est injective par unicité de la décomposition en facteurs premiers. Astuce : les nombres premiers codent autant de coordonnées qu'on veut.

Stabilités d'une tribu. Le complémentaire d'une intersection dénombrable est la réunion des complémentaires, par De Morgan. La différence A privé de B est l'intersection de A et du contraire de B. Astuce : tout se ramène aux trois axiomes par complémentaire.

Continuité croissante. On découpe la réunion en « tranches » B_n, égales à A_n privé de A_n−1. Comme A_n−1 ⊂ A_n, on a P(B_n) = P(A_n) − P(A_n−1). La somme partielle télescope en P(A_n), et la σ-additivité conclut. Astuce : télescopage. Pour la continuité décroissante, on passe aux complémentaires.

Sous-additivité. On pose C_n égal à A_n privé de la réunion des A_k pour k < n. Les C_n sont deux à deux incompatibles, de même réunion que les A_n, et C_n ⊂ A_n. La σ-additivité et la croissance donnent la majoration. Astuce : rendre disjoint en retirant ce qui précède.

Support d'une famille sommable. Le support est la réunion, pour k ≥ 1, des ensembles S_k des indices i tels que |a_i| ≥ 1/k. Chaque S_k est fini, de cardinal au plus k fois la somme des modules. Astuce : réunion dénombrable d'ensembles finis.

Distribution discrète. Pour des parties A_n deux à deux disjointes, la somme des p_ω sur leur réunion se calcule par paquets. Astuce : le théorème de sommation par paquets des familles positives est exactement la σ-additivité.

Exemples et contre-exemples à connaître

L'application (p, q) ↦ 2^p(2q + 1) − 1 est une bijection explicite de N² sur N, car tout entier non nul s'écrit de façon unique comme une puissance de 2 fois un impair.
L'ensemble des suites à valeurs dans {0, 1} n'est pas dénombrable, alors que l'ensemble de celles qui sont nulles à partir d'un certain rang l'est. Le passage de « fini » à « infini » change tout.
Q est dénombrable et dense dans R. Dénombrable ne veut rien dire sur la répartition dans R.
Il n'existe pas de probabilité uniforme sur N. Si P({n}) = c pour tout n, la série des c vaut 0 ou +∞, jamais 1.
Dans un jeu de pile ou face infini, chaque suite de résultats fixée est un événement négligeable. Leur réunion est pourtant Ω, de probabilité 1. La réunion est ici non dénombrable, et la stabilité des négligeables exige une réunion dénombrable.
A est indépendant de lui-même si et seulement si P(A) vaut 0 ou 1, puisque P(A) = P(A)².
Deux événements incompatibles de probabilités strictement positives ne sont jamais indépendants, car P(A ∩ B) = 0 < P(A)P(B).
La suite alternée A, contraire de A, A, … avec P(A) = 1/3 n'a pas de probabilité convergente. La continuité exige la monotonie.
2N* et 4N* ne sont pas indépendants pour la loi zêta de l'exercice 10, car l'un est inclus dans l'autre. L'indépendance des pN* demande des nombres premiers entre eux.

Techniques du chapitre

Technique 1 : injecter dans N par les nombres premiers. Mini-exercice : N³ est dénombrable. L'application (a, b, c) ↦ 2^a 3^b 5^c est injective par unicité de la décomposition. N³ est donc au plus dénombrable, et il est infini.

Technique 2 : écrire l'ensemble comme réunion dénombrable d'ensembles finis. Mini-exercice : l'ensemble des parties finies de N est la réunion, pour n ∈ N, des P({0, …, n}). Chacun est fini, la réunion est dénombrable et infinie.

Technique 3 : argument diagonal. Mini-exercice : soit (u_k) une suite de suites à valeurs dans {0, 1}. La suite v définie par v_n = 1 − u_n(n) diffère de u_n au rang n. Aucune énumération ne couvre donc {0, 1}^N.

Technique 4 : « jamais » s'écrit comme une intersection décroissante. Mini-exercice : on lance indéfiniment un dé équilibré. L'événement « aucun 6 parmi les n premiers lancers » a pour probabilité (5/6)ⁿ. Ces événements décroissent, leur intersection « jamais de 6 » a pour probabilité la limite, soit 0.

Technique 5 : découper selon le rang du premier succès. Mini-exercice : pièce donnant pile avec probabilité p ∈ ]0, 1[. Le premier pile au lancer n a pour probabilité (1 − p)ⁿ⁻¹ p. Ces événements sont deux à deux incompatibles, de probabilités de somme 1. Le jeu s'arrête presque sûrement.

