Le cours

Résumé en cinq points

Le modèle des rayons est valable tant que les dimensions en jeu sont grandes devant la longueur d'onde. Au-delà, il faut passer au modèle ondulatoire.
Les lois de Snell-Descartes gouvernent réflexion et réfraction. La réflexion totale n'existe que dans le sens du milieu le plus réfringent vers le moins réfringent.
Le chemin optique est l'intégrale $\int n\,\dd s$ . Divisé par $c$ , il donne la durée de parcours, et c'est lui qui fixe le déphasage.
Entre deux points conjugués, le chemin optique est le même pour tous les rayons. C'est le pont entre l'optique géométrique et les interférences.
Dans l'approximation de Gauss, une lentille mince obéit à la relation $\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}$ avec un grandissement $\dfrac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$ , et tout faisceau parallèle converge en un point du plan focal image.

Pourquoi ce chapitre

L'optique géométrique n'est pas un chapitre nouveau en MP, mais elle conditionne tout le reste de l'optique de l'année. Le programme de MP demande explicitement :

d'associer une description de la formation des images en termes de rayons et en termes de surfaces d'onde ;
d'utiliser le fait que le chemin optique entre deux points conjugués ne dépend pas du rayon choisi.

Ces deux capacités supposent qu'on maîtrise les lentilles minces, le stigmatisme et les conditions de Gauss. En pratique, les montages d'interférences reposent tous sur une lentille de projection, un collimateur ou une lunette réglée à l'infini. Le goniomètre à réseau, explicitement au programme expérimental de MP, n'est utilisable que si l'on sait ce que veut dire régler une lunette à l'infini.

1Cadre du modèle

1.1Milieux et indice

On se place dans des milieux transparents, homogènes et isotropes. La lumière s'y propage en ligne droite, à la vitesse $v = c/n$ , où $n$ est l'indice du milieu.

Définition 1.1Indice d'un milieu

L'indice $n$ d'un milieu est le rapport $n = c/v$ . Il est toujours supérieur ou égal à 1 et il dépend de la longueur d'onde : c'est la dispersion.

Exemple 1.2Ordres de grandeur

Air : $1{,}000\,3$ , assimilé à 1 en pratique.
Eau : $1{,}33$ .
Verres usuels : de $1{,}5$ à $1{,}8$ .

Pour un verre courant, l'indice varie d'environ un centième entre le rouge et le violet, ce qui suffit à disperser la lumière blanche dans un prisme.

1.2Rayon lumineux et limites du modèle

Définition 1.3Rayon lumineux

Un rayon lumineux est une courbe le long de laquelle se propage l'énergie lumineuse.

C'est un modèle, valable tant que les dimensions des objets rencontrés sont grandes devant la longueur d'onde. Dès qu'on réduit un diaphragme à quelques dizaines de longueurs d'onde, la diffraction apparaît et le modèle des rayons échoue. Le domaine visible va de $400 \unite{nm}$ dans le violet à $800 \unite{nm}$ dans le rouge.

Loi 1.4Principe du retour inverse de la lumière

Le trajet suivi par la lumière est indépendant du sens de parcours.

2Lois de Snell-Descartes

À une interface entre deux milieux d'indices $n_1$ et $n_2$ , on définit la normale au point d'incidence et le plan d'incidence, contenant le rayon incident et la normale.

Loi 2.1Réflexion

Le rayon réfléchi est dans le plan d'incidence, de l'autre côté de la normale, et l'angle de réflexion est égal à l'angle d'incidence.

Loi 2.2Réfraction

Le rayon réfracté est dans le plan d'incidence, de l'autre côté de la normale, et vérifie $n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2.$

Conséquences :

En passant dans un milieu plus réfringent, le rayon se rapproche de la normale.
En passant dans un milieu moins réfringent, il s'en écarte, et il existe un angle d'incidence limite au-delà duquel il n'y a plus de rayon réfracté.

Propriété 2.3Réflexion totale

Cet angle limite vérifie $\sin i_{\text{lim}} = \frac{n_2}{n_1}.$

C'est la réflexion totale, principe du guidage dans une fibre optique et de la réflexion dans un prisme à angle droit.

Exemple 2.4Interface verre air

Pour une interface verre air, l'angle limite vaut environ $42$ degrés.

AttentionConditions de validité

Les lois supposent une interface plane à l'échelle de la longueur d'onde, et deux milieux homogènes et isotropes. Elles ne disent rien de la répartition de l'énergie entre les faisceaux réfléchi et réfracté, qui relève de l'électromagnétisme.

3Chemin optique

3.1Définition

Définition 3.1Chemin optique

Le chemin optique le long d'un trajet est l'intégrale $\displaystyle\int n\,\dd s$ le long de ce trajet. Dans un milieu homogène, il vaut $n$ multiplié par la longueur géométrique parcourue.

Le chemin optique divisé par $c$ est la durée du parcours. Le chemin optique est donc la longueur que la lumière aurait parcourue dans le vide pendant la même durée.

À retenir

Le chemin optique contrôle le retard de phase, et donc toute l'optique ondulatoire du programme de MP.

