Le cours

Résumé en cinq points

Un idéal absorbe la multiplication par tout l'anneau. Dans $\Z$ comme dans $\K[X]$ , tous les idéaux sont principaux, et c'est la division euclidienne qui le démontre.
Le PGCD se définit par l'égalité d'idéaux $a_1A + \dots + a_nA = dA$ , ce qui donne immédiatement la relation de Bézout.
L'ordre d'un élément est le cardinal du sous-groupe qu'il engendre, et $x^n = e$ si et seulement si cet ordre divise $n$ . Dans un groupe fini, l'ordre divise le cardinal.
$\Z/n\Z$ est un corps si et seulement si $n$ est premier. Ses inversibles sont les classes premières avec $n$ , au nombre de $\varphi(n)$ , d'où le théorème d'Euler.
Le théorème chinois casse $\Z/mn\Z$ en $\Z/m\Z \times \Z/n\Z$ dès que $m \wedge n = 1$ , et c'est lui qui rend $\varphi$ multiplicative.

Pourquoi ce chapitre

Ce chapitre reprend des objets déjà croisés en MPSI, les entiers, les polynômes, les matrices, et les range sous un petit nombre de structures communes. Un seul théorème, démontré une fois au niveau des idéaux, redonne d'un coup le théorème de Bézout dans $\Z$ et dans $\K[X]$ .

Le chapitre fournit deux outils de calcul pour les concours :

l'arithmétique modulo $n$ , avec le théorème chinois, l'indicatrice d'Euler et le théorème d'Euler ;
la notion d'ordre d'un élément, qui sert dès qu'on manipule des puissances dans un groupe fini.

La notion d'algèbre prépare le chapitre sur les polynômes d'endomorphismes. Aux concours, ce chapitre apparaît surtout dans les exercices d'oral et dans les premières parties de problèmes d'algèbre.

1Compléments sur les groupes

1.1Sous-groupe engendré par une partie

Soit $(G, \cdot)$ un groupe de neutre $e$ . Une intersection quelconque de sous-groupes de $G$ est un sous-groupe de $G$ . En revanche une réunion de deux sous-groupes n'en est presque jamais un.

Définition 1.1Sous-groupe engendré

Soit $A$ une partie de $G$ . Le sous-groupe engendré par $A$ , noté $\langle A \rangle$ , est l'intersection de tous les sous-groupes de $G$ contenant $A$ . C'est le plus petit sous-groupe de $G$ contenant $A$ , au sens de l'inclusion.

$\langle A \rangle$ est l'ensemble des produits finis d'éléments de $A$ et d'inverses d'éléments de $A$ . Une partie $A$ est génératrice de $G$ lorsque $\langle A \rangle = G$ .

Exemple 1.2

Dans le groupe symétrique $S_n$ , l'ensemble des transpositions est une partie génératrice.

1.2Sous-groupes de $(\Z, +)$

Théorème 1.3Sous-groupes de $\Z$

Les sous-groupes de $(\Z, +)$ sont exactement les $n\Z$ pour $n \in \N$ , et cette écriture est unique.

Démonstration

Si $H$ est un sous-groupe non réduit à $\{0\}$ , il contient un élément strictement positif. On note $n$ le plus petit d'entre eux. La division euclidienne d'un élément quelconque de $H$ par $n$ donne un reste dans $H$ strictement inférieur à $n$ , donc nul.

Ce résultat est le modèle de tous les arguments du chapitre. On le retrouve pour les idéaux de $\Z$ et pour ceux de $\K[X]$ .

1.3Groupes monogènes et cycliques

Définition 1.4Groupe monogène, cyclique

Un groupe $G$ est monogène s'il est engendré par un seul élément, c'est-à-dire s'il existe $x$ tel que $G = \{x^k, k \in \Z\}$ . Un groupe cyclique est un groupe monogène fini.

Tout groupe monogène est commutatif.

Théorème 1.5Classification

Tout groupe monogène infini est isomorphe à $(\Z, +)$ .
Tout groupe monogène fini de cardinal $n$ est isomorphe à $(\Z/n\Z, +)$ .

Exemple 1.6

Le groupe $\mathbb{U}_n$ des racines $n$ -ièmes de l'unité dans $\C$ , muni de la multiplication, est cyclique de cardinal $n$ , engendré par $\e^{2\ii\pi/n}$ .

Les générateurs de $(\Z/n\Z, +)$ sont les classes des entiers $k$ premiers avec $n$ . Il y en a donc $\varphi(n)$ , où $\varphi$ est l'indicatrice d'Euler définie plus bas.

1.4Ordre d'un élément

Définition 1.7Ordre

Soit $x \in G$ . L'ordre de $x$ est le cardinal du sous-groupe $\langle x \rangle$ , lorsque ce cardinal est fini.

Propriété 1.8Caractérisation de l'ordre

Hypothèses

$x$ est d'ordre fini $d$ .

Alors $d$ est le plus petit entier strictement positif tel que $x^d = e$ , et pour tout $n \in \Z$ : $x^n = e \iff d \mid n.$

Démonstration

L'application de $\Z$ dans $G$ qui à $n$ associe $x^n$ est un morphisme de groupes. Son noyau est un sous-groupe de $\Z$ , donc de la forme $d\Z$ , et son image est $\langle x \rangle$ qui a $d$ éléments.

Cette équivalence sert à chaque fois qu'on veut conclure d'une égalité $x^n = e$ .

Théorème 1.9Ordre et cardinal

Hypothèses

$G$ est un groupe fini de cardinal $n$ ;
$x \in G$ .

Alors l'ordre de $x$ divise $n$ . La démonstration n'est exigible que dans le cas commutatif.

Démonstration

Cas commutatif. L'application qui à $g$ associe $xg$ est une bijection de $G$ sur $G$ . En multipliant tous les éléments de $G$ entre eux de deux façons, et en utilisant la commutativité, on obtient $x^n = e$ , donc l'ordre de $x$ divise $n$ .

