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MP2I · Maths · semaine 21

Fractions rationnelles

Corps K(X), pôles, décomposition en éléments simples dans C(X) et R(X), méthodes pratiques de calcul et applications au calcul de primitives.

Sommaire

Le cours

Résumé en cinq points

  1. K(X)\K(X) est un corps. Toute fraction non nulle a une forme irréductible unique, et c'est sur elle que se lisent zéros et pôles.
  2. Le degré d'une fraction est la différence des degrés. La partie entière s'obtient par division euclidienne et est nulle si et seulement si le degré est strictement négatif.
  3. Sur C\C, la décomposition fait apparaître, pour chaque pôle de multiplicité mm, exactement mm termes a(X−z)k\dfrac{a}{(X-z)^k} avec kk de 11 à mm. L'existence et l'unicité sont admises.
  4. Sur R\R, s'ajoutent des éléments simples de seconde espèce, de numérateur de degré au plus 11 au-dessus d'un trinôme irréductible élevé à une puissance.
  5. Les coefficients se calculent par multiplication par (X−λ)m(X-\lambda)^m puis évaluation, par limite du produit par XX à l'infini, par évaluation en un point simple et par parité. La décomposition sert surtout à primitiver, à dériver kk fois et à télescoper.
Pourquoi ce chapitre

Une fraction rationnelle est un quotient de deux polynômes. On la décompose en éléments simples pour :

  • calculer une primitive ;
  • sommer une série télescopique ;
  • trouver le terme général d'une suite récurrente linéaire ;
  • en seconde année, inverser une transformation de Laplace en sciences physiques.

Le chapitre est court. Les deux théorèmes d'existence et d'unicité de la décomposition sont admis, la démonstration est hors programme. Tout l'enjeu est pratique : écrire la forme de la décomposition sans se tromper, puis calculer les coefficients vite et sans erreur. Le programme exclut toute technicité dans les exemples. En khôlle, on demande des fractions de petit degré, avec des pôles simples ou doubles.

1Le corps K(X)

1.1Construction et égalité

Définition 1.1Fraction rationnelle

Une fraction rationnelle est un quotient P/QP/Q de deux polynômes de K[X]\K[X] avec QQ non nul. Deux écritures P/QP/Q et P1/Q1P_1/Q_1 représentent la même fraction si et seulement si PQ1=P1QPQ_1 = P_1Q.

L'ensemble des fractions rationnelles, muni de l'addition et de la multiplication usuelles, est un corps commutatif, noté K(X)\K(X). La construction n'est pas exigible.

Comme K[X]\K[X] est intègre, tout se passe comme avec les rationnels construits à partir des entiers. L'ensemble K[X]\K[X] s'identifie à l'ensemble des fractions de dénominateur 11.

1.2Forme irréductible

Propriété 1.2Forme irréductible

Toute fraction rationnelle non nulle FF s'écrit F=P/QF = P/Q avec PP et QQ premiers entre eux et QQ unitaire. Cette écriture est unique, on l'appelle la forme irréductible de FF.

Pour l'obtenir à partir d'une écriture quelconque, on calcule le PGCD du numérateur et du dénominateur par l'algorithme d'Euclide et on simplifie.

Attention

Zéros, pôles et multiplicités se lisent sur la forme irréductible. Travailler sur une écriture non simplifiée est la première source d'erreur du chapitre.

1.3Fonction rationnelle

Définition 1.3Fonction rationnelle

À F=P/QF = P/Q sous forme irréductible on associe la fonction rationnelle x↦P(x)/Q(x)x \mapsto P(x)/Q(x), définie sur l'ensemble des x∈Kx \in \K tels que Q(x)≠0Q(x) \neq 0. Le domaine est K\K privé d'un nombre fini de points.

Comme pour les polynômes, deux fractions rationnelles qui définissent la même fonction sur une partie infinie de K\K sont égales. Cela justifie les méthodes de calcul par évaluation en des valeurs particulières.

2Degré, partie entière, zéros et pôles

2.1Degré

Définition 2.1Degré d'une fraction

Si F=P/QF = P/Q, on pose deg⁡F=deg⁡P−deg⁡Q\deg F = \deg P - \deg Q. Cette définition ne dépend pas de l'écriture choisie. Le degré est un entier relatif, ou −∞-\infty pour la fraction nulle.

Propriété 2.2Degré et opérations

Pour toutes fractions FF et GG : deg⁡(FG)=deg⁡F+deg⁡G,deg⁡(F+G)⩽max⁡(deg⁡F,deg⁡G).\begin{aligned} \deg(FG) &= \deg F + \deg G,\\ \deg(F+G) &\leqslant \max(\deg F, \deg G). \end{aligned}

Le degré donne le comportement à l'infini de la fonction rationnelle. Si deg⁡F<0\deg F < 0, la fonction tend vers 00 en l'infini.

2.2Partie entière

Propriété 2.3Partie entière

Soit F=P/QF = P/Q. La division euclidienne de PP par QQ donne P=QE+RP = QE + R avec deg⁡R<deg⁡Q\deg R < \deg Q. Alors F=E+RQ,deg⁡RQ<0.F = E + \frac{R}{Q}, \qquad \deg\frac{R}{Q} < 0. Le polynôme EE est la partie entière de FF. Cette écriture est unique : FF s'écrit d'une seule manière comme somme d'un polynôme et d'une fraction de degré strictement négatif.

