Le cours

Résumé en cinq points

Une dérivée partielle se calcule en dérivant par rapport à une variable, les autres étant traitées comme des constantes. Le gradient rassemble les $n$ dérivées partielles d'ordre 1.
Une fonction est de classe $C^1$ quand ses dérivées partielles d'ordre 1 existent et sont continues. Les fonctions polynomiales sont de classe $C^2$ , et les opérations conservent la classe.
Pour $f$ de classe $C^1$ , on a $f(x + h) = f(x) + \langle \nabla f(x), h\rangle + \norm{h}\,\varepsilon(h)$ , avec $\varepsilon(0) = 0$ et $\varepsilon$ continue en $0$ . Ce développement est unique.
La dérivée de $t \mapsto f(x + th)$ en $0$ vaut $\langle \nabla f(x), h\rangle$ . Le gradient pointe donc dans la direction de plus forte croissance, et sa norme donne la pente maximale.
Si une fonction de classe $C^1$ sur $\R^n$ admet un extremum local en $x_0$ , alors $\nabla f(x_0) = 0$ . La réciproque est fausse, comme le montre le point selle de $x^2 - y^2$ en l'origine.

Pourquoi ce chapitre

Ce chapitre transpose aux fonctions de plusieurs variables les outils de dérivation de première année. La nouveauté tient en un objet : le gradient. Il remplace le nombre dérivé et il porte à lui seul toute l'information d'ordre 1.

Il donne l'approximation affine de la fonction près d'un point.
Il indique la direction de plus forte croissance.
Son annulation caractérise les candidats à un extremum.

C'est le socle de l'optimisation économique, qui sera menée jusqu'au bout au quatrième semestre. Aux concours, la recherche des points critiques d'une fonction de deux variables est un passage quasi obligé. Il faut savoir la mener vite et sans erreur de calcul.

1Fonctions partielles et dérivées partielles d'ordre 1

1.1Fonctions partielles

Définition 1.1Fonction partielle

Soit $f$ définie sur $\R^n$ et $x = (x_1, \dots, x_n)$ un point de $\R^n$ . Pour chaque indice $i$ entre $1$ et $n$ , la $i$ -ième fonction partielle de $f$ au point $x$ est la fonction d'une seule variable réelle $t \mapsto f(x_1, \dots, x_{i-1}, t, x_{i+1}, \dots, x_n).$

On fige toutes les coordonnées sauf la $i$ -ième. On retombe sur une fonction d'une variable, à laquelle s'appliquent tous les outils de première année.

1.2Dérivées partielles d'ordre 1

Définition 1.2Dérivée partielle d'ordre 1

La dérivée partielle d'ordre 1 de $f$ par rapport à la $i$ -ième variable au point $x$ , notée $\partial_i f(x)$ , est le nombre dérivé en $x_i$ de la $i$ -ième fonction partielle de $f$ au point $x$ , lorsque celui-ci existe. On rencontre aussi la notation $\dfrac{\partial f}{\partial x_i}$ .

En pratique, on dérive l'expression de $f$ par rapport à la variable choisie, en traitant toutes les autres variables comme des constantes. Toutes les règles de dérivation d'une variable s'appliquent.

Exemple 1.3Dérivées partielles usuelles

Pour $f(x, y) = x^2y + 3xy^3 - y$ : $\begin{aligned} \partial_1 f(x, y) &= 2xy + 3y^3,\\ \partial_2 f(x, y) &= x^2 + 9xy^2 - 1. \end{aligned}$
Pour $f(x, y) = \e^{x^2 + y}$ : $\begin{aligned} \partial_1 f(x, y) &= 2x\,\e^{x^2 + y},\\ \partial_2 f(x, y) &= \e^{x^2 + y}. \end{aligned}$
Pour $f(x) = \norm{x}^2 = x_1^2 + \dots + x_n^2$ : $\partial_i f(x) = 2x_i$ .
Pour une fonction affine $f(x) = \langle a, x\rangle + b$ : $\partial_i f(x) = a_i$ , constante.

1.3Gradient

Définition 1.4Gradient

Le gradient de $f$ au point $x$ , noté $\nabla f(x)$ , est l'élément de $\R^n$ formé des $n$ dérivées partielles d'ordre 1 : $\nabla f(x) = (\partial_1 f(x), \dots, \partial_n f(x)).$

On l'identifie souvent à la colonne correspondante de $\mathcal{M}_{n,1}(\R)$ , notée alors $\nabla f(x)$ aussi. Le contexte lève l'ambiguïté.

Exemple 1.5Gradient en un point

Pour $f(x, y) = x^2y + 3xy^3 - y$ , le gradient au point $(1, 1)$ vaut $(2 + 3,\ 1 + 9 - 1) = (5, 9)$ .

