Le cours

Résumé en cinq points

$f = o(g)$ signifie que le quotient tend vers 0, $f \sim g$ signifie qu'il tend vers 1, toujours au voisinage d'un point qu'il faut nommer.
L'équivalence se combine avec le produit, le quotient et les puissances entières. Jamais avec l'addition, jamais avec $\ln$ ou $\exp$ .
Un développement limité d'ordre 2 en $x_0$ s'obtient par Taylor-Young pour une fonction de classe $C^2$ , avec la dérivée seconde divisée par 2 en coefficient. Il est unique.
Les seuls développements exigibles sont ceux de $\e^x$ , de $\ln(1 + x)$ et de $(1 + x)^\alpha$ en 0, à l'ordre 1 ou 2.
Le terme de degré 1 donne la tangente, le signe du terme de degré 2 donne la position de la courbe par rapport à la tangente, et donc la nature d'un point critique.

Pourquoi ce chapitre

Une fonction compliquée se comporte, au voisinage d'un point, comme une fonction très simple.

Comparaison locale : exp(x) et sa tangente y = 1 + x au voisinage de 0

Près de 0, la fonction exponentielle ressemble à la droite d'équation $y = 1 + x$ .
Près de 0, le logarithme de $1 + x$ ressemble à $x$ .

Le chapitre donne un langage pour dire cela et une méthode pour aller plus loin que la tangente. Ce langage a deux étages :

la comparaison, avec la négligeabilité et l'équivalence, version fonctionnelle de ce qu'on a vu pour les suites ;
les développements limités, qui remplacent la fonction par un polynôme de degré au plus 2, en contrôlant l'erreur.

Le programme est volontairement restreint. Les développements limités ne vont pas au-delà de l'ordre 2. Trois développements seulement sont exigibles, ceux de l'exponentielle, du logarithme et de la puissance au voisinage de 0. Aucune technique de calcul par somme, produit ou composition n'est exigible. L'interprétation géométrique est demandée, et elle sera étendue aux fonctions de deux variables au quatrième semestre, pour la recherche d'extrema.

Économiquement, un développement limité à l'ordre 1 est une approximation marginale, un développement à l'ordre 2 ajoute l'information sur la courbure, donc sur les rendements croissants ou décroissants.

1Comparaison des fonctions au voisinage d'un point

Dans tout ce paragraphe, $f$ et $g$ sont des fonctions définies au voisinage d'un point $a$ , où $a$ est un réel, $+\infty$ ou $-\infty$ . On suppose $g$ non nulle au voisinage de $a$ , sauf éventuellement en $a$ .

1.1Fonction négligeable

Définition 1.1Fonction négligeable

$f$ est négligeable devant $g$ au voisinage de $a$ lorsque $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ tend vers 0 quand $x$ tend vers $a$ . On note $f = o(g)$ au voisinage de $a$ .

Comme pour les suites, $f = o(1)$ au voisinage de $a$ signifie que $f$ tend vers 0 en $a$ .

Attention

La mention du point est obligatoire. Une même fonction peut être négligeable devant une autre en 0 et pas en $+\infty$ : $x^2 = o(x)$ au voisinage de 0, alors que $x = o(x^2)$ au voisinage de $+\infty$ .

1.2Fonctions équivalentes

Définition 1.2Fonctions équivalentes

$f$ et $g$ sont équivalentes au voisinage de $a$ lorsque $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ tend vers 1 quand $x$ tend vers $a$ . On note $f \sim g$ au voisinage de $a$ .

De façon équivalente, $f \sim g$ signifie $f - g = o(g)$ .

Propriété 1.3Propriétés de l'équivalence

L'équivalence est réflexive, symétrique et transitive.
Deux fonctions équivalentes en $a$ ont le même signe au voisinage de $a$ , sauf peut-être en $a$ .
Si $f \sim g$ et si $g$ admet une limite en $a$ , finie ou infinie, alors $f$ admet la même limite.

Attention

On n'écrit jamais $f \sim 0$ .

1.3Opérations autorisées et interdites

Le programme fixe la liste exacte des opérations compatibles avec l'équivalence.

Propriété 1.4Opérations compatibles

Hypothèses

$f \sim f_1$ et $g \sim g_1$ au voisinage de $a$ ;
pour le quotient, les dénominateurs sont non nuls.