La partie entière est nulle si et seulement si deg⁡F<0\deg F < 0.

Exemple 2.4Partie entière

Pour F=X3+1X2−1F = \dfrac{X^3 + 1}{X^2 - 1}, la division donne X3+1=(X2−1)X+(X+1)X^3 + 1 = (X^2 - 1)X + (X + 1), donc F=X+X+1X2−1.F = X + \frac{X + 1}{X^2 - 1}. La forme irréductible du second terme est 1X−1\dfrac{1}{X - 1}.

2.3Zéros et pôles

Définition 2.5Zéros et pôles

Soit F=P/QF = P/Q sous forme irréductible, FF non nulle.

  • Les zéros de FF sont les racines de PP, avec leur multiplicité comme racine de PP.
  • Les pôles de FF sont les racines de QQ, avec leur multiplicité comme racine de QQ.
  • Un pôle est simple si sa multiplicité vaut 11, double si elle vaut 22.

Comme PP et QQ sont premiers entre eux, un même élément ne peut pas être à la fois zéro et pôle. La fonction rationnelle tend vers l'infini en module quand xx tend vers un pôle.

Exemple 2.6Zéros et pôles

F=X2−1X3−X2F = \dfrac{X^2 - 1}{X^3 - X^2} a pour forme irréductible X+1X2\dfrac{X + 1}{X^2}, puisque X2−1=(X−1)(X+1)X^2 - 1 = (X-1)(X+1) et X3−X2=X2(X−1)X^3 - X^2 = X^2(X-1). Elle a un zéro simple en −1-1 et un pôle double en 00. L'élément 11 n'est ni zéro ni pôle.

3Décomposition en éléments simples sur C

3.1Le théorème

Théorème 3.1Décomposition sur C\C

Hypothèses

  • F∈C(X)F \in \C(X) de forme irréductible P/QP/Q ;
  • Q=c(X−z1)m1⋯(X−zr)mrQ = c(X - z_1)^{m_1}\cdots(X - z_r)^{m_r}, factorisation qui existe toujours sur C\C d'après le théorème de d'Alembert-Gauss, les ziz_i étant deux à deux distincts.

Alors FF s'écrit de manière unique comme la somme de sa partie entière EE et, pour chaque pôle ziz_i et chaque entier k∈[ ⁣[1,mi] ⁣]k \in \intent{1}{m_i}, d'un terme ai,k(X−zi)k\dfrac{a_{i,k}}{(X - z_i)^k} avec ai,k∈Ca_{i,k} \in \C.

Résultat admis, la démonstration est hors programme. Les termes a(X−z)k\dfrac{a}{(X - z)^k} sont les éléments simples de C(X)\C(X).

MéthodeÉcrire la forme a priori

  1. Un pôle de multiplicité mm produit exactement mm termes, de l'exposant 11 à l'exposant mm.
  2. Ne pas oublier les exposants intermédiaires.
  3. Ne pas oublier la partie entière quand deg⁡F⩾0\deg F \geqslant 0.

Exemple 3.2Forme de la décomposition

Pour F=1X2(X−1)3F = \dfrac{1}{X^2(X - 1)^3}, la partie entière est nulle et F=aX+bX2+cX−1+d(X−1)2+e(X−1)3.F = \frac{a}{X} + \frac{b}{X^2} + \frac{c}{X-1} + \frac{d}{(X-1)^2} + \frac{e}{(X-1)^3}. Cela fait cinq inconnues, ce qui est cohérent avec un dénominateur de degré 55.

3.2Calcul des coefficients

Propriété 3.3Coefficient d'un pôle simple

Hypothèses

  • F=P/QF = P/Q sous forme irréductible ;
  • λ\lambda est un pôle simple.

Alors le coefficient aa de 1X−λ\dfrac{1}{X - \lambda} s'obtient en multipliant FF par X−λX - \lambda puis en évaluant en λ\lambda, et a=P(λ)Q′(λ).a = \frac{P(\lambda)}{Q'(\lambda)}.

Démonstration

On écrit Q=(X−λ)Q1Q = (X - \lambda)Q_1 avec Q1(λ)≠0Q_1(\lambda) \neq 0. Alors Q′=Q1+(X−λ)Q1′Q' = Q_1 + (X - \lambda)Q_1', donc Q′(λ)=Q1(λ)Q'(\lambda) = Q_1(\lambda), tandis que le produit de FF par X−λX - \lambda vaut P/Q1P/Q_1. En évaluant en λ\lambda, on obtient a=P(λ)/Q1(λ)=P(λ)/Q′(λ)a = P(\lambda)/Q_1(\lambda) = P(\lambda)/Q'(\lambda).

Propriété 3.4Coefficient de plus haut exposant

Si λ\lambda est pôle de multiplicité mm, le coefficient de 1(X−λ)m\dfrac{1}{(X - \lambda)^m} s'obtient en multipliant FF par (X−λ)m(X - \lambda)^m puis en évaluant en λ\lambda.

Attention

Les coefficients d'exposant plus petit ne s'obtiennent pas ainsi.