1.4Dérivées partielles d'ordre 2

Définition 1.6Dérivée partielle d'ordre 2

Lorsque la fonction $\partial_j f$ est elle-même dérivable par rapport à la $i$ -ième variable, on note $\partial^2_{i,j} f$ la dérivée partielle par rapport à la $i$ -ième variable de $\partial_j f$ . Quand $i = j$ , on note aussi $\partial^2_{i,i} f$ .

On dérive d'abord par rapport à $x_j$ , puis par rapport à $x_i$ .

Attention

La convention d'ordre des indices varie selon les ouvrages. Pour une fonction de classe $C^2$ , le théorème de Schwarz, admis au quatrième semestre, garantit que les deux dérivées croisées coïncident : la convention choisie est alors sans conséquence.

Exemple 1.7Dérivées d'ordre 2

Pour $f(x, y) = x^2y + 3xy^3 - y$ , on a $\partial_1 f = 2xy + 3y^3$ et $\partial_2 f = x^2 + 9xy^2 - 1$ . On en déduit $\partial^2_{1,1} f = 2y, \qquad \partial^2_{2,2} f = 18xy,$ et les deux dérivées croisées valent $2x + 9y^2$ . Ce n'est pas un hasard : c'est le théorème de Schwarz, énoncé et admis au quatrième semestre avec la matrice hessienne.

2Fonctions de classe KXF58FXK et KXF59FXK

2.1Définitions

Définition 2.1Classe $C^1$ et $C^2$

Une fonction $f$ définie sur $\R^n$ est de classe $C^1$ sur $\R^n$ lorsqu'elle admet des dérivées partielles d'ordre 1 en tout point de $\R^n$ et que ces $n$ fonctions $\partial_i f$ sont continues sur $\R^n$ .

Elle est de classe $C^2$ sur $\R^n$ lorsqu'elle est de classe $C^1$ et que toutes ses dérivées partielles d'ordre 2 existent et sont continues sur $\R^n$ .

On a les implications : de classe $C^2$ entraîne de classe $C^1$ , qui entraîne continue.

2.2Résultats admis

Le programme admet les faits suivants. La détermination de la classe d'une fonction n'est pas un objectif.

Propriété 2.2Opérations sur les classes $C^1$ et $C^2$ (résultats admis)

Toute fonction polynomiale de $n$ variables est de classe $C^2$ sur $\R^n$ , donc aussi de classe $C^1$ .
La somme et le produit de deux fonctions de classe $C^1$ , respectivement $C^2$ , sont de classe $C^1$ , respectivement $C^2$ .
Le quotient de deux telles fonctions l'est aussi, à condition que le dénominateur ne s'annule pas sur $\R^n$ .
Si $f$ est de classe $C^1$ , respectivement $C^2$ , sur $\R^n$ à valeurs dans un intervalle $I$ , et si $g$ est de classe $C^1$ , respectivement $C^2$ , sur $I$ à valeurs réelles, alors $g \circ f$ est de classe $C^1$ , respectivement $C^2$ .

En pratique, on justifie la classe d'une fonction par assemblage, jamais par un calcul de limite.

Exemple 2.3Justification rédigée

La fonction $f(x, y) = \e^{x^2 + y^3}$ est de classe $C^2$ sur $\R^2$ : la fonction $(x, y) \mapsto x^2 + y^3$ est polynomiale donc de classe $C^2$ , l'exponentielle est de classe $C^2$ sur $\R$ , donc la composée est de classe $C^2$ .

3Développement limité d'ordre 1

3.1Théorème

Théorème 3.1Développement limité d'ordre 1

Hypothèses

$f$ est de classe $C^1$ sur $\R^n$ ;
$x$ est un point de $\R^n$ .

Alors il existe une fonction $\varepsilon$ définie au voisinage de $0$ dans $\R^n$ , vérifiant $\varepsilon(0) = 0$ et $\varepsilon$ continue en $0$ , telle que pour tout $h$ de $\R^n$ $f(x + h) = f(x) + \langle \nabla f(x), h\rangle + \norm{h}\,\varepsilon(h).$ De plus une telle écriture est unique, au sens où le vecteur qui apparaît dans le produit scalaire est nécessairement $\nabla f(x)$ .

Résultat admis.

3.2Comprendre l'unicité

Démonstration

Supposons qu'un vecteur $a$ vérifie $f(x + h) = f(x) + \langle a, h\rangle + \norm{h}\,\varepsilon(h)$ avec les mêmes hypothèses sur $\varepsilon$ . Prenons $h = t e_i$ , avec $t$ réel non nul. Alors $\frac{f(x + t e_i) - f(x)}{t} = a_i \pm \varepsilon(t e_i),$ le signe dépendant de celui de $t$ puisque $\norm{t e_i} = \abs{t}$ . En faisant tendre $t$ vers $0$ , le membre de gauche tend vers $\partial_i f(x)$ et le terme d'erreur tend vers $0$ . Donc $a_i = \partial_i f(x)$ pour tout $i$ , c'est-à-dire $a = \nabla f(x)$ .