3.2Propriété des points conjugués

Propriété 3.2Chemin optique entre points conjugués

Hypothèses

un système optique donne d'un point $A$ une image $B$ stigmatique.

Alors le chemin optique de $A$ à $B$ est le même pour tous les rayons qui vont de $A$ à $B$ .

Le programme de MP demande explicitement d'utiliser cette propriété. Elle permet d'affirmer qu'une lentille de projection n'introduit aucune différence de marche supplémentaire entre les rayons qu'elle fait converger en un même point, ce qui est essentiel en interférences.

RemarqueComplément, pour la culture

Ce résultat se rattache au principe de Fermat, selon lequel le trajet suivi par la lumière entre deux points rend le chemin optique stationnaire. Les lois de Snell-Descartes s'en déduisent. Le principe de Fermat lui-même ne figure pas dans les capacités exigibles de MP.

4Stigmatisme et conditions de Gauss

4.1Stigmatisme

Définition 4.1Stigmatisme rigoureux

Un système est rigoureusement stigmatique pour le couple de points $A$ et $A'$ si tout rayon issu de $A$ passe par $A'$ après traversée du système. On dit alors que $A$ et $A'$ sont conjugués.

Le miroir plan est le seul système simple rigoureusement stigmatique pour tous les points de l'espace, l'image d'un point réel étant un point virtuel symétrique par rapport au plan du miroir.

Définition 4.2Aplanétisme

Un système est aplanétique si l'image d'un objet plan perpendiculaire à l'axe optique est elle aussi plane et perpendiculaire à l'axe.

4.2Conditions de Gauss

Définition 4.3Approximation de Gauss

En pratique, on obtient un stigmatisme approché en se limitant aux rayons paraxiaux, c'est-à-dire peu inclinés sur l'axe optique et passant près de l'axe. C'est l'approximation de Gauss.

On la réalise expérimentalement en diaphragmant le faisceau. Le prix à payer est la perte de luminosité. Le bénéfice est la disparition des principales aberrations géométriques.

Dans ces conditions, on peut linéariser les lois de Descartes en remplaçant les sinus par les angles, ce qui rend toutes les relations de conjugaison homographiques.

5Lentilles minces

5.1Vocabulaire

Définition 5.1Lentille mince

Une lentille mince est une lentille dont l'épaisseur est négligeable devant les rayons de courbure de ses faces. On la caractérise par son centre optique $O$ , son axe optique, son foyer objet $F$ et son foyer image $F'$ .

Définition 5.2Distance focale et vergence

La distance focale image est $f' = \overline{OF'}$ , comptée algébriquement sur l'axe orienté dans le sens de propagation. La vergence est $V = 1/f'$ , exprimée en dioptries.

Lentille convergente : $f' > 0$ , elle est plus épaisse au centre.
Lentille divergente : $f' < 0$ , elle est plus mince au centre.
Les foyers objet et image sont symétriques par rapport à $O$ .

Exemple 5.3Ordres de grandeur

Les lentilles de travaux pratiques ont des distances focales de $5 \unite{cm}$ à $1 \unite{m}$ , soit des vergences de 1 à 20 dioptries. Une correction de myopie courante est de l'ordre de $-2$ dioptries.

5.2Constructions

Trois rayons particuliers suffisent :

un rayon passant par le centre optique n'est pas dévié ;
un rayon parallèle à l'axe émerge en passant par le foyer image ;
un rayon passant par le foyer objet émerge parallèle à l'axe.

Deux de ces rayons déterminent l'image, le troisième sert de vérification.

Propriété 5.4Foyer secondaire

Pour un rayon quelconque, on utilise le plan focal image. Tous les rayons parallèles entre eux convergent en un même point du plan focal image, appelé foyer secondaire.

Cette propriété est constamment utilisée dans les montages d'interférences à l'infini.

5.3Relations de conjugaison

Propriété 5.5Relation de Descartes et grandissement

Avec origine au centre optique : $\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'}.$ Le grandissement transversal vaut $\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}.$

Discussion pour une lentille convergente :

objet réel au-delà de $2f'$ : image réelle, renversée, plus petite ;
objet réel entre $f'$ et $2f'$ : image réelle, renversée, plus grande ;
objet réel entre le foyer objet et la lentille : image virtuelle, droite, agrandie, c'est le fonctionnement de la loupe ;
objet à l'infini : image dans le plan focal image.

Pour une lentille divergente, l'image d'un objet réel est toujours virtuelle, droite et plus petite.

AttentionGrandeurs algébriques

Toutes ces relations sont algébriques. Il faut orienter l'axe une fois pour toutes dans le sens de propagation, et respecter les signes. Un résultat de signe inattendu est en général une image virtuelle, pas une erreur.

5.4Association de lentilles

On applique la relation de conjugaison lentille par lentille, l'image donnée par la première servant d'objet pour la seconde. Le grandissement total est le produit des grandissements.

Définition 5.6Système afocal

Un système est afocal quand l'image d'un objet à l'infini est à l'infini. Cela se réalise en accolant le foyer image de la première lentille au foyer objet de la seconde.

6Instruments, compléments utiles aux travaux pratiques

Ces montages ne figurent pas tous explicitement dans les capacités exigibles de MP, mais leur réglage conditionne les manipulations d'optique ondulatoire du programme.