Conséquence immédiate : dans un groupe fini de cardinal $n$ , on a $x^n = e$ pour tout $x$ .

Attention

La réciproque est fausse. Un groupe de cardinal $n$ n'a pas forcément un élément d'ordre $d$ pour chaque diviseur $d$ de $n$ . Le groupe $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ a quatre éléments mais aucun élément d'ordre 4, donc il n'est pas cyclique.

2Compléments sur les anneaux

Dans toute cette partie les anneaux sont unitaires. Le produit d'une famille finie d'anneaux $A_1, \dots, A_p$ est l'ensemble produit muni des lois composante par composante. C'est un anneau, d'unité $(1, \dots, 1)$ .

Attention

Un produit de deux anneaux non nuls n'est jamais intègre, puisque $(1, 0)\cdot(0, 1) = (0, 0)$ .

2.1Idéaux

Définition 2.1Idéal

Soit $A$ un anneau commutatif. Une partie $I$ de $A$ est un idéal de $A$ si :

$I$ est un sous-groupe de $(A, +)$ ;
pour tout $a \in A$ et tout $x \in I$ , $ax \in I$ .

La deuxième condition est plus forte qu'une stabilité par produit interne : $I$ absorbe toute multiplication par un élément de $A$ .

Attention

Un idéal n'est pas un sous-anneau. L'idéal $2\Z$ de $\Z$ ne contient pas 1. Réciproquement $\Z$ est un sous-anneau de $\Q$ mais pas un idéal de $\Q$ .

Le noyau d'un morphisme d'anneaux commutatifs est un idéal de l'anneau de départ. C'est la source principale d'exemples.

Définition 2.2Idéal principal

L'idéal engendré par $x \in A$ est $xA = \{xa, a \in A\}$ . C'est le plus petit idéal contenant $x$ . Un idéal de cette forme est dit principal.

Propriété 2.3Divisibilité et idéaux

Hypothèses

$A$ est commutatif intègre.

Alors $a$ divise $b$ si et seulement si $bA \subset aA$ . Et $aA = bA$ si et seulement si $a$ et $b$ sont associés, c'est-à-dire égaux à un inversible près.

2.2Idéaux de $\Z$

Théorème 2.4Idéaux de $\Z$

Les idéaux de $\Z$ sont exactement les $n\Z$ , $n \in \N$ , avec unicité de $n$ .

La preuve est celle des sous-groupes de $\Z$ , car un idéal de $\Z$ est en particulier un sous-groupe.

Définition 2.5PGCD

Soient $a_1, \dots, a_n$ des entiers relatifs. L'ensemble $a_1\Z + \dots + a_n\Z$ est un idéal de $\Z$ , donc de la forme $d\Z$ avec $d \in \N$ . Cet entier $d$ est le PGCD de $a_1, \dots, a_n$ .

On obtient la relation de Bézout : il existe des entiers $u_1, \dots, u_n$ tels que $d = u_1 a_1 + \dots + u_n a_n.$

En particulier les $a_i$ sont premiers entre eux dans leur ensemble si et seulement s'il existe une combinaison à coefficients entiers de ces $a_i$ égale à 1.

3Les anneaux KXF142FXK

Soit $n \geqslant 1$ . La relation de congruence modulo $n$ est compatible avec l'addition et la multiplication, ce qui munit l'ensemble quotient $\Z/n\Z$ d'une structure d'anneau commutatif à $n$ éléments.

3.1Inversibles

Propriété 3.1Inversibles de $\Z/n\Z$

La classe d'un entier $k$ est inversible dans $\Z/n\Z$ si et seulement si $k$ et $n$ sont premiers entre eux.

Démonstration

Si $k \wedge n = 1$ , Bézout donne $uk + vn = 1$ , donc la classe de $u$ est un inverse de celle de $k$ . Réciproquement, si $uk \equiv 1$ modulo $n$ , alors $uk - 1$ est multiple de $n$ , donc tout diviseur commun de $k$ et $n$ divise 1.

Propriété 3.2Corps $\Z/n\Z$

$\Z/n\Z$ est un corps si et seulement si $n$ est premier. On note alors $\mathbb{F}_p$ ce corps. Si $n \geqslant 2$ n'est pas premier, $\Z/n\Z$ n'est même pas intègre : une factorisation $n = ab$ avec $1 < a, b < n$ donne deux diviseurs de zéro.

3.2Théorème chinois

Théorème 3.3Théorème chinois

Hypothèses

$m$ et $n$ sont premiers entre eux.

Alors l'application de $\Z/mn\Z$ dans $\Z/m\Z \times \Z/n\Z$ , qui à la classe de $x$ modulo $mn$ associe le couple des classes de $x$ modulo $m$ et modulo $n$ , est bien définie et c'est un isomorphisme d'anneaux. Le résultat s'étend à un produit de plus de deux facteurs deux à deux premiers entre eux.

Démonstration

L'application est un morphisme d'anneaux bien défini. Son noyau est réduit à zéro car un entier divisible par $m$ et par $n$ est divisible par $mn$ quand $m \wedge n = 1$ . On conclut par égalité des cardinaux.

Exemple 3.4Système de congruences

Le système $x \equiv 2 \pmod 3$ et $x \equiv 3 \pmod 5$ admet une unique solution modulo 15, à savoir $x \equiv 8$ . On la trouve avec une relation de Bézout entre 3 et 5, ici $2 \cdot 3 - 1 \cdot 5 = 1$ .

Attention

L'hypothèse $m \wedge n = 1$ est indispensable. $\Z/4\Z$ n'est pas isomorphe à $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ : le premier possède un élément d'ordre 4, le second non.