3.3Interprétation

Le développement limité d'ordre 1 dit que près du point $x$ , la fonction $f$ se comporte comme la fonction affine $h \mapsto f(x) + \langle \nabla f(x), h\rangle$ . C'est l'analogue exact de $f(a + h) \approx f(a) + f'(a)h$ en une variable.

Propriété 3.2Plan tangent ( $n = 2$ )

Pour $n = 2$ et un point $(x_0, y_0)$ , le graphe de cette approximation affine est le plan d'équation $z = f(x_0, y_0) + \partial_1 f(x_0, y_0)(x - x_0) + \partial_2 f(x_0, y_0)(y - y_0).$ C'est le plan tangent au graphe de $f$ au point considéré.

Exemple 3.3Approximation numérique

Soit $f(x, y) = x^2y + y^3$ , polynomiale donc de classe $C^2$ sur $\R^2$ . On a $\nabla f(x, y) = (2xy,\ x^2 + 3y^2)$ , donc $f(2, 1) = 5$ et $\nabla f(2, 1) = (4, 7)$ .

Pour le déplacement $h$ de coordonnées $0{,}01$ et $-0{,}02$ , l'approximation d'ordre 1 donne une variation d'environ $4 \times 0{,}01 + 7 \times (-0{,}02)$ , soit $-0{,}10$ . On estime donc la valeur de $f$ au point de coordonnées $2{,}01$ et $0{,}98$ à $4{,}90$ . La valeur exacte vaut environ $4{,}9005$ , l'approximation est bonne.

4Dérivée le long d'une direction

4.1Théorème

Théorème 4.1Dérivée le long d'une direction

Hypothèses

$f$ est de classe $C^1$ sur $\R^n$ ;
$x$ est un point de $\R^n$ et $h$ un vecteur de $\R^n$ .

Alors la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(t) = f(x + th)$ est dérivable, et pour tout réel $t$ $g'(t) = \langle \nabla f(x + th), h\rangle.$ En particulier $g'(0) = \langle \nabla f(x), h\rangle$ .

Démonstration

Cette formule se lit sur le développement limité d'ordre 1. On écrit $\begin{aligned} g(t) - g(0) &= f(x + th) - f(x)\\ &= t\langle \nabla f(x), h\rangle + \abs{t}\,\norm{h}\,\varepsilon(th). \end{aligned}$ En divisant par $t$ et en faisant tendre $t$ vers $0$ , on obtient $g'(0)$ .

4.2Interprétation géométrique du gradient

Restreignons-nous aux vecteurs $h$ unitaires, c'est-à-dire de norme $1$ . Le nombre $\langle \nabla f(x), h\rangle$ mesure la vitesse de variation de $f$ au point $x$ , dans la direction $h$ . L'inégalité de Cauchy-Schwarz donne $\abs{\langle \nabla f(x), h\rangle} \leqslant \norm{\nabla f(x)},$ avec égalité exactement lorsque $h$ est colinéaire à $\nabla f(x)$ . Deux conséquences.

Si $\nabla f(x)$ est non nul, la direction de plus forte croissance de $f$ au point $x$ est celle du gradient, et la plus forte décroissance celle de son opposé. La norme du gradient donne la valeur de cette pente maximale.
Dans une direction $h$ orthogonale au gradient, la variation d'ordre 1 est nulle. On retrouve l'idée que le gradient est orthogonal à la ligne de niveau passant par $x$ .

Exemple 4.2Cercles de niveau

Pour $f(x, y) = x^2 + y^2$ , le gradient en $(x, y)$ vaut $(2x, 2y)$ , qui est bien radial, donc perpendiculaire au cercle de niveau.

Cette interprétation fonde les algorithmes de descente de gradient, utilisés pour minimiser numériquement une fonction.

À retenir

Le gradient pointe dans la direction de plus forte croissance, et sa norme donne la pente maximale.

5Extrema et condition nécessaire d'ordre 1

5.1Définitions

Définition 5.1Extremum global et local

Soit $f$ définie sur $\R^n$ et $x_0$ un point de $\R^n$ .

$f$ admet un maximum global en $x_0$ lorsque, pour tout $x$ de $\R^n$ , $f(x) \leqslant f(x_0)$ .
$f$ admet un minimum global en $x_0$ lorsque, pour tout $x$ de $\R^n$ , $f(x) \geqslant f(x_0)$ .
$f$ admet un maximum local en $x_0$ lorsqu'il existe un réel $r > 0$ tel que, pour tout $x$ vérifiant $\norm{x - x_0} \leqslant r$ , on ait $f(x) \leqslant f(x_0)$ .