MéthodeFinir le calcul des coefficients

  1. Multiplier par XX et faire tendre xx vers l'infini. Si deg⁡F⩽−2\deg F \leqslant -2, la somme des coefficients d'exposant 11 est nulle.
  2. Évaluer en une valeur simple non pôle, typiquement 00 ou 11.
  3. Utiliser la parité. Si FF est paire ou impaire, les coefficients associés aux pôles opposés sont liés, ce qui divise par deux le travail.
  4. Identifier les coefficients après réduction au même dénominateur, à réserver aux cas où il ne reste qu'une ou deux inconnues.

Exemple 3.5Décomposition de 1/(X2−1)1/(X^2 - 1)

F=1(X−1)(X+1)F = \dfrac{1}{(X-1)(X+1)} a deux pôles simples.

  • Le coefficient en 11 vaut la limite en 11 de (X−1)F(X-1)F, soit 11+1=12\dfrac{1}{1+1} = \dfrac12.
  • Le coefficient en −1-1 vaut la limite en −1-1 de (X+1)F(X+1)F, soit 1−1−1=−12\dfrac{1}{-1-1} = -\dfrac12.

Donc F=1/2X−1−1/2X+1.F = \frac{1/2}{X - 1} - \frac{1/2}{X + 1}.

3.3Décomposition de P'/P

Propriété 3.6Décomposition de P′/PP'/P

Hypothèses

  • P∈C[X]P \in \C[X] non constant ;
  • z1,…,zrz_1, \dots, z_r sont ses racines distinctes, de multiplicités m1,…,mrm_1, \dots, m_r.

Alors P′P=∑i=1rmiX−zi.\frac{P'}{P} = \sum_{i=1}^{r} \frac{m_i}{X - z_i}.

Démonstration

On écrit PP comme une constante multipliée par le produit des (X−zi)mi(X - z_i)^{m_i}, on dérive avec la règle du produit et on divise par PP.

C'est un résultat exigible, et un bon moyen de vérifier une factorisation. Il donne aussi les pôles de P′/PP'/P, qui sont simples et de coefficients entiers strictement positifs.

4Décomposition en éléments simples sur R

4.1Le théorème

Sur R\R, on factorise le dénominateur en irréductibles de R[X]\R[X], c'est-à-dire en facteurs de degré 11 et en facteurs de degré 22 de discriminant strictement négatif.

Théorème 4.1Décomposition sur R\R

Toute fraction rationnelle de R(X)\R(X) s'écrit de manière unique comme la somme :

  • de sa partie entière ;
  • de termes a(X−α)k\dfrac{a}{(X - \alpha)^k} associés aux facteurs (X−α)m(X - \alpha)^m du dénominateur, avec k∈[ ⁣[1,m] ⁣]k \in \intent{1}{m} ;
  • de termes bX+c(X2+βX+γ)k\dfrac{bX + c}{(X^2 + \beta X + \gamma)^k} associés aux facteurs (X2+βX+γ)n(X^2 + \beta X + \gamma)^n, avec k∈[ ⁣[1,n] ⁣]k \in \intent{1}{n}.

Les éléments simples de R(X)\R(X) sont de deux espèces :

  • ceux de première espèce ont un dénominateur de degré 11 élevé à une puissance et un numérateur constant ;
  • ceux de seconde espèce ont un dénominateur irréductible de degré 22 élevé à une puissance et un numérateur de degré au plus 11.

Attention

Erreur classique : mettre un numérateur constant au-dessus d'un trinôme irréductible. Le numérateur doit être de la forme bX+cbX + c.

4.2En pratique

Deux stratégies existent pour une fraction à coefficients réels.

MéthodeRester sur R\R

  1. Écrire la forme réelle.
  2. Calculer les coefficients des pôles réels par les méthodes du paragraphe précédent.
  3. Déterminer les coefficients de seconde espèce par évaluation en des valeurs bien choisies ou par identification partielle.

MéthodeDécomposer sur C\C puis regrouper

  1. Décomposer sur C\C. Si FF est à coefficients réels et zz un pôle non réel de coefficient aa, alors z‾\overline{z} est aussi pôle, de coefficient a‾\overline{a}.
  2. Regrouper les deux termes conjugués : leur somme est une fraction réelle de seconde espèce.

Cette symétrie est un excellent moyen de contrôle.

Exemple 4.2Décomposition de 1/(X3−1)1/(X^3 - 1)

Sur R\R, X3−1=(X−1)(X2+X+1)X^3 - 1 = (X-1)(X^2+X+1) et le trinôme a un discriminant égal à −3-3, donc il est irréductible. On écrit F=aX−1+bX+cX2+X+1.F = \frac{a}{X-1} + \frac{bX + c}{X^2 + X + 1}.

  • Le coefficient aa vaut la limite en 11 de (X−1)F(X-1)F, soit 11+1+1=13\dfrac{1}{1+1+1} = \dfrac13.
  • En évaluant en 00 : −1=−a+c-1 = -a + c, donc c=a−1=−23c = a - 1 = -\dfrac23.
  • En multipliant par XX et en faisant tendre xx vers l'infini : 0=a+b0 = a + b, donc b=−13b = -\dfrac13.