6.1L'œil

L'œil est modélisé par une lentille de vergence variable et un capteur, la rétine, à distance fixe.

L'accommodation permet de voir net entre le punctum proximum, de l'ordre de $25 \unite{cm}$ pour un œil normal, et le punctum remotum, à l'infini.
Le pouvoir séparateur angulaire est de l'ordre de $3 \times 10^{-4} \unite{rad}$ , soit environ une minute d'arc.

L'œil se fatigue moins en observant à l'infini, ce qui explique que la plupart des instruments visuels soient réglés pour donner une image à l'infini.

6.2La loupe

Une lentille convergente de courte focale, utilisée avec l'objet dans le plan focal objet, donne une image à l'infini. Le grossissement commercial vaut alors $0{,}25/f'$ , avec $f'$ en mètres.

Exemple 6.1Grossissement d'une loupe

Pour $f' = 2{,}5 \unite{cm}$ , le grossissement vaut 10.

6.3La lunette afocale

Un objectif de grande focale forme dans son plan focal image une image intermédiaire d'un objet à l'infini. Un oculaire de courte focale, dont le plan focal objet coïncide avec ce plan, renvoie l'image à l'infini. Le grossissement vaut le rapport de la focale de l'objectif à celle de l'oculaire.

6.4Le microscope

Un objectif de très courte focale donne une image réelle très agrandie d'un objet proche, et un oculaire sert de loupe pour observer cette image.

6.5Réglages de travaux pratiques

MéthodeRéglages à connaître

Régler une lunette à l'infini par observation d'un objet lointain ou par autocollimation avec un miroir plan.
Régler un collimateur pour qu'il délivre un faisceau parallèle, en le réglant sur une lunette déjà réglée à l'infini.

Ces deux gestes sont ceux qui précèdent toute mesure au goniomètre à réseau.

Méthodes

MéthodeConduire un calcul avec des lentilles

Toujours orienter l'axe optique dans le sens de propagation et travailler en grandeurs algébriques.
Devant une association, procéder image par image, sans chercher de formule globale.
Pour un faisceau parallèle, penser immédiatement au plan focal image et au foyer secondaire.
Pour savoir si une image est réelle ou virtuelle, regarder le signe de la position et se demander si la lumière passe effectivement par ce point.
Vérifier une construction en traçant le troisième rayon particulier.

MéthodeUtiliser les points conjugués en interférences

Repérer les points conjugués du montage.
Utiliser la propriété des points conjugués plutôt que de calculer les trajets à travers la lentille.
Conclure : le chemin optique entre deux points conjugués est le même pour tous les rayons.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Énoncer les lois de Snell-Descartes, établir la condition de réflexion totale et calculer l'angle limite pour une interface verre air.
Définir le chemin optique et relier le retard de phase à la différence de chemin optique.
Énoncer la propriété des points conjugués et expliquer pourquoi une lentille de projection ne modifie pas la différence de marche.
Construire l'image d'un objet par une lentille convergente dans les trois cas de position, et par une lentille divergente.
Écrire la relation de conjugaison de Descartes et le grandissement, puis les appliquer à une association de deux lentilles.
Expliquer ce que sont les conditions de Gauss, pourquoi on les réalise en diaphragmant, et ce qu'on y perd.
Décrire le montage d'une lunette afocale et donner son grossissement.
Décrire le réglage d'une lunette à l'infini par autocollimation et celui d'un collimateur.

Classiques et HP

Méthodes et approfondissements du chapitre · le statut est précisé pour MP.

APPLICATION DU COURS Arc-en-ciel et déviation minimale

Application des lois de Snell-Descartes et de la dérivation composée. Le modèle et le résultat sont établis dans la fiche.

Application guidée puis approfondissement

Prérequis

Lois de Snell-Descartes
Géométrie des angles dans une sphère
Dérivation composée et recherche d’un extremum

Modèle et angles

DéfinitionModèle de la goutte et angles

On modélise une goutte par une sphère transparente d’indice $n$ , dans l’air d’indice $1$ , avec $1<n<2$ . Les angles sont en radians. Le rayon subit une réfraction à l’entrée, une réflexion interne puis une réfraction à la sortie. On note $i\in[0,\pi/2[$ l’incidence et $r$ la réfraction.

La loi de Snell-Descartes donne $\sin i=n\sin r$ . La somme des déviations aux trois rencontres vaut

$D(i)=2(i-r)+(\pi-2r)=\pi+2i-4r(i).$

La dérivation composée

PropositionDéviation après une réflexion interne

L’angle $r$ dépend de $i$ . En dérivant la relation de Snell-Descartes, on obtient

$\cos i=n\cos r\,r'(i),$

puis

Démonstration

$r'(i)=\frac{\cos i}{n\cos r},\qquad D'(i)=2-\frac{4\cos i}{n\cos r}.$

Au point stationnaire, $2\cos i=n\cos r$ . Comme les cosinus sont positifs, l’élévation au carré est équivalente. En utilisant $n^2\sin^2r=\sin^2i$ , il vient

$4\cos^2 i=n^2-\sin^2 i=n^2-1+\cos^2i,$

soit

$\cos^2 i_m=\frac{n^2-1}{3}.$

Pour vérifier qu’il s’agit d’un minimum, écrivons $n\cos r=\sqrt{n^2-\sin^2i}$ . La dérivée de $\cos i/\sqrt{n^2-\sin^2i}$ est strictement négative pour $0<i<\pi/2$ : son signe est celui de $(1-n^2)\sin i$ . Ainsi $D'$ est strictement croissante ; elle passe de $2-4/n<0$ à $2$ . Le minimum est unique.