3.3Indicatrice d'Euler

Définition 3.5Indicatrice d'Euler

$\varphi(n)$ est le nombre d'entiers $k$ entre 1 et $n$ premiers avec $n$ . C'est aussi le cardinal du groupe des inversibles de $\Z/n\Z$ .

Propriété 3.6Multiplicativité

Hypothèses

$m \wedge n = 1$ .

Alors $\varphi(mn) = \varphi(m)\varphi(n)$ .

Le théorème chinois donne ce résultat, car les inversibles d'un produit d'anneaux sont les couples d'inversibles.

Propriété 3.7Puissances d'un premier

Pour $p$ premier et $k \geqslant 1$ : $\varphi(p^k) = p^k - p^{k-1}.$

Démonstration

Parmi les $p^k$ entiers de 1 à $p^k$ , les seuls non premiers avec $p^k$ sont les multiples de $p$ , au nombre de $p^{k-1}$ .

En décomposant $n$ en facteurs premiers, on obtient $\varphi(n) = n \prod_{p \mid n} \left(1 - \frac{1}{p}\right),$ le produit portant sur les nombres premiers $p$ divisant $n$ .

Attention

$\varphi$ n'est pas multiplicative sans hypothèse : $\varphi(2 \cdot 2) = 2$ alors que $\varphi(2)\varphi(2) = 1$ .

3.4Théorème d'Euler

Théorème 3.8Théorème d'Euler

Hypothèses

$a$ et $n$ sont premiers entre eux.

Alors $a^{\varphi(n)} \equiv 1 \pmod n$ .

C'est le théorème sur l'ordre et le cardinal, appliqué au groupe multiplicatif des inversibles de $\Z/n\Z$ , qui a $\varphi(n)$ éléments et qui est commutatif.

Propriété 3.9Petit théorème de Fermat

Hypothèses

$p$ est premier.

Alors, si $p$ ne divise pas $a$ , $a^{p-1} \equiv 1 \pmod p$ . Et pour tout entier $a$ , $a^p \equiv a \pmod p$ .

Exemple 3.10Reste d'une puissance

Pour $3^{100}$ modulo 7, on a $\varphi(7) = 6$ et $100 = 6 \cdot 16 + 4$ , donc $3^{100} \equiv 3^4 = 81 \equiv 4 \pmod 7.$

4Les anneaux KXF227FXK

Ici $\K$ est un sous-corps de $\C$ , en pratique $\Q$ , $\R$ ou $\C$ .

4.1Idéaux

Théorème 4.1Idéaux de $\K[X]$

Les idéaux de $\K[X]$ sont exactement les $P\K[X]$ , $P \in \K[X]$ .

La preuve suit le même schéma que pour $\Z$ , avec la division euclidienne des polynômes et le degré à la place de la valeur absolue : dans un idéal non nul on prend un polynôme non nul de degré minimal.

Définition 4.2PGCD de polynômes

Pour $P_1, \dots, P_n$ non tous nuls, leur PGCD est le polynôme $D$ défini par $P_1\K[X] + \dots + P_n\K[X] = D\K[X].$ Il est unique si on le choisit unitaire, ce qui est la convention.

La relation de Bézout suit : $D$ s'écrit comme combinaison des $P_i$ à coefficients polynomiaux. Les $P_i$ sont premiers entre eux dans leur ensemble si et seulement si une telle combinaison vaut 1.

4.2Irréductibles

Définition 4.3Polynôme irréductible

Un polynôme $P$ de $\K[X]$ est irréductible si $P$ n'est pas constant et si ses seuls diviseurs sont les constantes non nulles et les $\lambda P$ avec $\lambda$ non nul.

Tout polynôme non constant s'écrit comme produit d'une constante, son coefficient dominant, et d'un produit de polynômes irréductibles unitaires. Cette écriture est unique à l'ordre des facteurs près.

Attention

L'irréductibilité dépend du corps. $X^2 + 1$ est irréductible dans $\R[X]$ , réductible dans $\C[X]$ . $X^2 - 2$ est irréductible dans $\Q[X]$ , réductible dans $\R[X]$ .

Propriété 4.4Irréductibles de $\C[X]$ et $\R[X]$

Les irréductibles de $\C[X]$ sont les polynômes de degré 1, conséquence du théorème de d'Alembert-Gauss, dont la démonstration est hors programme.
Les irréductibles de $\R[X]$ sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 de discriminant strictement négatif.

On l'obtient en regroupant, dans la factorisation complexe d'un polynôme réel, les racines complexes conjuguées deux à deux.

Attention

Un polynôme de degré 3 ou plus sans racine dans $\K$ n'est pas forcément irréductible dans $\K[X]$ . Dans $\Q[X]$ , $X^4 + 4$ n'a pas de racine rationnelle et se factorise pourtant en $(X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 2)$ . L'argument « pas de racine donc irréductible » n'est valable qu'en degré 2 ou 3.

5Algèbres

Définition 5.1Algèbre

Une $\K$ -algèbre est un ensemble $A$ muni d'une addition, d'une multiplication et d'une multiplication externe par les scalaires, tel que :

$A$ soit un $\K$ -espace vectoriel ;
$A$ soit un anneau ;
pour tout $\lambda \in \K$ et tous $x, y \in A$ , $\lambda(xy) = (\lambda x)y = x(\lambda y)$ .

Dans ce programme les algèbres sont unitaires.

Exemples à connaître :

$\K[X]$ ;
l'ensemble $\mathcal{L}(E)$ des endomorphismes d'un $\K$ -espace vectoriel $E$ ;
l'ensemble $\mathcal{M}_n(\K)$ ;
l'ensemble $\mathcal{F}(X, \K)$ des fonctions d'un ensemble $X$ dans $\K$ .