On définit de même un minimum local, et on parle d'extremum global ou local.

Un extremum global est en particulier un extremum local. La réciproque est fausse.

Attention

L'extremum est la valeur $f(x_0)$ , le point $x_0$ est l'endroit où il est atteint.

5.2Condition nécessaire du premier ordre

Théorème 5.2Condition nécessaire du premier ordre

Hypothèses

$f$ est de classe $C^1$ sur $\R^n$ ;
$f$ admet un extremum local en un point $x_0$ .

Alors $\nabla f(x_0) = 0$ .

Démonstration

Fixons un indice $i$ et considérons la fonction d'une variable $g_i$ définie par $g_i(t) = f(x_0 + t e_i)$ . C'est la $i$ -ième fonction partielle de $f$ en $x_0$ , à translation près. Comme $f$ est de classe $C^1$ , $g_i$ est dérivable et $g_i'(0) = \partial_i f(x_0)$ d'après le théorème précédent appliqué avec $h = e_i$ .

Supposons par exemple que $f$ admette un maximum local en $x_0$ , avec le rayon $r$ . Alors pour tout $t$ vérifiant $\abs{t} \leqslant r$ , on a $\norm{t e_i} = \abs{t} \leqslant r$ , donc $g_i(t) \leqslant g_i(0)$ . La fonction $g_i$ admet donc un maximum local en $0$ , qui est un point intérieur à son intervalle de définition. Le théorème de première année sur les extrema d'une fonction dérivable donne $g_i'(0) = 0$ , donc $\partial_i f(x_0) = 0$ . Ceci valant pour tout $i$ , le gradient est nul.

5.3Points critiques

Définition 5.3Point critique

Un point $x_0$ où $\nabla f(x_0) = 0$ est appelé point critique de $f$ .

Le théorème précédent dit que, pour une fonction de classe $C^1$ sur $\R^n$ , les extrema locaux sont à chercher parmi les points critiques. C'est une condition nécessaire, pas suffisante.

Exemple 5.4Contre-exemple fondamental

Soit $f(x, y) = x^2 - y^2$ . Son gradient est $(2x, -2y)$ , qui s'annule uniquement en $(0, 0)$ . Pourtant $f$ n'admet pas d'extremum local en $(0, 0)$ . En effet $f(t, 0) = t^2 > 0$ pour $t$ non nul, et $f(0, t) = -t^2 < 0$ pour $t$ non nul.

Dans tout disque centré en l'origine, $f$ prend des valeurs strictement positives et strictement négatives, alors que $f(0, 0) = 0$ . Un tel point s'appelle un point selle, ou point col. Le même phénomène se produit pour $f(x, y) = xy$ en l'origine.

5.4Conclure sans condition d'ordre 2

Au troisième semestre, la condition d'ordre 2 n'est pas encore disponible. Pour trancher sur la nature d'un point critique, on étudie directement le signe de $f(x) - f(x_0)$ .

Exemple 5.5Minimum global

Soit $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x$ . Son gradient est $(2x - 2,\ 2y)$ , qui s'annule uniquement en $(1, 0)$ , où $f$ vaut $-1$ . On écrit alors $f(x, y) = (x - 1)^2 + y^2 - 1 \geqslant -1$ pour tout $(x, y)$ . Donc $f$ admet un minimum global en $(1, 0)$ , et c'est le seul extremum.

Exemple 5.6Absence d'extremum

Soit $f(x, y) = x^3 - 3xy$ . Son gradient est $(3x^2 - 3y,\ -3x)$ , nul uniquement en $(0, 0)$ . On a $f(t, 0) = t^3$ , qui change de signe en $0$ . Donc $f$ n'a pas d'extremum local en $(0, 0)$ , et donc pas d'extremum local du tout.

Attention

Une fonction de classe $C^1$ sur $\R^n$ peut n'avoir aucun extremum, même si elle possède des points critiques. Elle peut aussi n'avoir aucun point critique, comme toute fonction affine non constante. Il n'y a pas de théorème d'existence sur $\R^n$ entier. L'existence garantie d'extrema globaux sur une partie fermée bornée est un résultat du quatrième semestre.

Méthodes

MéthodeCalculer un gradient

Dériver successivement par rapport à chaque variable, les autres étant figées.
Tester ensuite sur un point simple.

MéthodeJustifier la classe $C^1$ ou $C^2$

Invoquer le caractère polynomial.
Invoquer les opérations puis la composition.
Ne jamais faire d'étude locale.

MéthodeChercher les points critiques

Résoudre le système $\nabla f(x) = 0$ , qui comporte $n$ équations à $n$ inconnues. Ce système n'est en général pas linéaire.
Procéder par substitution, par factorisation, ou par différence de deux équations.
Ne pas diviser par une quantité susceptible d'être nulle, sous peine de perdre des solutions.