Interprétation et piège

ExempleInterprétation du minimum

Près du minimum, des incidences voisines produisent des déviations voisines : les rayons se concentrent autour de cette direction. Pour l’arc primaire, le rayon angulaire autour du point antisolaire est $\theta=\pi-D(i_m)$ . La dispersion de l’indice explique que les couleurs n’aient pas exactement le même angle.

AttentionPoints de vigilance

Ne pas dériver $D$ en considérant $r$ constant. Ne pas confondre la déviation $D$ , proche de $138^\circ$ pour l’eau, avec le rayon angulaire visible de l’arc, proche de $42^\circ$ .

Courbe de déviation d’un rayon dans une goutte d’indice n=4/3 après une réflexion interne. Minimum pour i environ 59,39 degrés, D environ 137,97 degrés.

Pour l’arc primaire, le rayon angulaire autour du point antisolaire est $\theta=\pi-D(i_m)$ , soit environ $42,03^\circ$ .

Plusieurs réflexions

PropositionDéviation pour plusieurs réflexions

Avec $p\ge1$ réflexions internes, on utilise une déviation non réduite modulo $2\pi$ :

$D_p=p\pi+2i-2(p+1)r.$

La même dérivation donne, si $1<n<p+1$ ,

$\cos^2 i_m=\frac{n^2-1}{p(p+2)}.$

Pour l’arc secondaire ( $p=2$ ), il faut réinterpréter la direction de sortie : son rayon angulaire est $D_2(i_m)-\pi$ . La formule $\pi-D$ de l’arc primaire ne se transpose pas directement.

Aller à l’exercice associé

Sources

Programme officiel de première année de 2021 : optique géométrique et lois de Snell-Descartes

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Propagation rectiligne dans un milieu homogène, isotrope et transparent, à la vitesse c/n. Exigible. Limite du modèle : la diffraction dès que les ouvertures approchent quelques dizaines de longueurs d'onde.
Principe du retour inverse de la lumière. Exigible, admis.
Lois de Snell-Descartes, rayons réfléchi et réfracté dans le plan d'incidence, angle de réflexion égal à l'angle d'incidence, n₁ sin i₁ = n₂ sin i₂. Exigibles, admises. La déduction par le principe de Fermat est hors programme.
Condition de réflexion totale, n₁ > n₂ et i₁ > i_lim avec sin i_lim = n₂/n₁. Exigible avec démonstration.
Chemin optique (AB) = ∫ n ds, durée de parcours (AB)/c, retard de phase 2π(AB)/λ₀ avec λ₀ longueur d'onde dans le vide. Exigible.
Propriété des points conjugués : si A' est l'image stigmatique de A, le chemin optique (AA') est le même pour tous les rayons. Admise, utilisation exigible en MP.
Théorème de Malus, rayons orthogonaux aux surfaces d'onde après un nombre quelconque de réflexions et réfractions. Admis.
Conditions de Gauss, rayons paraxiaux, stigmatisme et aplanétisme approchés. Énoncé exigible, avec le lien au détecteur : une tache image plus petite qu'un pixel ou qu'une cellule rétinienne est un point.
Miroir plan, seul système rigoureusement stigmatique, image symétrique par rapport au plan. Exigible.
Lentille mince : centre optique, foyers principaux et secondaires, distance focale, vergence. Relation de Descartes 1/OA' − 1/OA = 1/f' et grandissement γ = OA'/OA. Relations de Newton FA × F'A' = − f'² et γ = − f'/FA = − F'A'/f'. Exigibles, admises.
Condition de formation d'une image réelle d'un objet réel par une lentille convergente : distance objet-écran D ≥ 4f'. Exigible avec démonstration.
Œil, lentille de vergence variable et capteur fixe, punctum proximum 25 cm, résolution angulaire 3 × 10⁻⁴ rad. Appareil photographique, profondeur de champ. Fibre à saut d'indice, cône d'acceptance et dispersion intermodale. Exigibles (MPSI).
Hors programme signalé : principe de Fermat, aberrations, miroirs sphériques, formules des lentilles épaisses, pouvoir de résolution des instruments.

Clés de démonstration

Réflexion totale. On écrit sin i₂ = (n₁/n₂) sin i₁ avec n₁/n₂ > 1. Le membre de droite dépasse 1 dès que sin i₁ > n₂/n₁, et un sinus ne dépasse jamais 1. L'astuce : la loi de la réfraction n'a pas de solution, ce n'est pas une approximation, c'est une impossibilité.