Alors :

$fg \sim f_1 g_1$ ;
$\dfrac{f}{g} \sim \dfrac{f_1}{g_1}$ ;
si $f \sim g$ , alors $f^k \sim g^k$ pour $k$ entier.

Le programme demande une mise en garde explicite contre deux extensions abusives.

Attention

L'addition. De $f \sim f_1$ et $g \sim g_1$ , on ne déduit pas $f + g \sim f_1 + g_1$ .

Contre-exemple au voisinage de $+\infty$ : $x + 1 \sim x$ et $-x \sim -x$ , mais la somme de gauche vaut 1 et celle de droite vaut 0.

Attention

La composition par une autre fonction, notamment $\ln$ et $\exp$ .

Contre-exemple au voisinage de $+\infty$ : $x + \ln x \sim x$ , mais $\e^{x + \ln x} = x\e^x$ n'est pas équivalent à $\e^x$ .

À retenir

On remplace par un équivalent dans un produit ou un quotient, jamais dans une somme, jamais dans un logarithme ou une exponentielle.

1.4Croissances comparées reformulées

Théorème 1.5Croissances comparées

Hypothèses

$a > 0$ et $b > 0$ .

Alors :

au voisinage de $+\infty$ : $(\ln x)^b = o(x^a)$ et $x^a = o(\e^x)$ ; plus généralement $x^a = o(\e^{cx})$ pour $c > 0$ ;
au voisinage de $0$ par valeurs positives : $\abs{\ln x}$ est négligeable devant $\dfrac{1}{x^a}$ , ce qui s'écrit aussi $x^a \ln x \to 0$ .

Ces énoncés sont la reformulation, demandée par le programme, des théorèmes de croissances comparées de première année.

1.5Équivalents usuels en 0

Ils traduisent les limites connues des taux d'accroissement en 0.

Propriété 1.6Équivalents usuels

Au voisinage de 0 :

$\e^x - 1 \sim x$ ;
$\ln(1 + x) \sim x$ ;
$(1 + x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$ , pour $\alpha$ réel non nul.

Avec un changement de variable, ils se transposent : si $u(x)$ tend vers 0 quand $x$ tend vers $a$ , alors $\ln(1 + u(x)) \sim u(x)$ au voisinage de $a$ .

Propriété 1.7Fonction polynomiale

Une fonction polynomiale est équivalente à son terme de plus haut degré au voisinage de l'infini, et à son terme de plus bas degré non nul au voisinage de 0.

2Développements limités

2.1Définition

Définition 2.1Développement limité

Soit $f$ définie au voisinage de $x_0$ et $n \in \{1, 2\}$ , les seuls ordres au programme. $f$ admet un développement limité d'ordre $n$ en $x_0$ lorsqu'il existe des réels $a_0, \dots, a_n$ tels que, au voisinage de $x_0$ , $\begin{aligned} f(x) &= a_0 + a_1(x - x_0) + \cdots\\ &\quad + a_n(x - x_0)^n\\ &\quad + (x - x_0)^n \varepsilon(x - x_0), \end{aligned}$ où $\varepsilon$ est une fonction de limite nulle en 0. Le dernier terme est un $o\big((x - x_0)^n\big)$ . Le polynôme formé par les premiers termes est la partie régulière du développement.

2.2Unicité

Propriété 2.2Unicité

Le développement limité d'ordre $n$ en $x_0$ , s'il existe, est unique : les coefficients $a_0, \dots, a_n$ sont déterminés.

Résultat admis. Il autorise à identifier deux développements limités terme à terme.

2.3Formule de Taylor-Young

Théorème 2.3Formule de Taylor-Young

Résultats admis au programme.

Si $f$ est de classe $C^1$ au voisinage de $x_0$ , alors $f$ admet un développement limité d'ordre 1 en $x_0$ : $f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + o(x - x_0).$
Si $f$ est de classe $C^2$ au voisinage de $x_0$ , alors $f$ admet un développement limité d'ordre 2 en $x_0$ : $\begin{aligned} f(x) &= f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\\ &\quad + \frac{f''(x_0)}{2}(x - x_0)^2\\ &\quad + o\big((x - x_0)^2\big). \end{aligned}$

Attention

Le coefficient de degré 2 est la dérivée seconde divisée par 2, pas la dérivée seconde.