Technique 6 : probabilités totales avec une série. Mini-exercice : l'événement E_n, de probabilité 1/2ⁿ pour n ≥ 1, forme un système complet. Sachant E_n, on lance n pièces équilibrées. La probabilité d'obtenir n piles vaut Σ (1/2ⁿ)(1/2ⁿ) = Σ 1/4ⁿ = 1/3.

Technique 7 : remonter par Bayes. Mini-exercice : dans la situation précédente, la probabilité de E₁ sachant qu'on a obtenu que des piles vaut (1/2 × 1/2)/(1/3) = 3/4.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Parties finies et parties quelconques de N

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer que l'ensemble des parties finies de N est dénombrable, puis que P(N) ne l'est pas.

Technique injection par écriture binaire, puis argument diagonal.

Voir le corrigé

À une partie finie A, on associe l'entier Σ 2^a pour a dans A, avec la convention que ∅ donne 0. L'unicité de l'écriture en base 2 rend cette application injective, elle est même bijective. L'ensemble est infini, donc dénombrable.
Supposons une surjection f de N sur P(N). On pose D, l'ensemble des n tels que n ∉ f(n).
D = f(m) pour un certain m. Si m ∈ D, alors m ∉ f(m) = D. Si m ∉ D, alors m ∈ f(m) = D. Dans les deux cas c'est absurde.

piège : Croire que « P(N) est une réunion de parties finies ». Une partie infinie n'est la réunion d'aucune famille finie de parties finies, et le codage binaire ne s'étend pas.

Exercice 2. Nombres algébriques et transcendants

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Un réel est algébrique s'il est racine d'un polynôme non nul de Q[X]. Montrer que l'ensemble des algébriques est dénombrable. En déduire qu'il existe des réels transcendants.

Technique réunion dénombrable d'ensembles finis.

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Q_n[X] est en bijection avec Qⁿ⁺¹, par les coefficients, donc dénombrable. Q[X] est la réunion des Q_n[X], donc dénombrable.
Un polynôme non nul a un nombre fini de racines réelles. L'ensemble des algébriques est la réunion, sur les P non nuls de Q[X], des ensembles finis de racines de P. Il est donc au plus dénombrable, et infini puisqu'il contient Q.
Si tout réel était algébrique, R serait dénombrable, ce qui est faux.

piège : Oublier d'exclure le polynôme nul, dont tout réel est racine.

Exercice 3. Intervalles ouverts disjoints

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit (I_j) pour j dans J une famille d'intervalles ouverts non vides de R, deux à deux disjoints. Montrer que J est au plus dénombrable.

Technique injection dans Q par densité.

Voir le corrigé

Tout intervalle ouvert non vide contient un rationnel, par densité de Q. Pour chaque j, on choisit un rationnel r_j dans I_j.
Si j ≠ k, alors r_j ≠ r_k, car I_j et I_k sont disjoints. L'application j ↦ r_j est injective de J dans Q.
Q étant dénombrable, J est au plus dénombrable.

piège : Utiliser des intervalles fermés réduits à un point : la famille des singletons {x}, pour x réel, est disjointe et non dénombrable.

Exercice 4. Discontinuités d'une fonction monotone

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Soit f croissante de R dans R. Montrer que l'ensemble de ses points de discontinuité est au plus dénombrable.

Technique sauts disjoints, puis exercice 3.

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Par le théorème de la limite monotone, f admet en tout x une limite à gauche f(x−) et une limite à droite f(x+), avec f(x−) ≤ f(x) ≤ f(x+).
f est continue en x si et seulement si f(x−) = f(x+). En un point de discontinuité, l'intervalle J_x = ]f(x−), f(x+)[ est donc non vide.
Pour x < y, on prend t dans ]x, y[. Alors f(x+) ≤ f(t) ≤ f(y−), donc J_x et J_y sont disjoints.
L'exercice 3 conclut.

piège : Oublier de prouver le caractère disjoint des sauts, qui est le cœur de l'argument.

Exercice 5. Pile infiniment souvent

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

On lance indéfiniment une pièce donnant pile avec probabilité p ∈ ]0, 1], les lancers étant indépendants. Montrer que pile apparaît presque sûrement une infinité de fois.

Technique continuité décroissante, puis réunion dénombrable de négligeables.