Condition D ≥ 4f'. Objet en A, écran en A', OA = − x avec 0 < x < D, OA' = D − x. Descartes donne 1/(D − x) + 1/x = 1/f', soit x² − Dx + Df' = 0. Une position réelle existe si le discriminant D² − 4Df' est positif. L'astuce : une équation du second degré en la position de la lentille, dont on ne regarde que le discriminant.

Chemin optique entre points conjugués. Une onde sphérique issue de A a pour surfaces d'onde des sphères centrées en A. Après la lentille, si A' est image stigmatique, les rayons convergent en A', donc par Malus les surfaces d'onde sont des sphères centrées en A'. Entre une sphère centrée en A et une sphère centrée en A', tous les rayons ont le même chemin optique, et il reste deux rayons de sphères, égaux pour tous. L'astuce : Malus transforme « les rayons convergent » en « les surfaces d'onde sont des sphères ».

Cône d'acceptance d'une fibre. Réfraction à l'entrée, sin θ = n₁ sin r, puis réflexion totale sur la gaine sous l'incidence π/2 − r, donc cos r ≥ n₂/n₁. On élimine r avec sin² + cos² = 1 et on obtient sin θ_a = √(n₁² − n₂²). L'astuce : passer de sin r à cos r par l'identité fondamentale.

Exemples et contre-exemples à connaître

Interface verre-air, n = 1,5, angle limite 41,8°. Le prisme à angle droit renvoie donc la lumière par réflexion totale sous 45°, sans aucune couche métallique.
Interface air-verre, même indice : pas de réflexion totale, quel que soit l'angle. La réflexion totale n'existe qu'en sortant du milieu le plus réfringent.
Lentille de f' = 20 cm, objet à 30 cm : image réelle à 60 cm, γ = −2. Contrôle d'ordre de grandeur pour tout calcul de conjugaison.
Objet entre F et O d'une lentille convergente : image virtuelle, droite, agrandie. C'est la loupe, et c'est le seul cas où une lentille convergente donne une image virtuelle d'un objet réel.
Lentille divergente et objet réel : image toujours virtuelle, droite, plus petite. Une divergente seule ne projette jamais rien sur un écran.
Objet et écran distants de 50 cm avec f' = 20 cm : impossible, 50 < 80. Il faut une lentille de focale inférieure à 12,5 cm.
Lame de verre d'épaisseur 1 mm et d'indice 1,5 traversée sous incidence normale : chemin optique 1,5 mm, soit 0,5 mm de plus que l'air, c'est-à-dire 833 longueurs d'onde à 600 nm. Un chemin géométrique inchangé peut cacher un chemin optique très différent.
Lentille convergente et onde plane : les rayons du bord parcourent plus d'air, les rayons du centre plus de verre. Les chemins optiques sont égaux jusqu'au foyer. Contre-exemple à « la lentille retarde davantage le rayon central ».
Lunette afocale f'₁ = 50 cm, f'₂ = 2 cm : grossissement 25, image renversée. La Lune, de diamètre apparent 0,5°, apparaît sous 12,5°.

Techniques du chapitre

Technique 1, orienter et signer. Mini-exercice : lentille f' = −10 cm, objet réel à 20 cm. 1/OA' = 1/f' + 1/OA = −0,1 − 0,05 = −0,15 cm⁻¹, OA' = −6,7 cm, image virtuelle du côté de l'objet, γ = OA'/OA = (−6,7)/(−20) = +0,33, droite et réduite.

Technique 2, image par image dans une association. Mini-exercice : deux lentilles de f' = 10 cm distantes de 30 cm, objet à 15 cm devant la première. Première image à OA' = 30 cm, c'est-à-dire sur la seconde lentille, donc au centre optique. La seconde image est confondue avec elle, grandissement total γ₁ × γ₂ = (−2) × 1 = −2.

Technique 3, faisceau parallèle et foyer secondaire. Mini-exercice : faisceau parallèle incliné de 2° sur l'axe d'une lentille f' = 25 cm. Il converge dans le plan focal image au point d'ordonnée f' tan 2° ≈ 8,7 mm au-dessous ou au-dessus de F' selon le sens d'inclinaison. Tracer le rayon passant par O pour le savoir.

Technique 4, chemin optique par morceaux. Mini-exercice : un rayon traverse 20 cm d'air, 5 mm de verre d'indice 1,5 et 3 cm d'eau d'indice 1,33. Chemin optique 200 + 7,5 + 39,9 = 247,4 mm, durée 0,825 ns.

Technique 5, remplacer un calcul de traversée par la propriété des points conjugués. Mini-exercice : deux rayons partent d'un point source et convergent au point image après une lentille. Le déphasage entre eux au point image est nul, sans aucun calcul, car les chemins optiques sont égaux. Cette phrase vaut deux lignes de réponse en concours.

Technique 6, réflexion totale avant la réfraction. Mini-exercice : rayon dans l'eau arrivant sous 60° sur la surface libre. sin i_lim = 1/1,33 = 0,75, i_lim = 48,6°, donc 60° > i_lim, réflexion totale, aucun rayon ne sort. Ne pas écrire sin i₂ = 1,33 × sin 60° = 1,15.