Le développement d'ordre 1 est exactement l'équation de la tangente, augmentée d'un reste négligeable. Un développement limité d'ordre 1 en $x_0$ équivaut donc à la dérivabilité en $x_0$ .

2.4Les trois développements exigibles

Propriété 2.4Développements usuels en 0

Au voisinage de 0, à l'ordre 1 puis à l'ordre 2, pour $\alpha$ réel : $\begin{aligned} \e^x &= 1 + x + o(x),\\ \e^x &= 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2),\\ \ln(1 + x) &= x + o(x),\\ \ln(1 + x) &= x - \frac{x^2}{2} + o(x^2),\\ (1 + x)^\alpha &= 1 + \alpha x + o(x),\\ (1 + x)^\alpha &= 1 + \alpha x\\ &\quad + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2} x^2 + o(x^2). \end{aligned}$

Ce sont les seuls développements exigibles.

Exemple 2.5Cas $\alpha = -1$

$\frac{1}{1 + x} = 1 - x + x^2 + o(x^2).$

Le programme précise qu'aucune connaissance sur les techniques de calcul des développements limités, somme, produit, composition, n'est exigible. Dans un sujet, ces manipulations sont donc guidées quand elles sont nécessaires.

2.5Lien avec les équivalents

Propriété 2.6Équivalent et développement limité

Si le développement limité de $f$ en $x_0$ a une partie régulière non nulle, alors $f$ est équivalente en $x_0$ à son premier terme non nul.

Exemple 2.7

Comme $\ln(1 + x) = x - \dfrac{x^2}{2} + o(x^2)$ , on retrouve $\ln(1 + x) \sim x$ au voisinage de 0. Et $\ln(1 + x) - x \sim -\frac{x^2}{2},$ information que l'équivalent seul ne donnait pas.

Le développement limité survit à la soustraction, ce qui permet de lever les formes indéterminées.

3Allure locale du graphe

Le programme demande d'exploiter un développement de la forme $\begin{aligned} f(x) &= a_0 + a_1(x - x_0)\\ &\quad + a_2(x - x_0)^2\\ &\quad + (x - x_0)^2 \varepsilon(x - x_0), \end{aligned}$ avec $a_2 \neq 0$ .

3.1Tangente

La droite d'équation $y = a_0 + a_1(x - x_0)$ est la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse $x_0$ . En effet $a_0 = f(x_0)$ et $a_1 = f'(x_0)$ quand $f$ est dérivable.

3.2Position par rapport à la tangente

La différence entre la fonction et sa tangente vaut $f(x) - \big(a_0 + a_1(x - x_0)\big) = (x - x_0)^2\big(a_2 + \varepsilon(x - x_0)\big).$ Comme $\varepsilon$ tend vers 0 en 0 et que $a_2$ est non nul, la parenthèse a le signe de $a_2$ au voisinage de $x_0$ . Le carré étant positif, on conclut.

Propriété 3.1Position locale

Si $a_2 > 0$ , la courbe est localement au-dessus de sa tangente.
Si $a_2 < 0$ , la courbe est localement au-dessous de sa tangente.

C'est une information de courbure : un $a_2$ positif traduit une convexité locale, un $a_2$ négatif une concavité locale.

3.3Cas d'un extremum local

Propriété 3.2Extremum local

Hypothèses

$f$ admet un développement limité d'ordre 2 en $x_0$ avec $a_2 \neq 0$ ;
$a_1 = 0$ , donc la tangente est horizontale.

Alors $f(x) - f(x_0)$ a le signe de $a_2$ au voisinage de $x_0$ :

si $a_2 > 0$ , $f$ admet un minimum local en $x_0$ ;
si $a_2 < 0$ , $f$ admet un maximum local en $x_0$ .

Ce raisonnement est celui qui sera transposé aux fonctions de deux variables, avec la matrice hessienne à la place du coefficient $a_2$ . Il est à comprendre soigneusement.

Quand $a_2$ est nul, on ne peut rien conclure à cet ordre, et le programme n'en demande pas davantage.