Finalement F=1/3X−1−13 X+2X2+X+1.F = \frac{1/3}{X - 1} - \frac{1}{3}\,\frac{X + 2}{X^2 + X + 1}.

5Application au calcul de primitives

Toute fonction rationnelle d'une variable réelle admet des primitives exprimables avec des fonctions usuelles, et la décomposition en éléments simples sur R\R donne la méthode générale. Sur chaque intervalle ne contenant aucun pôle, on primitive terme à terme.

  • Une constante fois 1x−α\dfrac{1}{x - \alpha} donne un logarithme de la valeur absolue de x−αx - \alpha.
  • Une constante fois 1(x−α)k\dfrac{1}{(x-\alpha)^k} avec k⩾2k \geqslant 2 donne une puissance négative, primitive de la forme −1(k−1)(x−α)k−1-\dfrac{1}{(k-1)(x-\alpha)^{k-1}}.
  • Un terme bx+cx2+βx+γ\dfrac{bx + c}{x^2 + \beta x + \gamma} avec discriminant strictement négatif se coupe en deux. On fait apparaître la dérivée du dénominateur, ce qui donne un logarithme du trinôme, toujours strictement positif. Le reste, une constante divisée par le trinôme, se traite en mettant le trinôme sous forme canonique, ce qui conduit à une arctangente.
  • La partie entière se primitive comme un polynôme.

Exemple 5.1Primitive de 1/(x2−1)1/(x^2 - 1)

Sur l'intervalle ]−1,1[\intoo{-1}{1}, la décomposition trouvée plus haut donne la primitive 12ln⁡∣x−1∣−12ln⁡∣x+1∣=12ln⁡∣x−1x+1∣.\frac12\ln|x - 1| - \frac12\ln|x + 1| = \frac12\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|.

Le programme exclut tout excès de technicité. Les cas attendus sont les pôles simples, les pôles doubles et au plus un facteur irréductible de degré 22.

6Application au calcul de dérivées k-ièmes

La seconde application citée par le programme repose sur la même idée : on dérive terme à terme des éléments simples, dont on connaît toutes les dérivées.

Propriété 6.1Dérivées kk-ièmes des éléments simples

La dérivée kk-ième de x↦1x−αx \mapsto \dfrac{1}{x - \alpha} vaut (−1)kk!(x−α)k+1.\frac{(-1)^k k!}{(x - \alpha)^{k+1}}. Plus généralement, celle de x↦1(x−α)mx \mapsto \dfrac{1}{(x-\alpha)^m} vaut (−1)km(m+1)⋯(m+k−1)(x−α)m+k.\frac{(-1)^k m(m+1)\cdots(m+k-1)}{(x - \alpha)^{m+k}}.

MéthodeDérivée kk-ième d'une fonction rationnelle

  1. Décomposer la fonction en éléments simples.
  2. Dériver chaque terme.

La partie entière disparaît dès que kk dépasse son degré.

Exemple 6.2Dérivée kk-ième de 1/(x2−1)1/(x^2 - 1)

La décomposition donne f(x)=1/2x−1−1/2x+1f(x) = \dfrac{1/2}{x - 1} - \dfrac{1/2}{x + 1}. La dérivée kk-ième vaut donc f(k)(x)=(−1)kk!2(1(x−1)k+1−1(x+1)k+1).f^{(k)}(x) = \frac{(-1)^k k!}{2}\left(\frac{1}{(x-1)^{k+1}} - \frac{1}{(x+1)^{k+1}}\right).

Méthodes

MéthodeDécomposer une fraction en éléments simples

  1. Simplifier la fraction et vérifier qu'elle est sous forme irréductible.
  2. Comparer les degrés du numérateur et du dénominateur. S'ils sont tels que deg⁡P⩾deg⁡Q\deg P \geqslant \deg Q, commencer par la division euclidienne pour dégager la partie entière.
  3. Écrire la forme complète de la décomposition avant tout calcul, avec le bon nombre d'inconnues, qui doit valoir le degré du dénominateur.
  4. Calculer d'abord ce qui se calcule sans effort : les coefficients des pôles simples et le coefficient de plus haut exposant de chaque pôle multiple.
  5. Terminer par une ou deux relations globales : limite du produit par XX à l'infini et évaluation en 00.
  6. Vérifier le résultat en évaluant les deux membres en un point non pôle choisi au hasard. Cela coûte trente secondes et rattrape la plupart des erreurs de signe.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

  1. Mettre une fraction rationnelle sous forme irréductible et donner ses zéros et ses pôles avec leurs multiplicités.
  2. Isoler la partie entière par division euclidienne.
  3. Écrire sans hésiter la forme de la décomposition sur C\C, puis sur R\R, pour un dénominateur donné.
  4. Démontrer la formule a=P(λ)/Q′(λ)a = P(\lambda)/Q'(\lambda) pour le coefficient d'un pôle simple.
  5. Décomposer 1X2−1\dfrac{1}{X^2-1}, 1X3−1\dfrac{1}{X^3-1} et 1X2(X−1)\dfrac{1}{X^2(X-1)}.
  6. Démontrer que P′/PP'/P est la somme des miX−zi\dfrac{m_i}{X - z_i}.
  7. Calculer une primitive de fonction rationnelle passant par un logarithme et par une arctangente, et donner la dérivée kk-ième de 1x2−1\dfrac{1}{x^2-1}.
  8. Utiliser une décomposition en éléments simples pour calculer une somme télescopique, par exemple ∑1k(k+1)\sum \dfrac{1}{k(k+1)}.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Le chapitre compte peu de théorèmes, et les deux plus importants sont admis. Les résultats suivants se démontrent en trois lignes, et le colleur les demande.