Définition 5.2Sous-algèbre, morphisme d'algèbres

Une sous-algèbre de $A$ est une partie qui est à la fois un sous-espace vectoriel et un sous-anneau de $A$ , donc qui contient l'unité et est stable par produit. Un morphisme d'algèbres est une application linéaire qui est aussi un morphisme d'anneaux, donc qui envoie l'unité sur l'unité.

Propriété 5.3Évaluation en un endomorphisme

Hypothèses

$u \in \mathcal{L}(E)$ .

Alors l'application qui à un polynôme $P$ associe $P(u)$ est un morphisme d'algèbres de $\K[X]$ dans $\mathcal{L}(E)$ . Son noyau est un idéal, son image est la sous-algèbre commutative $\K[u]$ .

Tout le chapitre sur la réduction en découle.

Méthodes

MéthodeMontrer qu'une partie est un sous-groupe engendré

Montrer que la partie contient la partie génératrice et que c'est un sous-groupe, donc qu'elle contient l'engendré.
Montrer l'inclusion réciproque par stabilité.

MéthodeMontrer qu'un élément est d'ordre $d$

Vérifier $x^d = e$ .
Éliminer les diviseurs stricts de $d$ , ou utiliser directement l'équivalence $x^n = e \iff d \mid n$ .

MéthodeDémontrer un résultat d'arithmétique dans $\Z$ ou $\K[X]$

Traduire en termes d'idéaux.
Montrer que l'ensemble considéré est un idéal : il est alors de la forme $a\Z$ ou $P\K[X]$ .
En déduire l'existence d'un PGCD et une relation de Bézout.

MéthodeInverser un élément de $\Z/n\Z$

Dérouler l'algorithme d'Euclide entre $k$ et $n$ .
Remonter les divisions pour obtenir $uk + vn = 1$ .

MéthodeCalculer $a^N$ modulo $n$

Vérifier $a \wedge n = 1$ .
Réduire $N$ modulo $\varphi(n)$ .

MéthodeRésoudre un système de congruences

Vérifier que les modules sont premiers entre eux.
Appliquer le théorème chinois et une relation de Bézout.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Déterminer les sous-groupes de $(\Z, +)$ et en déduire les idéaux de $\Z$ .
Montrer que $x^n = e$ équivaut à « l'ordre de $x$ divise $n$ », et l'appliquer.
Démontrer, dans un groupe fini commutatif, que l'ordre d'un élément divise le cardinal du groupe.
Caractériser les inversibles de $\Z/n\Z$ et en déduire que $\Z/n\Z$ est un corps si et seulement si $n$ est premier.
Énoncer et utiliser le théorème chinois pour résoudre un système de congruences.
Calculer $\varphi(n)$ à partir de la décomposition en facteurs premiers, et appliquer le théorème d'Euler à un calcul de reste.
Montrer que les idéaux de $\K[X]$ sont principaux et en déduire Bézout polynomial.
Donner la liste des irréductibles de $\C[X]$ et de $\R[X]$ , et factoriser un polynôme concret dans les deux.

Classiques et HP

Méthodes et approfondissements du chapitre · le statut est précisé pour MP.

HP · HORS PROGRAMME Sous-groupes additifs de ℝ

La classification des sous-groupes additifs de ℝ n’est pas énoncée comme un résultat dans les programmes MPSI ou MP consultés. La fiche la démontre à partir de la définition d’un sous-groupe, de la propriété de la borne inférieure et de la caractérisation de la densité dans ℝ. La conclusion « discret ou dense » est formulée précisément : tout sous-groupe est soit {0}, soit de la forme aℤ avec a > 0, soit dense.

Classique d’approfondissement

Prérequis

Définition d’un sous-groupe additif de ℝ
Propriété de la borne inférieure dans ℝ
Partie entière et division euclidienne à reste réel
Caractérisation de la densité dans ℝ par les intervalles ouverts

Classification

ThéorèmeClassification des sous-groupes additifs de ℝ

Soit $H$ un sous-groupe additif de $\R$ . Alors l’une et une seule des situations suivantes se produit : $H=\{0\}$ ; il existe $a>0$ tel que $H=a\Z$ ; ou bien $H$ est dense dans $\R$ .

Démonstration

Posons $H_+=H\cap]0,+\infty[$ . Si $H_+$ est vide, aucun élément de $H$ n’est strictement positif. Si $H$ contenait un élément strictement négatif, son opposé serait dans $H_+$ ; donc $H=\{0\}$ .

Supposons $H_+$ non vide et posons $a=\inf H_+$ . Si $a>0$ , montrons que $a$ appartient à $H$ . Choisissons $h\in H_+$ tel que $a\le h<2a$ . Si $h>a$ , la définition de la borne inférieure fournit $k\in H_+$ tel que $a\le k<h$ . Alors $h-k\in H_+$ et $0<h-k\le h-a<a$ , ce qui contredit la définition de $a$ . Donc $h=a$ et $a\in H$ .

Soit $x\in H$ . La division euclidienne réelle donne $q=\lfloor x/a\rfloor\in\Z$ et $r=x-qa$ avec $0\le r<a$ . Comme $x,a\in H$ , on a $r\in H$ . Si $r>0$ , alors $r\in H_+$ , ce qui contredit $a=\inf H_+$ . Donc $r=0$ et $x\in a\Z$ . Réciproquement, $a\Z\subset H$ puisque $a\in H$ et que $H$ est un sous-groupe. Ainsi $H=a\Z$ .

Il reste le cas $a=0$ . Soit $\varepsilon>0$ . Par définition de l’infimum, il existe $h\in H_+$ tel que $0<h<\varepsilon$ . Pour tout $x\in\R$ , prenons $q=\lfloor x/h\rfloor$ . Alors $qh\in H$ et $0\le x-qh<h<\varepsilon$ . Pour rencontrer un intervalle ouvert $]u,v[$ , appliquer cette approximation à son milieu avec $\varepsilon=(v-u)/2$ . Ainsi $H$ est dense dans $\R$ .