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Soit F_k l'événement « face au lancer k ». Pour n fixé, soit G_n l'intersection des F_k pour k ≥ n, c'est-à-dire « face à partir du rang n ».
Les intersections des F_k pour n ≤ k ≤ n + m décroissent en m, de probabilité (1 − p)^m+1, qui tend vers 0 car p > 0. Par continuité décroissante, P(G_n) = 0.
« Pile n'apparaît qu'un nombre fini de fois » est la réunion des G_n pour n ∈ N. C'est une réunion dénombrable de négligeables, donc un événement négligeable.
Son contraire est presque sûr.

piège : Écrire directement P(G_n) comme un produit infini, sans passer par la limite des intersections finies.

Exercice 6. Le premier qui fait 6

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

A et B lancent à tour de rôle un dé équilibré, A commence. Le premier qui obtient 6 gagne. Calculer la probabilité que A gagne, et montrer que le jeu s'arrête presque sûrement.

Technique décomposition selon le rang du premier 6.

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A gagne au lancer 2k + 1, pour k ≥ 0, si les 2k premiers lancers ne donnent pas 6 et le suivant si. La probabilité vaut (5/6)^2k(1/6).
Ces événements sont deux à deux incompatibles. Donc P(A gagne) = (1/6) Σ (25/36)^k = (1/6)(36/11) = 6/11.
De même, P(B gagne) = Σ (5/6)^2k+1(1/6) = 5/11.
L'événement « le jeu ne s'arrête pas » est le contraire de la réunion des deux événements précédents. Sa probabilité vaut 1 − 6/11 − 5/11 = 0.

piège : Supposer d'emblée P(B gagne) = 1 − P(A gagne), ce qui présuppose la terminaison presque sûre.

Exercice 7. Urne choisie au hasard

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

On lance une pièce équilibrée jusqu'au premier pile. S'il survient au lancer n, on tire une boule dans une urne contenant n boules blanches et une noire. Calculer la probabilité de tirer une boule blanche, puis la probabilité que le premier pile ait eu lieu au premier lancer, sachant que la boule est blanche.

Technique système quasi-complet dénombrable, série entière de référence, Bayes.

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Soit E_n l'événement « premier pile au lancer n », pour n ≥ 1, de probabilité 1/2ⁿ. Ces événements sont deux à deux incompatibles et leur réunion est presque sûre. Le système est quasi-complet.
Probabilités totales : P(Bl) = Σ (1/2ⁿ) n/(n + 1) = Σ 1/2ⁿ − Σ 1/(2ⁿ(n + 1)).
Pour |x| < 1, Σ_n≥0 xⁿ/(n + 1) = −ln(1 − x)/x. En x = 1/2, on retire le terme n = 0 : Σ_n≥1 1/(2ⁿ(n + 1)) = 2 ln 2 − 1.
Donc P(Bl) = 1 − (2 ln 2 − 1) = 2 − 2 ln 2, environ 0,61.
Bayes : P(E₁ | Bl) = (1/2 × 1/2)/(2 − 2 ln 2) = 1/(8(1 − ln 2)), environ 0,41.

piège : Oublier que le système n'est que quasi-complet, ou ne pas justifier la convergence de la série.

Exercice 8. Tout motif finit par apparaître

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit e3a

On lance indéfiniment une pièce donnant pile avec probabilité p ∈ ]0, 1[. Soit m un mot fixé de longueur L en pile et face. Montrer que m apparaît presque sûrement parmi les résultats.

Technique blocs disjoints indépendants, puis continuité décroissante.

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On découpe les lancers en blocs consécutifs de longueur L. Soit M_k l'événement « le bloc k reproduit m ». Si m contient a piles, P(M_k) = p^a (1 − p)^L−a = r > 0.
Les M_k portent sur des lancers distincts. Chacun est une intersection d'événements élémentaires indépendants, donc la famille (M_k) est indépendante, et celle des contraires aussi.
L'événement « m n'apparaît jamais » est inclus dans l'intersection des contraires des M_k pour k < n. Cette intersection a pour probabilité (1 − r)ⁿ.
En faisant tendre n vers l'infini, la probabilité cherchée est nulle.

piège : Travailler avec des fenêtres qui se chevauchent, qui ne sont pas indépendantes.

Exercice 9. Premier lemme de Borel-Cantelli

Approfondissement · Type oral Centrale

Soit (A_n) une suite d'événements telle que la série des P(A_n) converge. Montrer que l'événement L, « A_n est réalisé pour une infinité de n », est négligeable. Ce lemme est hors programme comme résultat de cours.