MéthodeÉtudier la nature d'un point critique, sans outil d'ordre 2

Pour prouver un minimum, faire apparaître une somme de carrés, ou utiliser une inégalité classique.
Pour prouver qu'il n'y a pas d'extremum, exhiber deux directions le long desquelles $f - f(x_0)$ prend des signes opposés, comme dans l'exemple du point selle.

MéthodeÉcrire une approximation affine

Calculer $f(x_0)$ et $\nabla f(x_0)$ .
Appliquer $f(x_0 + h) \approx f(x_0) + \langle \nabla f(x_0), h\rangle$ pour de petits déplacements.

MéthodeUtiliser la direction de plus forte pente

Normaliser le gradient.
Rappeler que le maximum de $\langle \nabla f(x), h\rangle$ sur les $h$ unitaires vaut $\norm{\nabla f(x)}$ , atteint pour $h$ égal au gradient normalisé.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Définir une fonction partielle, une dérivée partielle d'ordre 1 et le gradient, puis les calculer sur un exemple polynomial et sur un exemple avec exponentielle.
Donner les définitions des classes $C^1$ et $C^2$ et justifier la classe d'une fonction par les opérations admises.
Énoncer le développement limité d'ordre 1 avec toutes ses hypothèses, et expliquer pourquoi le vecteur qui y figure est nécessairement le gradient.
Démontrer que la dérivée de $g(t) = f(x + th)$ vaut $\langle \nabla f(x + th), h\rangle$ en $0$ , et écrire l'équation du plan tangent pour $n = 2$ .
Déduire de Cauchy-Schwarz que le gradient donne la direction de plus forte croissance.
Définir extremum local et extremum global, et donner un exemple d'extremum local qui n'est pas global.
Démontrer la condition nécessaire du premier ordre en passant par les fonctions partielles.
Donner l'exemple de $x^2 - y^2$ à l'origine pour montrer que la réciproque est fausse, et savoir conclure à un minimum global par une écriture en somme de carrés.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Fonction partielle en x, obtenue en fixant toutes les coordonnées sauf une : exigible, définition.
Dérivée partielle d'ordre 1, ∂_i f(x), calculée en dérivant par rapport à la i-ième variable, les autres étant traitées comme des constantes : exigible.
Gradient ∇f(x) = (∂₁f(x), …, ∂_nf(x)) : exigible.
Dérivées partielles d'ordre 2, notation ∂²_i,j f : exigible, notation seulement, Schwarz relève du quatrième semestre.
Classe C¹, dérivées partielles d'ordre 1 existent et continues. Classe C², idem à l'ordre 2. C² entraîne C¹ entraîne continue : exigible.
Les fonctions polynomiales de n variables sont de classe C² sur Rⁿ : admis.
Somme, produit, quotient sans annulation du dénominateur, et composition par une fonction d'une variable conservent la classe C¹ ou C² : admis.
Développement limité d'ordre 1, f(x+h) = f(x) + ⟨∇f(x), h⟩ + ‖h‖ε(h), ε(0) = 0, ε continue en 0, écriture unique : admis, résultat admis d'après le programme.
Pour g(t) = f(x+th), g'(t) = ⟨∇f(x+th), h⟩, donc g'(0) = ⟨∇f(x), h⟩ : exigible.
Interprétation géométrique, par Cauchy-Schwarz, |⟨∇f(x), h⟩| ≤ ‖∇f(x)‖ pour h unitaire, égalité si et seulement si h est colinéaire au gradient : exigible.
Le gradient donne la direction de plus forte croissance, sa norme la pente maximale, et il est orthogonal aux lignes de niveau : exigible.
Extremum local et extremum global, définitions, un extremum global est en particulier local, réciproque fausse : exigible.
Condition nécessaire du premier ordre, si f de classe C¹ sur Rⁿ admet un extremum local en x₀, alors ∇f(x₀) = 0 : exigible avec démonstration.
Point critique, point où le gradient s'annule. C'est une condition nécessaire, pas suffisante, contre-exemple du point selle : exigible.
Sans outil d'ordre 2, on conclut en étudiant directement le signe de f(x) − f(x₀), somme de carrés pour un minimum, deux directions de signes opposés pour exclure un extremum : méthode exigible.
Aucun théorème d'existence d'extremum sur Rⁿ entier, contrairement au cas d'une partie fermée bornée, hors programme à ce stade : à savoir.

Clés de démonstration

Unicité du vecteur du développement limité d'ordre 1. Si un vecteur a vérifie la même relation que le gradient, on prend h = t e_i, on divise par t, et on fait tendre t vers 0. Le terme d'erreur disparaît et l'on obtient a_i = ∂_i f(x). L'astuce : tester le développement dans chaque direction de base pour isoler chaque composante.