Ces cas sont disjoints : si $H=a\Z$ avec $a>0$ , l’intervalle ouvert $]a/3,2a/3[$ ne rencontre pas $H$ , donc $H$ n’est pas dense.

Exemple

ExempleUn sous-groupe dense

Le sous-groupe $\Z+\sqrt2\,\Z$ est dense dans $\R$ .

Démonstration

En effet, il contient $1$ et $\sqrt2$ . S’il était de la forme $a\Z$ avec $a>0$ , il existerait $m,n\in\N^*$ tels que $1=ma$ et $\sqrt2=na$ , d’où $\sqrt2=n/m\in\Q$ , contradiction. Il n’est pas réduit à $\{0\}$ ; la classification impose donc sa densité.

Aller à l’exercice associé

Sources

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Une intersection de sous-groupes est un sous-groupe. Le sous-groupe engendré par une partie A est le plus petit sous-groupe contenant A, formé des produits finis d'éléments de A et de leurs inverses. Exigible avec démonstration.
Les sous-groupes de (Z, +) sont les nZ, n ∈ N, avec unicité de n. Exigible avec démonstration.
Les générateurs de (Z/nZ, +) sont les classes des entiers premiers avec n. Exigible.
Tout groupe monogène infini est isomorphe à (Z, +), tout groupe monogène fini de cardinal n est isomorphe à (Z/nZ, +). Exigible avec démonstration.
Ordre d'un élément x d'ordre fini d : pour n ∈ Z, xⁿ = e si et seulement si d divise n. Exigible avec démonstration.
Dans un groupe fini, l'ordre de tout élément divise le cardinal du groupe. Démonstration exigible seulement dans le cas commutatif, résultat admis en général.
Le noyau d'un morphisme d'anneaux commutatifs est un idéal. L'idéal engendré par x est xA. Dans un anneau intègre, a divise b si et seulement si bA ⊂ aA. Exigibles.
Les idéaux de Z sont les nZ, PGCD défini par a₁Z + … + a_kZ = dZ, relation de Bézout. Exigibles avec démonstration.
La classe de k est inversible dans Z/nZ si et seulement si k ∧ n = 1. Z/nZ est un corps si et seulement si n est premier. Exigibles avec démonstration.
Théorème chinois : si m ∧ n = 1, Z/mnZ est isomorphe comme anneau à Z/mZ × Z/nZ. Exigible avec démonstration, extension à plusieurs facteurs.
φ(mn) = φ(m)φ(n) si m ∧ n = 1, φ(p^k) = p^k − p^k−1, formule produit. Exigibles avec démonstration.
Théorème d'Euler : a^φ(n) ≡ 1 [n] si a ∧ n = 1. Petit théorème de Fermat. Exigibles avec démonstration.
Les idéaux de K[X] sont les PK[X], PGCD unitaire par les idéaux, Bézout polynomial. Exigibles avec démonstration.
Existence et unicité de la décomposition en irréductibles unitaires. Exigible. Irréductibles de C[X] et de R[X]. Exigibles, d'Alembert-Gauss admis.
P ↦ P(u) est un morphisme d'algèbres de K[X] dans L(E). Exigible.
Hors programme : théorème de Lagrange non commutatif avec démonstration, sous-groupes distingués et groupes quotients, théorème de Cauchy, structure des groupes abéliens finis, corps finis autres que F_p.

Clés de démonstration

Sous-groupes de Z. Si H ≠ {0}, H contient un entier strictement positif, on prend le plus petit, n. Pour h ∈ H, la division euclidienne h = qn + r donne r = h − qn ∈ H avec 0 ≤ r < n, donc r = 0. Astuce : plus petit élément puis division euclidienne, c'est le schéma que l'on reproduit pour les idéaux de Z et de K[X] avec le degré à la place de la valeur absolue.

Ordre et divisibilité. L'application n ↦ xⁿ est un morphisme de (Z, +) dans G. Son noyau est un sous-groupe de Z, donc de la forme dZ, et son image est ⟨x⟩. Alors xⁿ = e équivaut à n ∈ dZ. Astuce : ne jamais raisonner à la main sur les puissances, passer par le noyau d'un morphisme.

Groupe monogène fini isomorphe à Z/nZ. Le morphisme k ↦ x^k est surjectif sur G = ⟨x⟩, de noyau nZ où n est l'ordre de x. L'application de Z/nZ dans G qui à la classe de k associe x^k est bien définie, car k ≡ k' [n] donne x^k = x^k', c'est un morphisme injectif et surjectif. Astuce : la bonne définition vient exactement de la caractérisation du noyau.

Ordre divise cardinal, cas commutatif. Soit G commutatif de cardinal n et x ∈ G. La translation g ↦ xg est une bijection de G. Le produit de tous les éléments de G est donc égal au produit des xg, qui vaut xⁿ fois le produit des g par commutativité. En simplifiant, xⁿ = e, donc l'ordre de x divise n. Astuce : le produit de tous les éléments est un invariant, et la commutativité sert à regrouper les x.

Inversibles de Z/nZ. Si k ∧ n = 1, Bézout donne uk + vn = 1, donc la classe de u inverse celle de k. Si uk ≡ 1 [n], alors uk − 1 est multiple de n et tout diviseur commun de k et n divise 1. Astuce : Bézout dans un sens, divisibilité brute dans l'autre.

Théorème chinois. L'application qui à la classe de x modulo mn associe ses classes modulo m et n est un morphisme d'anneaux bien défini. Son noyau est nul, car un entier divisible par m et n premiers entre eux est divisible par mn, par le lemme de Gauss. Les deux anneaux ont mn éléments, donc l'injection est une bijection. Astuce : injectivité par le noyau, surjectivité par les cardinaux.