3.4Exemple

Exemple 3.3

Soit $f(x) = \ln(1 + x) - x$ au voisinage de 0. Le développement à l'ordre 2 donne $f(x) = -\dfrac{x^2}{2} + o(x^2)$ . Ici $a_0 = 0$ , $a_1 = 0$ et $a_2 = -\dfrac{1}{2}$ . La tangente en 0 est l'axe des abscisses, et $f$ admet un maximum local en 0, valant 0. On en déduit l'inégalité $\ln(1 + x) \leqslant x$ au voisinage de 0, inégalité d'ailleurs vraie sur tout l'intervalle de définition par convexité.

Méthodes

MéthodeLever une forme indéterminée

Dans un produit ou un quotient, remplacer chaque facteur par un équivalent.
Si l'indétermination vient d'une différence, passer au développement limité.

MéthodeSe ramener au voisinage de 0

Poser $h = x - x_0$ .
Utiliser les trois développements exigibles, qui sont écrits en 0.

MéthodeExpression du type $f(x)^{g(x)}$

Écrire $f(x)^{g(x)} = \e^{g(x)\ln f(x)}$ .
Étudier le produit $g(x)\ln f(x)$ .

C'est le seul traitement correct, puisque l'équivalence ne se compose pas avec l'exponentielle.

MéthodePosition d'une courbe par rapport à sa tangente

Écrire le développement d'ordre 2.
Lire le signe du coefficient de degré 2.

Attention

Vérifier systématiquement l'ordre du reste. Un $o(x)$ et un $o(x^2)$ ne disent pas la même chose, et confondre les deux fait perdre toute la précision gagnée.

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Donner les définitions de $f = o(g)$ et $f \sim g$ au voisinage d'un point, avec la mention du point.
Énoncer les croissances comparées en $+\infty$ et en 0 avec les notations de négligeabilité.
Donner les trois équivalents usuels en 0 et expliquer d'où ils viennent.
Exhiber un contre-exemple à l'addition des équivalents et un contre-exemple à la composition par l'exponentielle.
Écrire la formule de Taylor-Young à l'ordre 2 pour une fonction de classe $C^2$ , en précisant qu'elle est admise.
Donner les développements limités à l'ordre 2 en 0 de l'exponentielle, du logarithme de $1 + x$ et de $(1 + x)^\alpha$ .
Déterminer la tangente à une courbe en un point et la position locale de la courbe par rapport à cette tangente.
Déduire d'un développement limité d'ordre 2 la nature d'un point où la dérivée s'annule.

Méthodes et exercices

Les résultats à connaître

Définitions de f = o(g) et de f ∼ g au voisinage de a, pour a réel ou infini, avec g non nulle au voisinage de a sauf peut-être en a. Exigibles, avec la mention du point.
f ∼ g au voisinage de a si et seulement si f − g = o(g). Exigible avec démonstration, en une ligne.
L'équivalence est réflexive, symétrique et transitive. Exigible, la démonstration est immédiate par quotients.
Si f ∼ g et si g tend vers une limite finie ou infinie en a, alors f tend vers la même limite. Exigible avec démonstration.
Deux fonctions équivalentes ont le même signe au voisinage de a, sauf peut-être en a. Exigible avec démonstration.
Compatibilité de l'équivalence avec le produit, le quotient et les puissances entières. Exigible, démonstration par produit de limites.
Incompatibilité avec la somme et avec la composition par ln ou exp. Mise en garde exigée par le programme, un contre-exemple doit être prêt.
Croissances comparées : en plus l'infini (ln x)^b = o(x^a) et x^a = o(e^cx), pour a, b, c > 0. En 0 à droite, |ln x| = o(1/x^a) pour a > 0. Ce sont des résultats de première année, leur reformulation est exigible.
Équivalents usuels en 0 : e^x − 1 ∼ x, ln(1 + x) ∼ x, et (1 + x)^α − 1 ∼ αx pour α réel non nul. Exigibles avec démonstration par taux d'accroissement.
Unicité du développement limité d'ordre 1 ou 2. Admis.
Formule de Taylor-Young à l'ordre 1 pour f de classe C¹ au voisinage de x₀, et à l'ordre 2 pour f de classe C². Admis.
Développements d'ordre 1 et 2 en 0 de e^x, de ln(1 + x) et de (1 + x)^α. Exigibles, et ce sont les seuls.
Position locale par rapport à la tangente, puis nature d'un point critique, à partir de a₂ ≠ 0. Exigible avec démonstration.
Hors programme, à signaler : les développements d'ordre 3 ou plus, les fonctions trigonométriques, les règles de calcul (somme, produit, composition) comme savoir exigible. Dans un sujet, ces calculs sont guidés.