Dérivée de g(t) = f(x+th). On écrit g(t) − g(0) à l'aide du développement limité d'ordre 1 en x, ce qui donne t⟨∇f(x), h⟩ plus un reste en |t|‖h‖ε(th). En divisant par t et en faisant tendre t vers 0, le reste s'annule et il reste ⟨∇f(x), h⟩. L'astuce : le développement limité d'ordre 1 contient déjà toute l'information nécessaire à cette dérivée.

Condition nécessaire du premier ordre. On fixe un indice i et on considère g_i(t) = f(x₀ + t e_i), qui est la i-ième fonction partielle translatée. Si f a un extremum local en x₀, g_i a un extremum local en 0, point intérieur à son domaine, donc g_i'(0) = 0 par le théorème de première année, c'est-à-dire ∂_i f(x₀) = 0. L'astuce : ramener un extremum de plusieurs variables à n extrema d'une seule variable, un par direction de base.

Cauchy-Schwarz et direction de plus forte croissance. L'inégalité |⟨∇f(x), h⟩| ≤ ‖∇f(x)‖‖h‖ devient, pour h unitaire, |⟨∇f(x), h⟩| ≤ ‖∇f(x)‖, avec égalité exactement quand h est colinéaire à ∇f(x). L'astuce : le cas d'égalité de Cauchy-Schwarz identifie directement la direction optimale.

Exemples et contre-exemples à connaître

f(x,y) = x² − y² a pour gradient (2x,−2y), nul en (0,0), mais f(t,0) = t² > 0 et f(0,t) = −t² < 0 : point selle, contre-exemple fondamental à la réciproque de la condition d'ordre 1.
f(x,y) = xy présente le même phénomène en (0,0), à tester cette fois selon une direction diagonale.
f(x,y) = x² + y² − 2x s'écrit (x−1)² + y² − 1, minimum global en (1,0), valeur −1 : exemple de référence pour la méthode de la somme de carrés.
f(x,y) = x³ − 3xy a un seul point critique en (0,0), mais f(t,0) = t³ change de signe, donc pas d'extremum du tout.
Une fonction affine non constante n'a jamais de point critique, son gradient étant constant et non nul : contre-exemple à l'idée que toute fonction de classe C¹ possède un point critique.
Une fonction de classe C¹ sur Rⁿ peut n'avoir aucun extremum même avec des points critiques : il n'y a pas de théorème d'existence sur Rⁿ entier.
Pour f(x,y) = x² + y², le gradient (2x,2y) est radial, donc perpendiculaire aux cercles de niveau : illustration directe de l'orthogonalité gradient et ligne de niveau.
Le développement limité d'ordre 1 est unique, deux vecteurs distincts ne peuvent pas vérifier la même relation asymptotique.
La classe d'une fonction se justifie toujours par assemblage, polynomiale, opérations, composition, jamais par un calcul de limite direct.
Un extremum global est toujours local, mais un extremum local n'est en général pas global, dès qu'une fonction possède plusieurs creux ou bosses.

Techniques du chapitre

Technique 1, calculer un gradient en dérivant successivement par rapport à chaque variable. Mini-exercice : pour f(x,y) = x³y² − 2xy, ∇f(x,y) = (3x²y² − 2y, 2x³y − 2x).

Technique 2, justifier la classe C¹ ou C² par assemblage, jamais par un calcul de limite. Mini-exercice : f(x,y) = ln(1+x²+y²) est de classe C² sur R², composée de la fonction polynomiale (x,y) ↦ 1+x²+y², à valeurs strictement positives, et de ln, de classe C² sur R*+.

Technique 3, résoudre ∇f(x) = 0 sans diviser par une quantité potentiellement nulle. Mini-exercice : pour ∂₂f = x² − y² − 4, on résout par substitution de x² plutôt que de diviser par y, ce qui pourrait faire perdre des solutions avec y = 0.

Technique 4, pour prouver un minimum sans outil d'ordre 2, faire apparaître une somme de carrés. Mini-exercice : x² + y² − xy − x − y + 1, réécrit en (x−y/2−1/2)² plus un terme en y², montre sa positivité.

Technique 5, pour prouver l'absence d'extremum, exhiber deux directions de signes opposés. Mini-exercice : pour f(x,y) = x² − y² en (0,0), f(t,0) = t² > 0 et f(0,t) = −t² < 0.

Technique 6, pour une approximation affine, calculer f(x₀) et ∇f(x₀) puis appliquer le développement d'ordre 1. Mini-exercice : pour f(x,y) = xy² en (1,2), f(1,2) = 4, ∇f(1,2) = (4,4), donc f au point de coordonnées 1,01 et 1,98 est approché par 4 + 4×0,01 + 4×(−0,02) = 3,96.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Calculer le gradient de f(x,y,z) = x²yz + ln(1+z²) en un point général, puis au point (1,1,0).