Théorème d'Euler. Le groupe des inversibles de Z/nZ est commutatif de cardinal φ(n). Pour a ∧ n = 1, la classe de a y appartient, et son ordre divise φ(n), donc a^φ(n) ≡ 1. Astuce : c'est le théorème d'ordre appliqué au bon groupe.

Unicité de la décomposition en irréductibles. Si un irréductible P divise AB et ne divise pas A, alors P ∧ A = 1 car les seuls diviseurs unitaires de P sont 1 et P normalisé, et le lemme de Gauss donne P divise B. Deux décompositions se comparent alors facteur par facteur. Astuce : l'irréductibilité donne « premier avec » et Gauss fait le reste.

Exemples et contre-exemples à connaître

2Z ∪ 3Z n'est pas un sous-groupe de Z, puisque 2 + 3 = 5 n'y est pas. Une réunion de deux sous-groupes n'est un sous-groupe que si l'un contient l'autre.
Z/2Z × Z/2Z a quatre éléments, tous d'ordre 1 ou 2. Il n'est pas cyclique, et il montre que la réciproque du théorème d'ordre est fausse : le cardinal 4 n'est l'ordre d'aucun élément.
U_n est cyclique, engendré par e^2iπ/n, et ses générateurs sont les e^2ikπ/n avec k ∧ n = 1, appelés racines primitives. Il y en a φ(n).
2Z est un idéal de Z mais pas un sous-anneau, il ne contient pas 1. Z est un sous-anneau de Q mais pas un idéal, puisque (1/2) × 1 ∉ Z.
Z/4Z et Z/2Z × Z/2Z ont même cardinal et ne sont pas isomorphes. L'hypothèse m ∧ n = 1 du théorème chinois n'est pas décorative.
Dans Z/6Z, 2 × 3 = 0. Un anneau Z/nZ avec n composé possède des diviseurs de zéro, il n'est même pas intègre.
X⁴ + 4 n'a pas de racine rationnelle et vaut (X² − 2X + 2)(X² + 2X + 2) dans Q[X]. L'absence de racine ne prouve l'irréductibilité qu'en degré 2 ou 3.
φ(4) = 2 alors que φ(2)φ(2) = 1. La multiplicativité de φ exige des facteurs premiers entre eux.
Dans S₅, le produit de la transposition (1 2) et du cycle (3 4 5), qui commutent, est d'ordre 6, le PPCM. Dans S₃, aucun élément n'est d'ordre 6, donc S₃ n'est pas cyclique.
(Q, +) n'est pas monogène : si Q était engendré par a/b, alors a/(2b) serait un multiple entier de a/b, ce qui est faux pour a ≠ 0.

Techniques du chapitre

Technique 1 : identifier un sous-groupe engendré. Mini-exercice : dans (Z, +), le sous-groupe engendré par 4 et 6 est 4Z + 6Z, un sous-groupe de Z, donc de la forme dZ. Il contient 2 = 6 − 4 et est contenu dans 2Z, donc c'est 2Z. En général ⟨a, b⟩ = (a ∧ b)Z.

Technique 2 : calculer un ordre. Mini-exercice : ordre de la classe de 2 dans le groupe des inversibles de Z/7Z. On calcule 2¹ = 2, 2² = 4, 2³ = 8 ≡ 1. L'ordre est 3, et il divise bien φ(7) = 6.

Technique 3 : inverser par l'algorithme d'Euclide. Mini-exercice : inverse de 7 dans Z/30Z. On écrit 30 = 4 × 7 + 2 et 7 = 3 × 2 + 1, puis on remonte : 1 = 7 − 3 × 2 = 7 − 3(30 − 4 × 7) = 13 × 7 − 3 × 30. L'inverse de 7 est 13. Contrôle : 91 = 3 × 30 + 1.

Technique 4 : réduire un exposant par Euler. Mini-exercice : reste de 7¹⁰⁰ modulo 12. On a 7 ∧ 12 = 1 et φ(12) = 4. Comme 100 = 4 × 25, 7¹⁰⁰ ≡ 1 [12]. On remarque que 7² = 49 ≡ 1 déjà, l'ordre de 7 est 2 et non 4.

Technique 5 : résoudre un système de congruences. Mini-exercice : x ≡ 1 [4] et x ≡ 2 [7]. Bézout : 2 × 4 − 1 × 7 = 1. On pose x = 1 × (−7) + 2 × 8 = 9. Contrôle : 9 = 2 × 4 + 1 et 9 = 7 + 2. Les solutions sont les x ≡ 9 [28].

Technique 6 : reconnaître un idéal pour obtenir un générateur. Mini-exercice : I = {P ∈ K[X] : P(1) = P(2) = 0}. C'est le noyau du morphisme d'anneaux P ↦ (P(1), P(2)) de K[X] dans K², donc un idéal, donc de la forme DK[X]. Comme D divise (X − 1)(X − 2) et admet 1 et 2 pour racines, D = (X − 1)(X − 2).

Technique 7 : factoriser en irréductibles sur R via C. Mini-exercice : X⁴ + 1. Ses racines complexes sont les e^{i(π/4 + kπ/2)}. On regroupe les conjuguées : (X² − √2 X + 1)(X² + √2 X + 1), et on vérifie en développant (X² + 1)² − 2X².

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Tout élément est son propre inverse

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit G un groupe dans lequel x² = e pour tout x. Montrer que G est commutatif.

Technique écrire l'inverse d'un produit.

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Pour tout x, x = x⁻¹.
Pour x, y dans G, xy = (xy)⁻¹ = y⁻¹ x⁻¹ = yx.

piège : Écrire (xy)⁻¹ = x⁻¹ y⁻¹. L'inverse d'un produit renverse l'ordre.

Exercice 2. Élément d'ordre 2 dans un groupe de cardinal pair

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit G un groupe fini de cardinal pair. Montrer que G possède un élément d'ordre 2.

Technique apparier chaque élément avec son inverse.