Technique 7, vérifier une construction par le troisième rayon. Mini-exercice : après avoir tracé les rayons par O et par F, tracer celui qui arrive parallèle à l'axe et vérifier qu'il passe par le point image déjà trouvé. Un écart révèle une erreur de placement des foyers.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Prisme à réflexion totale

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Un prisme de verre d'indice n = 1,50 a une section triangle rectangle isocèle. Un rayon entre sous incidence normale par une petite face, atteint l'hypoténuse, puis ressort par l'autre petite face. Montrer qu'il subit une réflexion totale et que le faisceau est dévié de 90°. Que se passe-t-il si le prisme est plongé dans l'eau ?

Technique Angle limite, comparaison des angles.

Voir le corrigé

Incidence normale à l'entrée, pas de déviation. Le rayon atteint l'hypoténuse sous 45°.
sin i_lim = 1/1,50 = 0,667, i_lim = 41,8° < 45°, réflexion totale.
Le rayon réfléchi fait 45° avec la normale à l'hypoténuse et arrive sous incidence normale sur la seconde petite face, il sort sans déviation. Déviation totale 90°.
Dans l'eau, sin i_lim = 1,33/1,50 = 0,887, i_lim = 62,5° > 45°. Il n'y a plus réflexion totale, une partie de la lumière sort par l'hypoténuse.

piège : Oublier que l'angle limite dépend des deux indices. Un prisme qui fonctionne dans l'air peut fuir dans l'eau.

Exercice 2. Profondeur apparente

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Un observateur regarde presque verticalement le fond d'une piscine de profondeur h = 2,0 m, indice de l'eau 1,33. À quelle profondeur voit-il le fond ?

Technique Réfraction en petits angles, image virtuelle par un dioptre plan.

Voir le corrigé

Un rayon issu d'un point A du fond arrive sur la surface sous l'angle i dans l'eau, ressort sous r avec sin r = n sin i, soit r ≈ n i en petits angles.
Le prolongement du rayon émergent coupe la verticale en A' tel que d tan i = h et d tan r = h', où d est la distance horizontale au point d'émergence. Donc h'/h = tan i / tan r ≈ i/r = 1/n.
h' = 2,0/1,33 = 1,5 m. Le fond paraît remonté de 50 cm.
Le dioptre plan n'est stigmatique qu'approximativement, ce qui justifie la restriction aux rayons proches de la verticale.

piège : Inverser le rapport et trouver un fond plus profond. Le rayon s'écarte de la normale en sortant, donc son prolongement remonte.

Exercice 3. Mise au point et grandissement

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Un projecteur utilise une lentille de f' = 5,0 cm pour former sur un écran situé à 3,0 m l'image d'une diapositive de 24 mm de large. Position de la diapositive, largeur de l'image, sens.

Technique Descartes avec l'image imposée.

Voir le corrigé

OA' = +3,0 m. 1/OA = 1/OA' − 1/f' = 0,333 − 20 = −19,67 m⁻¹, OA = −5,08 cm.
γ = OA'/OA = 3,0/(−0,0508) = −59.
Image de 59 × 24 mm = 1,42 m, renversée. On monte donc la diapositive à l'envers.
La diapositive est à 0,8 mm au-delà du foyer objet. Une variation de 0,1 mm de sa position déplace l'écran de plusieurs dizaines de centimètres, ce qui explique la sensibilité de la mise au point.

piège : Prendre OA = −f' « parce que l'écran est loin ». C'est une approximation, pas la position exacte, et elle donne une image à l'infini.

Exercice 4. Condition D ≥ 4f' et méthode de Bessel

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Objet et écran sont distants de D = 1,00 m, la lentille a une focale f' inconnue. On trouve deux positions de la lentille donnant une image nette, distantes de d = 44,7 cm. Focale, et grandissement dans chaque position.

Technique Équation du second degré en la position, exploitation des deux racines.

Voir le corrigé

Avec OA = −x, l'équation x² − Dx + Df' = 0 a deux racines x₁ et x₂ de somme D et de différence d.
Discriminant D² − 4Df' = d², d'où f' = (D² − d²)/(4D) = (1 − 0,200)/4 = 0,200 m.
Racines x = (D ± d)/2 = 72,4 cm et 27,6 cm. Grandissements γ = −(D − x)/x, soit −0,38 et −2,62, inverses l'un de l'autre.
Si d = 0, on est au minimum D = 4f', lentille au milieu, grandissement −1.

piège : Chercher f' par une seule mesure de position, imprécise. La méthode de Bessel ne demande que D et d, deux distances faciles à mesurer.

Exercice 5. Correction d'un œil myope

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Un œil myope voit net sans accommoder jusqu'à 50 cm. Quelle lentille, accolée à l'œil, lui rend la vision nette à l'infini ? Vergence.

Technique Conjugaison d'un objet à l'infini avec le punctum remotum.

Voir le corrigé

La lentille doit donner d'un objet à l'infini une image virtuelle au punctum remotum, soit OA' = −50 cm.
Objet à l'infini, image au foyer image, donc f' = −50 cm, lentille divergente.
V = 1/f' = −2,0 dioptries.
Le myope corrigé accommode ensuite pour les objets proches comme un œil normal, sur un domaine légèrement déplacé.

piège : Proposer une convergente. L'œil myope est trop convergent, il faut retrancher de la vergence.