Technique dérivation successive par rapport à chaque variable.

Voir le corrigé

∂₁f = 2xyz. ∂₂f = x²z. ∂₃f = x²y + 2z/(1+z²).
∇f(x,y,z) = (2xyz, x²z, x²y + 2z/(1+z²)).
Au point (1,1,0), ∇f(1,1,0) = (0, 0, 1).
Cohérence : les deux premières composantes s'annulent car elles contiennent toutes deux un facteur z, nul au point considéré.

piège : Oublier de dériver ln(1+z²) par rapport à z, en le traitant à tort comme une constante parce qu'il ne contient pas x ni y.

Exercice 2. Justifier que f(x,y) = e^xy/(1+x²+y²) est de classe C² sur R²

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique assemblage par opérations et composition.

Voir le corrigé

(x,y) ↦ xy est polynomiale, donc de classe C² sur R².
exp est de classe C² sur R, donc par composition (x,y) ↦ e^xy est de classe C² sur R².
(x,y) ↦ 1+x²+y² est polynomiale, donc de classe C² sur R², et strictement positive, donc ne s'annule jamais.
Le quotient de deux fonctions de classe C² dont le dénominateur ne s'annule pas est de classe C², donc f l'est aussi.

piège : Oublier de vérifier explicitement que le dénominateur ne s'annule jamais sur R² tout entier, condition nécessaire pour appliquer le résultat sur le quotient.

Exercice 3. Écrire l'équation du plan tangent au graphe de f(x,y) = x² + xy + y² au point (1,1)

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Technique développement limité d'ordre 1 évalué au point demandé.

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f(1,1) = 1+1+1 = 3.
∂₁f = 2x+y, ∂₂f = x+2y, donc ∇f(1,1) = (3,3).
Le plan tangent a pour équation z = f(1,1) + ∂₁f(1,1)(x−1) + ∂₂f(1,1)(y−1) = 3 + 3(x−1) + 3(y−1).
En simplifiant, z = 3x + 3y − 3.

piège : Garder les dérivées partielles sous forme générale au lieu de les évaluer précisément au point (1,1), ce qui donne une expression fausse.

Exercice 4

Classiques de khôlle et concours · Khôlle vers écrit

Trouver le point critique de f(x,y) = x² + y² − xy − x − y et déterminer, en complétant le carré, la nature de l'extremum.

Technique résolution du système ∇f=0, puis somme de carrés centrée sur le point critique.

Voir le corrigé

∇f(x,y) = (2x−y−1, 2y−x−1). Le système donne, par élimination, x=1 et y=1.
Le seul point critique est (1,1), où f(1,1) = 1+1−1−1−1 = −1.
En posant u=x−1 et v=y−1, un développement direct donne f(x,y) = u²+v²−uv−1 = (u−v/2)² + (3/4)v² − 1, toujours supérieur ou égal à −1.
f admet donc un minimum global en (1,1), de valeur −1.

piège : Résoudre le système linéaire avec une erreur d'élimination, ou conclure à un minimum sans avoir justifié le signe de f(x,y)−f(1,1).

Exercice 5

Classiques de khôlle et concours · Khôlle

Montrer que f(x,y) = xy admet (0,0) comme unique point critique, mais n'y présente pas d'extremum local.

Technique test d'une direction diagonale, pas seulement des axes.

Voir le corrigé

∇f(x,y) = (y,x), nul uniquement en (0,0).
f(t,t) = t² > 0 pour t non nul, alors que f(t,−t) = −t² < 0 pour t non nul.
Dans tout disque centré en l'origine, f prend donc des valeurs strictement positives et strictement négatives, alors que f(0,0) = 0.
(0,0) est un point selle, pas un extremum local, malgré l'annulation du gradient.

piège : Se contenter de tester f(t,0) et f(0,t), toutes deux nulles ici, ce qui ne suffit pas à détecter le changement de signe.

Exercice 6

Classiques de khôlle et concours · Type écrit EDHEC

Une entreprise produit deux biens en quantités x et y, avec un profit modélisé par P(x,y) = −2x² − y² + 2xy + 4x + 2y sur R². Trouver le point critique, puis montrer par complétion du carré qu'il s'agit d'un maximum global. Donner le profit maximal.

Technique résolution du système ∇P=0, complétion du carré.

Voir le corrigé

∇P(x,y) = (−4x+2y+4, −2y+2x+2). Le système −4x+2y=−4, 2x−2y=−2 donne, par élimination, x=3 et y=4.
Le point critique est (3,4).
En posant u=x−3 et v=y−4, un développement direct donne P(x,y) = 10 − (u² + (u−v)²), toujours inférieur ou égal à 10.
P admet donc un maximum global en (3,4), de valeur 10.

piège : Commettre une erreur de signe en dérivant −2x² (dérivée −4x), et surtout oublier de justifier le signe de l'expression finale pour conclure au maximum.