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On sépare G en deux parties : A, formée des x tels que x = x⁻¹, et B, son complémentaire.
Dans B, l'application x ↦ x⁻¹ est une involution sans point fixe, elle regroupe les éléments de B par paires {x, x⁻¹}. Donc le cardinal de B est pair.
Le cardinal de A est donc pair aussi, et A contient e. Donc A contient un élément x ≠ e, qui vérifie x² = e, donc est d'ordre 2.

piège : Invoquer le théorème de Lagrange, qui donne que l'ordre divise le cardinal mais ne fournit aucun élément d'ordre donné.

Exercice 3. Ordre d'un produit d'éléments qui commutent

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soient x et y deux éléments d'un groupe, qui commutent, d'ordres respectifs m et n premiers entre eux. Montrer que xy est d'ordre mn.

Technique caractérisation de l'ordre par divisibilité, lemme de Gauss.

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(xy)^mn = x^mn y^mn = e, grâce à la commutativité. Donc l'ordre d de xy divise mn.
Soit k tel que (xy)^k = e, c'est-à-dire x^k = y^−k. En élevant à la puissance m : e = x^km = y^−km, donc n divise km, donc n divise k par Gauss puisque m ∧ n = 1.
Symétriquement m divise k. Comme m et n sont premiers entre eux, mn divise k. Appliqué à k = d, cela donne d = mn.

piège : Croire que l'ordre de xy est toujours le PPCM. Sans commutativité c'est faux, deux éléments d'ordre 2 de S₃ ont un produit d'ordre 3.

Exercice 4. Sous-groupes finis de C

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer que les sous-groupes finis de (C*, ×) sont exactement les U_n.

Technique théorème d'ordre dans un groupe commutatif, puis comparaison de cardinaux.

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Chaque U_n est un sous-groupe fini de C*.
Soit G un sous-groupe fini de C*, de cardinal n. Comme C* est commutatif, tout z ∈ G vérifie zⁿ = 1, donc G ⊂ U_n.
G et U_n ont tous deux n éléments, donc G = U_n.

piège : Oublier l'inclusion par cardinaux et essayer de montrer directement que G contient e^2iπ/n.

Exercice 5. Carrés et inverses dans F_p, théorème de Wilson

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Soit p un nombre premier impair. Montrer que dans F_p, x² = 1 équivaut à x = ±1. En déduire que (p − 1)! ≡ −1 [p].

Technique intégrité d'un corps, appariement de chaque élément avec son inverse.

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x² − 1 = (x − 1)(x + 1), et F_p est intègre, donc x = 1 ou x = −1. Ces deux valeurs sont distinctes car p ≠ 2.
Dans le groupe des inversibles F_p*, chaque élément x a un inverse x⁻¹, et x = x⁻¹ équivaut à x² = 1, donc à x ∈ {1, −1}.
Les p − 3 autres éléments se regroupent par paires {x, x⁻¹} de produit 1. Le produit de tous les éléments de F_p* vaut donc 1 × (−1) × 1 = −1.
Ce produit est la classe de (p − 1)!, d'où (p − 1)! ≡ −1 [p].

piège : Utiliser l'intégrité dans Z/nZ pour n composé. Dans Z/8Z, l'équation x² = 1 a quatre solutions : 1, 3, 5, 7.

Exercice 6. Système de trois congruences

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Résoudre dans Z le système x ≡ 1 [3], x ≡ 4 [5], x ≡ 6 [7].

Technique théorème chinois, résolution de proche en proche.

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Les modules 3, 5, 7 sont deux à deux premiers entre eux, donc il existe une unique solution modulo 105.
Les deux premières congruences : x = 4 + 5k et 4 + 5k ≡ 1 [3] donne 2k ≡ 0 [3], donc k ≡ 0 [3], donc x ≡ 4 [15].
Avec la troisième : x = 4 + 15m et 4 + 15m ≡ 6 [7] donne m ≡ 2 [7], donc x = 34.
Contrôle : 34 = 11 × 3 + 1, 34 = 6 × 5 + 4, 34 = 4 × 7 + 6. Les solutions sont les x ≡ 34 [105].

piège : Réduire 15m modulo 7 en oubliant que 15 ≡ 1 [7], ou conclure « x = 34 » sans le modulo.

Exercice 7. Indicatrice d'Euler et restes de puissances

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Calculer φ(360). Déterminer les deux derniers chiffres de 7²⁰²⁶.

Technique formule produit de φ, théorème d'Euler, puis recherche de l'ordre exact.

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360 = 2³ × 3² × 5, donc φ(360) = 360 × (1/2)(2/3)(4/5) = 96.
On cherche 7²⁰²⁶ modulo 100. On a 7 ∧ 100 = 1 et φ(100) = 100 × (1/2)(4/5) = 40. Comme 2026 = 40 × 50 + 26, Euler donne 7²⁰²⁶ ≡ 7²⁶ [100].
Mieux : 7² = 49 et 7⁴ = 2401 ≡ 1 [100], donc l'ordre de 7 est 4. Comme 26 = 4 × 6 + 2, 7²⁶ ≡ 7² = 49.
Les deux derniers chiffres sont 49.

piège : Croire que l'ordre de a modulo n vaut φ(n). Il le divise seulement, et ici il vaut 4.

Exercice 8. Un idéal de R[X] et son générateur

Classiques de khôlle et concours · Écrit CCINP

Soit I l'ensemble des polynômes P de R[X] tels que P(i) = 0. Montrer que I est un idéal de R[X] et déterminer son générateur unitaire.

Technique noyau d'un morphisme d'anneaux, puis irréductibilité.