  • K(X) est un corps commutatif qui contient K[X]. C'est admis, car la construction est hors programme.
  • P/Q = P₁/Q₁ si et seulement si PQ₁ = P₁Q. C'est la définition de l'égalité.
  • Toute fraction non nulle a une unique forme irréductible P/Q, avec P et Q premiers entre eux et Q unitaire. C'est exigible avec démonstration.
  • Deux fractions dont les fonctions rationnelles coïncident sur une partie infinie de K sont égales. C'est exigible et se ramène aux polynômes.
  • Le degré ne dépend pas de l'écriture. De plus deg(FG) = deg F + deg G et deg(F + G) ≤ max(deg F, deg G). C'est exigible avec démonstration.
  • Existence et unicité de la partie entière. C'est exigible avec démonstration.
  • Décomposition en éléments simples sur C de toute F de C(X). Existence et unicité sont admises, la preuve est hors programme.
  • Décomposition en éléments simples sur R de toute F de R(X). Existence et unicité sont admises, la preuve est hors programme.
  • Coefficient d'un pôle simple λ de F = P/Q irréductible : il vaut P(λ)/Q'(λ). C'est exigible avec démonstration.
  • Décomposition de P'/P pour P non constant : somme des mi/(X − zi). C'est exigible avec démonstration.
  • Si F est à coefficients réels, deux pôles conjugués ont des coefficients conjugués. C'est une conséquence de l'unicité, à savoir justifier.
  • Si F est paire ou impaire, les coefficients des pôles opposés sont liés. C'est aussi une conséquence de l'unicité, à savoir justifier.
  • Sont hors programme la division selon les puissances croissantes et toute décomposition « technique », c'est-à-dire à pôles de grande multiplicité.

Clés de démonstration

Unicité de la forme irréductible. Supposons que P/Q et P₁/Q₁ soient deux formes irréductibles de F. Alors PQ₁ = P₁Q, donc Q divise PQ₁. Comme Q est premier avec P, le lemme de Gauss donne que Q divise Q₁. Par symétrie, Q₁ divise Q. Les deux polynômes sont donc associés, et comme ils sont unitaires, ils sont égaux. On simplifie alors par Q, ce qui donne P = P₁. Pour l'existence, on divise P et Q par leur PGCD, puis on normalise par le coefficient dominant du dénominateur. Astuce : c'est mot pour mot la preuve de l'unicité d'une fraction irréductible dans Q.

Degré bien défini. De PQ₁ = P₁Q on tire deg P + deg Q₁ = deg P₁ + deg Q, donc deg P − deg Q = deg P₁ − deg Q₁. L'inégalité sur la somme vient de F + G = (PB + AQ)/(QB), où F = P/Q et G = A/B. Astuce : tout passe par le degré d'un produit de polynômes dans K[X], qui est intègre.

Unicité de la partie entière. Supposons E + G = E₁ + G₁, avec E et E₁ polynômes, deg G < 0 et deg G₁ < 0. Alors E − E₁ = G₁ − G est un polynôme de degré strictement négatif, donc nul. Astuce : un polynôme de degré strictement négatif est le polynôme nul.

Coefficient d'un pôle simple. On écrit F = a/(X − λ) + G, où λ n'est pas pôle de G. On multiplie par (X − λ) et on évalue en λ, ce qui donne a. Pour la formule P(λ)/Q'(λ), on écrit Q = (X − λ)Q₁ et on dérive : Q'(λ) = Q₁(λ). Astuce : isoler dans la décomposition le seul terme qui explose en λ.

Décomposition de P'/P. On écrit P = c(X − z₁)m₁…(X − zr)mr. On dérive avec la règle du produit : chaque facteur dérivé donne mi(X − zi)mi − 1 fois les autres facteurs. En divisant par P, il reste mi/(X − zi). Astuce : c'est la dérivée logarithmique, qui transforme un produit en somme.

Coefficients conjugués. Si F est réelle, on conjugue tous les coefficients de sa décomposition sur C. On obtient une décomposition de la conjuguée de F, qui est F elle-même. L'unicité impose que le coefficient de 1/(X − z̄)k soit le conjugué de celui de 1/(X − z)k. Astuce : fabriquer une seconde décomposition du même objet et invoquer l'unicité. La même idée vaut pour la parité, avec F(−X) à la place du conjugué.