Exercice 7

Classiques de khôlle et concours · Type écrit EDHEC ou ESSEC

Soit f(x,y) = x² e^y. Calculer ∇f, montrer que l'ensemble des points critiques est une droite, et discuter leur nature.

Technique reconnaître qu'un facteur ne s'annulant jamais réduit un système à une seule condition.

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∂₁f = 2x e^y, ∂₂f = x² e^y. Comme e^y ne s'annule jamais, ∇f(x,y) = (0,0) équivaut à x = 0, l'autre équation étant alors automatiquement vérifiée.
L'ensemble des points critiques est donc la droite d'équation x = 0.
Pour tout point critique (0, y₀), f(0, y₀) = 0, tandis que f(x, y₀) = x² e^y₀ > 0 pour x non nul.
f est positive ou nulle partout et vaut 0 exactement sur cette droite, donc chaque point critique est un minimum global.

piège : Résoudre le système sans remarquer que le facteur e^y, jamais nul, rend la seconde équation redondante avec la première, ce qui laisse y libre au lieu de donner un point isolé.

Exercice 8

Classiques de khôlle et concours · Type écrit ESSEC ou HEC, plus délicat

Montrer que f(x,y) = x² − 4xy + y⁴ admet (0,0) comme point critique, mais que ce point n'est pas un minimum local, bien que f(x,0) ≥ 0 et f(0,y) ≥ 0 pour tout x et tout y.

Technique tester une direction autre que les axes.

Voir le corrigé

∇f(x,y) = (2x−4y, −4x+4y³), nul en (0,0).
Sur les axes, f(x,0) = x² ≥ 0 et f(0,y) = y⁴ ≥ 0, ce qui pourrait suggérer un minimum.
On teste la direction x = 2y : f(2y,y) = 4y²−8y²+y⁴ = y²(y²−4). Pour y proche de 0 non nul, y²−4 < 0, donc f(2y,y) < 0.
f prend donc des valeurs strictement négatives arbitrairement proches de l'origine, dans cette direction : (0,0) n'est pas un minimum local, malgré la positivité sur les deux axes.

piège : Se limiter aux directions des axes de coordonnées pour juger un point critique, alors qu'une direction suggérée par le terme croisé peut révéler un changement de signe.

Erreurs fréquentes

Croire que l'annulation du gradient garantit un extremum, sans vérifier le signe de f(x) − f(x₀).
Se limiter à tester les directions des axes de coordonnées pour juger de la nature d'un point critique, alors qu'une direction diagonale ou suggérée par un terme croisé peut révéler un changement de signe.
Justifier la classe C¹ ou C² d'une fonction par un calcul de limite au lieu d'un assemblage par les opérations et compositions admises.
Diviser par une expression potentiellement nulle en résolvant le système ∇f(x) = 0, ce qui peut faire perdre des solutions, y compris toute une droite de points critiques.
Appliquer le développement limité d'ordre 1 pour un déplacement h qui n'est pas petit, en oubliant qu'il n'est valable qu'au voisinage du point considéré.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel d'ECG deuxième année, mathématiques approfondies (2021), enseignement du troisième semestre, partie II « Fonctions réelles définies sur $\R^n$ », paragraphe 2 « Calcul différentiel ». Les fonctions sont définies et continues sur $\R^n$ tout entier. La matrice hessienne, le théorème de Schwarz, le développement limité d'ordre 2 et la condition d'ordre 2 relèvent du quatrième semestre.

Calcul différentiel, gradient et condition d’ordre 1

Résumé en cinq points

1Fonctions partielles et dérivées partielles d'ordre 1

1.1Fonctions partielles

1.2Dérivées partielles d'ordre 1

1.3Gradient

1.4Dérivées partielles d'ordre 2

2Fonctions de classe KXF58FXK et KXF59FXK

2.1Définitions

2.2Résultats admis

3Développement limité d'ordre 1

3.1Théorème

3.2Comprendre l'unicité

3.3Interprétation

4Dérivée le long d'une direction

4.1Théorème

4.2Interprétation géométrique du gradient

5Extrema et condition nécessaire d'ordre 1

5.1Définitions

5.2Condition nécessaire du premier ordre

5.3Points critiques

5.4Conclure sans condition d'ordre 2

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1

Exercice 2. Justifier que f(x,y) = exy/(1+x²+y²) est de classe C² sur R²

Exercice 3. Écrire l'équation du plan tangent au graphe de f(x,y) = x² + xy + y² au point (1,1)

Exercice 4

Exercice 5

Exercice 6

Exercice 7

Exercice 8

Erreurs fréquentes

Exercice 2. Justifier que f(x,y) = e^xy/(1+x²+y²) est de classe C² sur R²