Exercice 6. Fibre optique à saut d'indice

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Cœur d'indice n₁ = 1,50, gaine d'indice n₂ = 1,47, fibre de longueur L = 1,0 km dans l'air. Angle maximal d'entrée. Écart de durée entre le rayon axial et le rayon le plus incliné. Fréquence maximale d'impulsions transmissibles sans recouvrement.

Technique Réfraction à l'entrée, réflexion totale sur la gaine, chemin optique.

Voir le corrigé

sin θ_a = √(1,50² − 1,47²) = √(2,250 − 2,161) = 0,298, θ_a = 17,4°.
Rayon axial, durée n₁L/c = 5,0 µs. Rayon limite, il fait avec l'axe l'angle r tel que cos r = n₂/n₁, sa longueur géométrique est L/cos r = L n₁/n₂, durée n₁²L/(n₂c).
Écart Δt = (n₁L/c)(n₁/n₂ − 1) = 5,0 × 10⁻⁶ × 0,0204 = 0,10 µs.
Deux impulsions séparées de moins de Δt se recouvrent, débit maximal de l'ordre de 1/Δt = 10 MHz sur un kilomètre. Réduire n₁ − n₂ ou passer à une fibre à gradient d'indice réduit cette dispersion intermodale.

piège : Calculer la durée avec la longueur géométrique et c, en oubliant l'indice. Le chemin optique n₁L est ce qui compte.

Exercice 7. Lunette afocale et réglage

Classiques de khôlle et concours · Type écrit CCINP

Objectif f'₁ = 80 cm, oculaire f'₂ = 4 cm. Où placer l'oculaire pour une lunette afocale ? Grossissement. Comment vérifie-t-on ce réglage en travaux pratiques et pourquoi un œil normal préfère-t-il une image à l'infini ?

Technique Afocal, coïncidence F'₁ et F₂.

Voir le corrigé

Un objet à l'infini donne une image en F'₁. Pour que l'oculaire la renvoie à l'infini, elle doit être en F₂, donc F'₁ = F₂, distance entre lentilles f'₁ + f'₂ = 84 cm.
Un objet de diamètre apparent α donne une image intermédiaire de taille f'₁ α, vue sous α' = f'₁ α/f'₂. G = α'/α = f'₁/f'₂ = 20, image renversée.
Réglage par autocollimation : un miroir plan derrière l'oculaire renvoie la lumière d'un réticule éclairé. L'image du réticule se forme dans le plan du réticule quand celui-ci est dans le plan focal objet, ce qui règle l'oculaire à l'infini. On règle ensuite l'objectif en visant un objet lointain jusqu'à supprimer la parallaxe entre l'image et le réticule.
À l'infini, l'œil normal n'accommode pas, le muscle ciliaire est au repos, l'observation prolongée ne fatigue pas.

piège : Écrire G = f'₂/f'₁. Le grossissement est grand quand l'objectif est long et l'oculaire court.

Exercice 8. Profil d'une lentille plan-convexe par le chemin optique

Approfondissement · Type oral Centrale

Une lentille plan-convexe d'indice n, d'épaisseur e(r) à la distance r de l'axe, reçoit une onde plane sous incidence normale sur sa face plane et la fait converger en F' à la distance f' de la face de sortie. En utilisant l'égalité des chemins optiques, déterminer e(0) − e(r), puis montrer que la face de sortie est approximativement sphérique.

Technique Points conjugués, infini et F', chemin optique égal sur tous les rayons.

Voir le corrigé

Le plan d'onde incident est parallèle à la face plane, tous les rayons y arrivent en phase. L'infini et F' sont conjugués, donc le chemin optique de ce plan à F' est le même pour tous les rayons.
Rayon axial : n e(0) + f'. Rayon à la distance r, qui dans le modèle de la lentille mince sort au point d'abscisse r puis rejoint F' : n e(r) + √(f'² + r²).
Égalité : e(0) − e(r) = (√(f'² + r²) − f')/(n − 1) ≈ r²/(2f'(n − 1)) pour r ≪ f'.
Une sphère de rayon R a pour flèche r²/(2R), donc la face est sphérique de rayon R = (n − 1)f'. Pour n = 1,5, R = f'/2. On retrouve la formule des opticiens 1/f' = (n − 1)/R pour une plan-convexe.
Ce raisonnement est exactement celui qui justifie qu'une lentille de projection n'ajoute aucune différence de marche entre deux rayons convergeant au même point.

piège : Compter l'épaisseur de verre comme un retard et conclure que le rayon central « arrive en retard ». Le verre au centre compense exactement l'air en plus sur les bords, c'est la définition d'une lentille.

Exercice 9. Œil, résolution et image sur un capteur

Approfondissement · Type oral Mines

Un appareil photographique a un objectif de f' = 50 mm et un capteur dont les pixels mesurent 5 µm. Quelle est la plus petite séparation angulaire résolue ? Comparer à l'œil. Le capteur est réglé pour un objet à 5 m, un objet à 2 m est-il net ?

Technique Stigmatisme approché lié au détecteur, tache image et pixel.