Exemples et contre-exemples à connaître

  1. (X² − 1)/(X − 1) = X + 1. Cette fraction n'a aucun pôle, et sa fonction rationnelle est définie sur tout K. On lit les pôles sur la forme irréductible.
  2. X/(X + 1) − 1 = −1/(X + 1). Cet exemple est de degré −1 alors que le maximum des degrés vaut 0. L'inégalité sur le degré d'une somme peut être stricte.
  3. (X² + 1)/(X² − 1) = 1 + 2/(X² − 1). Cet exemple est de degré 0, et sa partie entière non nulle est la constante 1. Oublier la partie entière d'une fraction de degré 0 est une erreur fréquente.
  4. X/(X − 1)² = 1/(X − 1) + 1/(X − 1)². Un pôle double produit deux termes, même quand le numérateur semble « simple ».
  5. 1/(X² + 1) est un élément simple de R(X). Sur C, il vaut (−i/2)/(X − i) + (i/2)/(X + i), et les coefficients sont bien conjugués.
  6. 1/(X² + 1)² est déjà un élément simple de seconde espèce avec k = 2. Il ne faut pas le décomposer davantage sur R.
  7. 1/(Xn − 1) = (1/n) Σ ω/(X − ω), la somme portant sur les racines n-ièmes de l'unité. C'est l'exemple type de P(λ)/Q'(λ).
  8. 1/(X(X + 1)) = 1/X − 1/(X + 1). C'est la brique de tous les télescopages.
  9. Il n'existe pas de fraction F telle que F² = X. En effet deg F² = 2 deg F est pair, alors que deg X vaut 1. C'est un premier usage du degré comme invariant.

Techniques du chapitre

Technique 1 : utiliser P(λ)/Q'(λ) quand le cofacteur est pénible. Mini-exercice : trouver les coefficients de 1/(X⁴ − 1). Ici Q' = 4X³. En 1 le coefficient vaut 1/4, en −1 il vaut −1/4. En i il vaut 1/(4i³) = i/4, et en −i il vaut −i/4. Les coefficients en i et −i sont bien conjugués.

Technique 2 : traiter un pôle double par multiplication puis limite à l'infini. Mini-exercice : décomposer 1/(X(X − 1)²) = a/X + b/(X − 1) + c/(X − 1)². On trouve a = 1 en évaluant X·F en 0, et c = 1 en évaluant (X − 1)²F en 1. Comme deg F = −3, x·F(x) tend vers 0, donc a + b = 0 et b = −1. Contrôle en 2 : 1/2 = 1/2 − 1 + 1.

Technique 3 : exploiter la parité. Mini-exercice : décomposer 1/(X⁴ − 1) sur R, sous la forme a/(X − 1) + b/(X + 1) + (cX + d)/(X² + 1). F est paire, donc F(−X) = F. L'unicité donne b = −a et c = 0. On a a = 1/4, et l'évaluation en 0 donne −1 = −a + b + d, donc d = −1/2.

Technique 4 : poser Y = X² quand F ne dépend que de X². Mini-exercice : décomposer 1/((X² + 1)(X² + 2)) sur R. On a 1/((Y + 1)(Y + 2)) = 1/(Y + 1) − 1/(Y + 2). On substitue X² à Y, et on obtient 1/(X² + 1) − 1/(X² + 2), qui est déjà une somme d'éléments simples réels.

Technique 5 : évaluer en une racine complexe pour la seconde espèce. Mini-exercice : décomposer 1/((X − 1)(X² + 1)) = a/(X − 1) + (bX + c)/(X² + 1). On trouve a = 1/2. On multiplie par X² + 1 et on évalue en i : 1/(i − 1) = bi + c. Or 1/(i − 1) = (−1 − i)/2. Comme b et c sont réels, b = c = −1/2.

Technique 6 : faire apparaître une arctangente par la forme canonique. Mini-exercice : trouver une primitive de 1/(x² + 2x + 5) sur R. On écrit x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4. Une primitive est alors (1/2) arctan((x + 1)/2).

Technique 7 : dériver n fois terme à terme. Mini-exercice : calculer la dérivée n-ième de x ↦ 1/(x(x − 1)) sur ]1, +∞[. On a 1/(x(x − 1)) = 1/(x − 1) − 1/x. La dérivée n-ième vaut donc (−1)n n! (1/(x − 1)n+1 − 1/xn+1).

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Forme irréductible, zéros, pôles, partie entière

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit F = (X⁴ − 1)/(X³ + X² − X − 1). Donner sa forme irréductible, ses zéros et ses pôles dans C avec multiplicités, et sa partie entière.

Technique factoriser avant de lire quoi que ce soit.

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  1. Le dénominateur vaut X²(X + 1) − (X + 1) = (X + 1)(X² − 1) = (X + 1)²(X − 1).
  2. Le numérateur vaut (X − 1)(X + 1)(X² + 1).
  3. On simplifie par (X − 1)(X + 1), ce qui donne F = (X² + 1)/(X + 1), forme irréductible puisque −1 n'est pas racine de X² + 1.
  4. Les zéros sont i et −i, tous deux simples. Le seul pôle est −1, et il est simple. L'élément 1 n'est ni zéro ni pôle.
  5. On a X² + 1 = (X + 1)(X − 1) + 2, donc F = X − 1 + 2/(X + 1). La partie entière est X − 1.

piège : Annoncer un pôle double en −1 et un pôle en 1 en lisant l'écriture non simplifiée.

Exercice 2. Décomposition de 1/(Xn − 1)

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit n ≥ 1. Démontrer la formule donnant le coefficient d'un pôle simple, puis décomposer 1/(Xn − 1) sur C.

Technique P(λ)/Q'(λ).