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L'application P ↦ P(i) est un morphisme d'anneaux de R[X] dans C. Son noyau I est un idéal de R[X].
Les idéaux de R[X] sont principaux : I = DR[X] avec D unitaire. Comme X² + 1 ∈ I, D divise X² + 1.
X² + 1 est irréductible dans R[X], ses diviseurs unitaires sont 1 et lui-même. D ≠ 1 car 1 ∉ I. Donc D = X² + 1.
Conclusion : un polynôme réel s'annule en i si et seulement s'il est multiple de X² + 1.

piège : Travailler dans C[X], où I serait engendré par X − i. Le corps de base fait partie de l'énoncé.

Exercice 9. Morphismes de Z/nZ dans Z/mZ

Approfondissement · Type oral Mines

Soient m et n deux entiers strictement positifs. Déterminer le nombre de morphismes de groupes de (Z/nZ, +) dans (Z/mZ, +).

Technique un morphisme est déterminé par l'image du générateur, sous une contrainte d'ordre.

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Soit f un morphisme et a un entier tel que f(1̄) = ā. Alors f(k̄) = k ā pour tout k, donc f est déterminé par ā. De plus n 1̄ = 0̄ impose n ā = 0̄ dans Z/mZ, soit m divise na.
Réciproquement, si m divise na, l'application k̄ ↦ k ā est bien définie, car k ≡ k' [n] donne (k − k') a multiple de na donc de m, et c'est un morphisme.
On pose d = m ∧ n, m = dm', n = dn' avec m' ∧ n' = 1. La condition m divise na équivaut à m' divise n'a, donc à m' divise a par Gauss.
Les classes ā modulo m qui sont multiples de m' sont au nombre de m/m' = d. Il y a donc exactement m ∧ n morphismes.

piège : Oublier la vérification de bonne définition à l'étape 2. Sans la condition m divise na, la formule k̄ ↦ k ā dépend du représentant k.

Exercice HP. Un sous-groupe dense engendré par deux réels

Approfondissement hors programme

Approfondissement facultatif · hors programme en MP

Soit $H=\Z+\sqrt2\,\Z=\{m+n\sqrt2:(m,n)\in\Z^2\}$ .

Vérifier que $H$ est un sous-groupe additif de $\R$ .
Montrer que $H$ n’est ni réduit à $\{0\}$ ni de la forme $a\Z$ avec $a>0$ .
En déduire que $H$ est dense dans $\R$ .

Voir le corrigé

L’ensemble $H$ contient $0$ . Si $x=m+n\sqrt2$ et $y=m'+n'\sqrt2$ appartiennent à $H$ , alors $x-y=(m-m')+(n-n')\sqrt2\in H$ , puisque les coefficients restent entiers. Le critère de sous-groupe montre que $H$ est un sous-groupe additif de $\R$ .
On a $1\in H$ , donc $H\ne\{0\}$ . Supposons $H=a\Z$ avec $a>0$ . Comme $1,\sqrt2\in H$ , il existe $m,n\in\Z$ tels que $1=ma$ et $\sqrt2=na$ . Ces égalités et la positivité de $1$ et de $\sqrt2$ imposent $m,n>0$ . Alors $\sqrt2=n/m\in\Q$ , contradiction à l’irrationalité de $\sqrt2$ .
D’après la classification démontrée dans la fiche, tout sous-groupe additif de $\R$ est réduit à $\{0\}$ , de la forme $a\Z$ pour un $a>0$ , ou dense. Les deux premiers cas ayant été exclus, $H$ est dense dans $\R$ .

Erreurs fréquentes

Conclure « x est d'ordre n » de xⁿ = e. On sait seulement que l'ordre divise n, il faut éliminer les diviseurs stricts.
Utiliser la réciproque de Lagrange, qui est fausse : un diviseur du cardinal n'est pas forcément l'ordre d'un élément.
Appliquer Euler ou Fermat sans vérifier a ∧ n = 1. Pour a multiple de p, a^p−1 ≡ 0 et non 1.
Confondre idéal et sous-anneau, ou vérifier la stabilité par produit interne au lieu de l'absorption par tout l'anneau.
Déduire l'irréductibilité de l'absence de racine en degré 4 ou plus, ou oublier de préciser le corps sur lequel on factorise.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de mathématiques de MP (section « Structures algébriques usuelles »). Elle couvre les compléments sur les groupes, les anneaux, les idéaux de $\Z$ et de $\K[X]$ , les anneaux $\Z/n\Z$ et la notion d'algèbre. Le groupe symétrique et les bases de l'arithmétique sont supposés connus de première année.

Groupes, anneaux et corps

Résumé en cinq points

1Compléments sur les groupes

1.1Sous-groupe engendré par une partie

1.2Sous-groupes de (Z,+)(\Z, +)(Z,+)

1.3Groupes monogènes et cycliques

1.4Ordre d'un élément

2Compléments sur les anneaux

2.1Idéaux

2.2Idéaux de Z\ZZ

3Les anneaux KXF142FXK

3.1Inversibles

3.2Théorème chinois

3.3Indicatrice d'Euler

3.4Théorème d'Euler

4Les anneaux KXF227FXK

4.1Idéaux

4.2Irréductibles

5Algèbres

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Classiques et HP

Classification

Exemple

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Tout élément est son propre inverse

Exercice 2. Élément d'ordre 2 dans un groupe de cardinal pair

Exercice 3. Ordre d'un produit d'éléments qui commutent

Exercice 4. Sous-groupes finis de C

Exercice 5. Carrés et inverses dans Fp, théorème de Wilson

Exercice 6. Système de trois congruences

Exercice 7. Indicatrice d'Euler et restes de puissances

Exercice 8. Un idéal de R[X] et son générateur

Exercice 9. Morphismes de Z/nZ dans Z/mZ

Exercice HP. Un sous-groupe dense engendré par deux réels

Erreurs fréquentes

1.2Sous-groupes de $(\Z, +)$

2.2Idéaux de $\Z$

Exercice 5. Carrés et inverses dans F_p, théorème de Wilson