Clés de démonstration

Caractérisation par la différence. On écrit (f − g)/g = f/g − 1. Cette quantité tend vers 0 si et seulement si f/g tend vers 1. Astuce : retrancher 1 au quotient.

Même limite. On écrit f = (f/g) × g. Le premier facteur tend vers 1, le second vers ℓ, et le produit tend vers ℓ, y compris si ℓ est infini. Astuce : faire apparaître le quotient comme facteur.

Même signe. Le quotient f/g tend vers 1, donc il dépasse 1/2 au voisinage de a par définition de la limite. Un quotient strictement positif impose que f et g aient le même signe. Astuce : prendre ε = 1/2 dans la définition de la limite.

Produit et quotient. (fg)/(f₁g₁) = (f/f₁) × (g/g₁) tend vers 1 × 1. Pour une puissance entière k, on itère, ou on écrit (f/g)^k qui tend vers 1^k. Astuce : tout se ramène à un produit de limites.

Équivalents usuels. Le quotient (e^x − 1)/x est le taux d'accroissement de exp entre 0 et x. Il tend donc vers exp′(0) = 1. De même ln(1 + x)/x tend vers 1, et ((1 + x)^α − 1)/x tend vers α, la dérivée de t ↦ (1 + t)^α en 0. Astuce : reconnaître un nombre dérivé.

Position par rapport à la tangente. On factorise f(x) − a₀ − a₁(x − x₀) = (x − x₀)²(a₂ + ε(x − x₀)). Comme ε tend vers 0, la parenthèse a le signe de a₂ au voisinage de x₀. Astuce : c'est l'argument du même signe, appliqué à une fonction de limite a₂ non nulle.

Exemples et contre-exemples à connaître

x² = o(x) au voisinage de 0, mais x = o(x²) au voisinage de plus l'infini. Le point doit toujours être nommé.
x³ + x ∼ x au voisinage de 0, et x³ + x ∼ x³ au voisinage de plus l'infini. C'est le double réflexe sur les polynômes.
En plus l'infini, x + 1 ∼ x et −x ∼ −x, mais les sommes valent 1 et 0. C'est le contre-exemple à l'addition.
En plus l'infini, x + ln x ∼ x, mais e^{x + ln x} = x e^x n'est pas équivalent à e^x. C'est le contre-exemple à l'exponentielle.
En 0, 1 + x ∼ 1, puisque les deux tendent vers 1. Pourtant ln(1 + x) ∼ x alors que ln 1 = 0. C'est le contre-exemple au logarithme, et on n'écrit jamais ∼ 0.
En plus l'infini, ln(x + 1) ∼ ln x. En effet ln(x + 1) = ln x + ln(1 + 1/x), et le second terme tend vers 0. On le prouve par factorisation, pas en composant l'équivalence.
ln x ∼ x − 1 au voisinage de 1. C'est l'équivalent usuel déplacé par h = x − 1.
e^x − 1 − x ∼ x²/2 en 0. L'équivalent seul e^x − 1 ∼ x ne permet pas d'obtenir ce résultat.
x³ et x⁴ ont tous deux a₁ = a₂ = 0 en 0. Le premier n'a pas d'extremum, le second a un minimum. Quand a₂ = 0, l'ordre 2 ne tranche pas.
x ↦ x^x en 0 à droite. Elle tend vers 1 car x ln x tend vers 0. C'est l'exemple type de la forme 0 puissance 0.

Techniques du chapitre

Se ramener en 0. Mini-exercice : développer ln x à l'ordre 2 en 1. On pose h = x − 1, donc ln x = ln(1 + h) = h − h²/2 + o(h²). Ainsi ln x = (x − 1) − (x − 1)²/2 + o((x − 1)²).

Taylor-Young direct. Mini-exercice : f(x) = ln(2 + x) à l'ordre 2 en 0. On a f(0) = ln 2, f′(x) = 1/(2 + x) et f″(x) = −1/(2 + x)². On obtient ln 2 + x/2 − x²/8 + o(x²). Contrôle : ln 2 + ln(1 + x/2) donne le même résultat.