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  1. La preuve est celle de la section 2.
  2. Les racines de Xn − 1 sont les n racines n-ièmes de l'unité, qui sont distinctes. Elles sont simples, car la dérivée nXn−1 ne s'annule qu'en 0, qui n'est pas racine.
  3. Le numérateur vaut 1 et le dénominateur n'a pas de racine commune avec lui, donc la fraction est irréductible et de degré −n < 0. La partie entière est nulle.
  4. En une racine ω, le coefficient vaut 1/(nωn−1) = ω/(nωn) = ω/n.
  5. On obtient 1/(Xn − 1) = (1/n) Σ ω/(X − ω).

piège : Chercher à factoriser Xn − 1 en produit de (X − ω) et à calculer chaque cofacteur, alors que la dérivée donne tout.

Exercice 3. Pôle double et primitive

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Décomposer 1/(X²(X − 1)) sur R, puis en donner une primitive sur ]1, +∞[.

Technique pôle double, puis limite de x·F à l'infini.

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  1. La forme est a/X + b/X² + c/(X − 1).
  2. On évalue X²F en 0, ce qui donne b = −1. On évalue (X − 1)F en 1, ce qui donne c = 1.
  3. Comme deg F = −3, x·F(x) tend vers 0, d'où a + c = 0 et a = −1.
  4. Contrôle en 2 : 1/4 = −1/2 − 1/4 + 1.
  5. Une primitive sur ]1, +∞[ est −ln x + 1/x + ln(x − 1), soit ln((x − 1)/x) + 1/x.

piège : Oublier le terme a/X, ou croire qu'on obtient a en évaluant X·F en 0, alors que X·F y a encore un pôle.

Exercice 4. Une somme sur les racines de l'unité

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit n ≥ 1. Calculer la somme des 1/(2 − ω) quand ω parcourt les racines n-ièmes de l'unité.

Technique décomposition de P'/P.

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  1. On pose P = Xn − 1. Ses racines sont simples, donc P'/P = Σ 1/(X − ω).
  2. On évalue en 2, qui n'est pas racine de P : la somme cherchée vaut P'(2)/P(2).
  3. Elle vaut donc n·2n−1/(2n − 1).

piège : Oublier de vérifier que 2 n'est pas un pôle avant d'évaluer.

Exercice 5. Inégalité pour un polynôme scindé

Classiques de khôlle et concours · D'après un écrit CCINP MP

Soit P un polynôme réel non constant scindé sur R. Montrer que P'² − PP'' ≥ 0 sur R.

Technique dériver la décomposition de P'/P comme fonction.

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  1. On note zi les racines réelles distinctes de P et mi leurs multiplicités. Sur chaque intervalle ne contenant aucune racine, on a P'(x)/P(x) = Σ mi/(x − zi).
  2. On dérive les deux membres comme fonctions : (P''P − P'²)/P² = −Σ mi/(x − zi)².
  3. Le second membre est négatif, donc P'² − PP'' ≥ 0 en tout x qui n'est pas racine.
  4. En une racine x₀, P(x₀) = 0, donc l'expression vaut P'(x₀)² ≥ 0.

piège : Oublier l'hypothèse « scindé sur R ». Avec des racines non réelles, les termes mi/(x − zi)² ne sont plus réels positifs. Pour P = X² + 1, l'expression vaut 2x² − 2, négative en 0.

Exercice 6. Une intégrale avec arctangente

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Calculer l'intégrale de 0 à 1 de dx/(x³ + 1).

Technique décomposition sur R, puis logarithme et arctangente.

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  1. On a X³ + 1 = (X + 1)(X² − X + 1), et le trinôme a pour discriminant −3. On écrit F = a/(X + 1) + (bX + c)/(X² − X + 1).
  2. On trouve a = 1/(3·(−1)²) = 1/3. L'évaluation en 0 donne 1 = a + c, donc c = 2/3. La limite de x·F à l'infini donne a + b = 0, donc b = −1/3.
  3. On fait apparaître la dérivée du trinôme : F = (1/3)/(X + 1) − (1/6)(2X − 1)/(X² − X + 1) + (1/2)/(X² − X + 1).
  4. On écrit x² − x + 1 = (x − 1/2)² + 3/4. Une primitive du dernier terme est donc (1/√3) arctan((2x − 1)/√3).
  5. Entre 0 et 1, le logarithme du trinôme ne varie pas, car le trinôme vaut 1 aux deux bornes. L'arctangente passe de −π/6 à π/6.
  6. L'intégrale vaut (ln 2)/3 + π/(3√3).

piège : Mettre un numérateur constant sur X² − X + 1, ou se tromper dans le facteur 2/√3 de la forme canonique.

Exercice 7. Télescopage d'ordre deux

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Calculer Sn, la somme des 1/(k(k + 1)(k + 2)) pour k de 1 à n, et sa limite.

Technique regrouper la décomposition pour faire télescoper.

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  1. Par la méthode des pôles simples, 1/(X(X + 1)(X + 2)) = (1/2)/X − 1/(X + 1) + (1/2)/(X + 2).
  2. On regroupe les termes en (1/2)(1/(X(X + 1)) − 1/((X + 1)(X + 2))), qu'on vérifie en réduisant.
  3. On pose uk = 1/(k(k + 1)). Le terme général vaut (1/2)(uk − uk+1), donc la somme télescope : Sn = (1/2)(u₁ − un+1).
  4. On obtient Sn = 1/4 − 1/(2(n + 1)(n + 2)), qui tend vers 1/4.

piège : Télescoper directement les trois termes en oubliant les termes de bord qui ne se simplifient pas.