Voir le corrigé

Deux points séparés de l'angle α donnent deux images séparées de f' α. Résolus si f' α ≥ 5 µm, soit α ≥ 10⁻⁴ rad, trois fois mieux que l'œil, 3 × 10⁻⁴ rad.
Objet à 5 m : 1/OA' = 1/0,05 − 1/5 = 19,8 m⁻¹, OA' = 50,5 mm. Objet à 2 m : OA' = 51,3 mm.
L'image de l'objet à 2 m se forme 0,8 mm derrière le capteur. Avec un diaphragme de diamètre a = 5 mm, la tache sur le capteur a pour diamètre a × 0,8/51,3 ≈ 78 µm, soit 16 pixels, l'objet est flou.
Fermer le diaphragme à 0,5 mm ramène la tache à 8 µm, presque un pixel. C'est la profondeur de champ, obtenue au prix de la luminosité, comme les conditions de Gauss elles-mêmes.

piège : Croire que « net » a un sens absolu. Une image est nette si sa tache est plus petite que la cellule du détecteur, rien d'autre.

Exercice classique. Retrouver les angles des deux arcs

Classique du chapitre

Une goutte a un indice $n=4/3$ .

Pour une réflexion interne, calculer l’incidence $i_m$ , la réfraction $r_m$ , la déviation minimale et le rayon angulaire de l’arc primaire. Donner les angles en degrés.
Retrouver la condition stationnaire pour deux réflexions internes en dérivant $D_2=2\pi+2i-6r$ . En déduire le rayon angulaire de l’arc secondaire. Préciser où intervient la dérivation composée.

Voir le corrigé

La formule établie donne $\cos^2 i_m=7/27$ , donc $i_m\simeq59{,}4^\circ$ . Snell-Descartes donne $r_m=\arcsin(\sin i_m/n)\simeq40{,}2^\circ$ . Ainsi $D_1\simeq138{,}0^\circ$ et $\theta_1\simeq42{,}0^\circ$ .
Comme $r$ dépend de $i$ , on a $D'_2=2-6\cos i/(n\cos r)$ . L’annulation donne $3\cos i=n\cos r$ , puis $9\cos^2i=n^2-1+\cos^2i$ . Ainsi $\cos^2i_m=7/72$ , donc $i_m\simeq71{,}8^\circ$ et $r_m\simeq45{,}4^\circ$ . On obtient $D_2\simeq231{,}0^\circ$ ; le rayon angulaire de l’arc secondaire vaut donc $\theta_2\simeq51{,}0^\circ$ . Les calculs numériques sont effectués avant arrondi. Le facteur $r'(i)$ est indispensable dans les deux dérivations.

Erreurs fréquentes

Perdre les signes dans Descartes. Orienter l'axe une fois pour toutes, écrire OA négatif pour un objet réel, et interpréter un OA' négatif comme une image virtuelle.
Chercher une réflexion totale en entrant dans un milieu plus réfringent, ou oublier de comparer i à i_lim avant d'écrire la loi de la réfraction.
Confondre grossissement, rapport d'angles sans dimension pour un instrument visuel, et grandissement, rapport de longueurs pour une image réelle.
Calculer le chemin optique avec la longueur géométrique seule, ou mettre l'indice dans λ après l'avoir déjà mis dans le chemin. En MP, cette erreur se paie à chaque calcul de déphasage.
Placer la lentille de projection au hasard dans un montage interférentiel. Elle ne change pas la différence de marche entre les rayons qui convergent en un même point, mais elle change où ils convergent, et c'est ce qu'il faut construire.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de physique-chimie de MP (arrêté du 5 janvier 2021), qui inscrit l'optique de MP dans le prolongement direct du thème « Ondes et signaux » de MPSI, et des acquis d'optique géométrique de première année sur lesquels le modèle scalaire des ondes lumineuses s'appuie. Les résultats qui dépassent ce cadre sont signalés comme compléments.

Optique géométrique

Résumé en cinq points

1Cadre du modèle

1.1Milieux et indice

1.2Rayon lumineux et limites du modèle

2Lois de Snell-Descartes

3Chemin optique

3.1Définition

3.2Propriété des points conjugués

4Stigmatisme et conditions de Gauss

4.1Stigmatisme

4.2Conditions de Gauss

5Lentilles minces

5.1Vocabulaire

5.2Constructions

5.3Relations de conjugaison

5.4Association de lentilles

6Instruments, compléments utiles aux travaux pratiques

6.1L'œil

6.2La loupe

6.3La lunette afocale

6.4Le microscope

6.5Réglages de travaux pratiques

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Classiques et HP

Modèle et angles

La dérivation composée

Interprétation et piège

Plusieurs réflexions

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Prisme à réflexion totale

Exercice 2. Profondeur apparente

Exercice 3. Mise au point et grandissement

Exercice 4. Condition D ≥ 4f' et méthode de Bessel

Exercice 5. Correction d'un œil myope

Exercice 6. Fibre optique à saut d'indice

Exercice 7. Lunette afocale et réglage

Exercice 8. Profil d'une lentille plan-convexe par le chemin optique

Exercice 9. Œil, résolution et image sur un capteur

Exercice classique. Retrouver les angles des deux arcs

Erreurs fréquentes