Technique sous-additivité et reste d'une série convergente.

Voir le corrigé

L est l'intersection, pour n ∈ N, des réunions R_n des A_k pour k ≥ n.
Pour tout n, L ⊂ R_n, donc P(L) ≤ P(R_n) ≤ Σ_k≥n P(A_k) par sous-additivité.
Le reste d'une série convergente tend vers 0, donc P(L) = 0.
Application : si le lancer n donne pile avec probabilité 1/n², alors pile n'apparaît presque sûrement qu'un nombre fini de fois.

piège : Utiliser la réciproque. Avec A_n = A pour tout n et P(A) = 1/2, la série diverge et pourtant P(L) = 1/2.

Exercice 10. Loi zêta et produit eulérien

Approfondissement · Type oral Mines

Soit s > 1 et ζ(s) = Σ_n≥1 n^−s. On munit N* de la probabilité définie par P({n}) = n^−s/ζ(s). Montrer que les événements pN*, pour p premier, sont indépendants. En déduire que le produit des 1/(1 − p^−s), pour p premier inférieur ou égal à N, tend vers ζ(s).

Technique distribution discrète, indépendance, continuité décroissante.

Voir le corrigé

La famille des n^−s/ζ(s) est positive, de somme 1. C'est une distribution discrète sur N*.
P(aN*) = Σ_k (ak)^−s/ζ(s) = a^−s.
Pour des premiers distincts p₁, …, p_k, un entier divisible par chacun l'est par leur produit, par le lemme de Gauss. L'intersection des p_iN* est donc (p₁…p_k)N*, de probabilité le produit des p_i^−s. La famille est indépendante.
Par récurrence, on remplace un à un les événements par leurs contraires, avec le calcul fait pour deux événements. La famille des contraires est indépendante.
Soit B_N l'intersection des contraires des pN* pour p premier et p ≤ N. Sa probabilité vaut le produit des (1 − p^−s). La suite (B_N) décroît, et son intersection est {1}, car tout entier n ≥ 2 a un diviseur premier.
Continuité décroissante : le produit tend vers P({1}) = 1/ζ(s). On passe à l'inverse.

piège : Affirmer l'indépendance de aN* et bN* sans hypothèse. Il faut a et b premiers entre eux.

Erreurs fréquentes

Appliquer la continuité croissante ou décroissante à une suite non monotone, au lieu de passer par les réunions ou intersections partielles.
Écrire la probabilité d'une intersection infinie comme un produit infini sans passer par la limite des intersections finies, ou sans indépendance.
Confondre négligeable et impossible, ou incompatible et indépendant.
Oublier l'événement « le jeu ne s'arrête jamais » dans un système complet, et ne pas prouver qu'il est négligeable.
Chercher une bijection explicite quand une injection dans N suffit, ou oublier de prouver le caractère infini pour conclure « dénombrable ».

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de mathématiques de MP (arrêté du 5 janvier 2021). Elle couvre les paragraphes « Ensembles dénombrables », « Espaces probabilisés », « Probabilités conditionnelles et indépendance » et « Espaces probabilisés discrets » de la section « Variables aléatoires discrètes ». Les variables aléatoires elles-mêmes font l'objet d'une fiche séparée.

Dénombrabilité

Résumé en cinq points

1Ensembles dénombrables

1.1Définitions

1.2Parties de N

1.3Stabilité par produit et par réunion

1.4R n'est pas dénombrable

1.5Lien avec les familles sommables

2Tribus et espaces probabilisables

2.1Définition

2.2Vocabulaire des événements

3Probabilités et espaces probabilisés

3.1Définition

3.2Propriétés élémentaires

3.3Continuité croissante et continuité décroissante

3.4Sous-additivité

3.5Événements négligeables et presque sûrs

4Espaces probabilisés discrets

5Conditionnement et indépendance

5.1Probabilités conditionnelles

5.2Indépendance

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Parties finies et parties quelconques de N

Exercice 2. Nombres algébriques et transcendants

Exercice 3. Intervalles ouverts disjoints

Exercice 4. Discontinuités d'une fonction monotone

Exercice 5. Pile infiniment souvent

Exercice 6. Le premier qui fait 6

Exercice 7. Urne choisie au hasard

Exercice 8. Tout motif finit par apparaître

Exercice 9. Premier lemme de Borel-Cantelli

Exercice 10. Loi zêta et produit eulérien

Erreurs fréquentes