Exercice 8. Dérivées successives en 0

Classiques de khôlle et concours · Écrit e3a

Soit f(x) = 1/(x² − 3x + 2). Calculer f(n)(0) pour tout n.

Technique dérivée n-ième des éléments simples.

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  1. On a x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2), et la décomposition donne f(x) = 1/(x − 2) − 1/(x − 1).
  2. Sur ]−∞, 1[, on a f(n)(x) = (−1)n n! (1/(x − 2)n+1 − 1/(x − 1)n+1).
  3. En 0 : 1/(−2)n+1 − 1/(−1)n+1 = (−1)n+1(2−(n+1) − 1).
  4. Donc f(n)(0) = n!(1 − 2−(n+1)). Contrôle : pour n = 0 on trouve 1/2, pour n = 1 on trouve 3/4.

piège : Perdre un signe dans (−1)n (−1)n+1. Le contrôle en n = 0 et n = 1 est gratuit.

Exercice 9. Dérivées de 1/(1 + x²) et leurs zéros

Approfondissement · Type oral Mines

Soit f(x) = 1/(1 + x²). Exprimer f(n)(x) à l'aide de θ ∈ ]0, π[ tel que cot θ = x, puis montrer que f(n) a exactement n zéros réels.

Technique décomposer sur C, puis dériver des fonctions à valeurs complexes.

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  1. On a f(x) = (1/(2i))(1/(x − i) − 1/(x + i)), et chaque terme est dérivable sur R.
  2. On obtient f(n)(x) = ((−1)n n!/(2i))(1/(x − i)n+1 − 1/(x + i)n+1) = (−1)n n! Im(1/(x − i)n+1).
  3. Le module de x − i est 1/sin θ et son argument est −θ. En effet sin θ = 1/√(1 + x²) et cos θ = x/√(1 + x²).
  4. Donc 1/(x − i)n+1 = sinn+1θ · ei(n+1)θ, puis f(n)(x) = (−1)n n! sinn+1θ sin((n + 1)θ). Contrôle en n = 0 : sin²θ = 1/(1 + x²).
  5. Comme sin θ > 0, f(n)(x) = 0 si et seulement si θ = kπ/(n + 1) avec k entre 1 et n. La fonction cot est injective sur ]0, π[, d'où n zéros distincts, les cot(kπ/(n + 1)).

piège : Oublier que la décomposition utilisée est complexe et que le résultat doit être réel. Passer par la partie imaginaire assure les deux.

Exercice 10. Le logarithme n'est pas rationnel

Approfondissement · Type oral Centrale

Montrer qu'il n'existe pas de fraction F de R(X) dont la fonction associée f vérifie f'(x) = 1/x sur un intervalle I ⊂ ]0, +∞[ sans pôle de F.

Technique unicité de la décomposition.

Voir le corrigé
  1. On décompose F sur C : F = E + Σ ai,k/(X − zi)k.
  2. On dérive terme à terme sur I. La dérivée de a/(x − z)k est −ka/(x − z)k+1. Tous les exposants obtenus sont au moins égaux à 2, et E' est un polynôme.
  3. On note G la fraction obtenue. Sa décomposition ne contient donc aucun terme d'exposant 1.
  4. Les fonctions associées à G et à 1/X coïncident sur I, qui est infini, donc G = 1/X.
  5. Or 1/X est sa propre décomposition, avec un terme d'exposant 1. L'unicité donne une contradiction.

piège : Oublier l'étape 4. L'égalité des fonctions sur I doit être transformée en égalité de fractions avant d'invoquer l'unicité.

Erreurs fréquentes

  1. Décomposer sans avoir simplifié. On fabrique alors des pôles fictifs, et les coefficients trouvés sont faux ou nuls sans qu'on comprenne pourquoi.
  2. Oublier la partie entière quand deg F ≥ 0, en particulier pour une fraction de degré 0. La relation par la limite de x·F à l'infini devient alors fausse.
  3. Écrire trop peu d'inconnues pour un pôle multiple, ou un numérateur constant sur un trinôme irréductible. Le nombre d'inconnues doit égaler le degré du dénominateur.
  4. Évaluer en λ le produit (X − λ)F pour obtenir un coefficient d'exposant intermédiaire d'un pôle multiple. Cette méthode ne donne que le coefficient de plus haut exposant.
  5. Primitiver 1/(x − α) en ln(x − α) sans valeur absolue, ou sur un intervalle qui contient un pôle. Il faut toujours préciser l'intervalle de travail.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de MPSI (2021), chapitre « Polynômes et fractions rationnelles », paragraphes h) et i). Elle couvre le corps K(X)\K(X), la forme irréductible, le degré, la partie entière, les zéros et les pôles, la décomposition en éléments simples sur C\C et sur R\R, et les deux applications que le programme mentionne, le calcul de primitives et celui de dérivées kk-ièmes. Le corps K\K est toujours R\R ou C\C. La division selon les puissances croissantes ne figure pas au programme.