Composer un équivalent usuel avec une fonction de limite nulle. Mini-exercice : équivalent de e^1/x − 1 en plus l'infini. On pose u = 1/x, qui tend vers 0. Donc e^u − 1 ∼ u, soit e^1/x − 1 ∼ 1/x.

Factoriser par le terme dominant. Mini-exercice : équivalent de ln(1 + e^x) en plus l'infini. On écrit ln(e^x(1 + e^−x)) = x + ln(1 + e^−x). Le second terme tend vers 0, il est donc négligeable devant x. D'où ln(1 + e^x) ∼ x.

Passer à l'exponentielle pour u^v. Mini-exercice : limite de x^x en 0 à droite. On écrit x^x = exp(x ln x). Par croissances comparées, x ln x tend vers 0, et par continuité de exp la limite vaut 1.

Équivalent d'une différence par développement limité. Mini-exercice : équivalent de √(1 + x) − 1 − x/2 en 0. Avec α = 1/2, α(α − 1)/2 = −1/8, donc la différence vaut −x²/8 + o(x²). Elle est équivalente à −x²/8.

Obtenir un signe local par un équivalent. Mini-exercice : signe de ln(1 + x) − x près de 0. Cette quantité est équivalente à −x²/2, négative pour x ≠ 0. Elle est donc strictement négative au voisinage de 0, privé de 0.

Exercices classiques corrigés

Choisis ton niveau. Difficulté indicative ; les exercices qui se suivent restent dans l'ordre.

Exercice 1. Deux limites par équivalents

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Calculer la limite en 0 de (e^2x − 1)/ln(1 + 3x). Calculer ensuite la limite en plus l'infini de ln(1 + x²)/ln x.

Technique équivalents dans un quotient, puis factorisation dans un logarithme.

Voir le corrigé

Comme 2x tend vers 0, e^2x − 1 ∼ 2x. 2. Comme 3x tend vers 0, ln(1 + 3x) ∼ 3x. 3. Le quotient est équivalent à 2x/3x = 2/3, donc la limite vaut 2/3. 4. En plus l'infini, ln(1 + x²) = 2 ln x + ln(1 + 1/x²). 5. Le quotient vaut 2 + ln(1 + 1/x²)/ln x, qui tend vers 2.

piège : Écrire 1 + x² ∼ x² puis « donc ln(1 + x²) ∼ ln(x²) » sans justification. La conclusion est vraie ici, mais le raisonnement compose une équivalence par ln, ce qui est interdit.

Exercice 2. Une forme indéterminée qui résiste aux équivalents

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Calculer la limite en 0 de (e^x − 1 − x)/(ln(1 + x) − x).

Technique développement limité d'ordre 2 pour traiter une différence.

Voir le corrigé

Au numérateur, e^x − 1 − x = x²/2 + o(x²), donc il est équivalent à x²/2. 2. Au dénominateur, ln(1 + x) − x = −x²/2 + o(x²), donc il est équivalent à −x²/2. 3. Le quotient est équivalent à (x²/2)/(−x²/2) = −1. La limite vaut −1.

piège : Remplacer e^x − 1 par x et ln(1 + x) par x dans les différences, ce qui donne 0/0 puis une conclusion arbitraire.

Exercice 3. La limite qui définit e

Classiques de khôlle et concours · Niveau khôlle

Pour a réel, calculer la limite en plus l'infini de (1 + a/x)^x.

Technique passage à l'exponentielle, puis équivalent usuel du logarithme.

Voir le corrigé

Pour x assez grand, 1 + a/x > 0 et (1 + a/x)^x = exp(x ln(1 + a/x)). 2. Si a ≠ 0, a/x tend vers 0, donc ln(1 + a/x) ∼ a/x. 3. Alors x ln(1 + a/x) ∼ a, qui tend vers a. 4. Par continuité de exp, la limite vaut e^a. Si a = 0, l'expression vaut 1 = e⁰.

piège : Dire que 1 + a/x tend vers 1 et que « 1 puissance quelque chose vaut 1 ». C'est une forme indéterminée.

Exercice 4. Racine et différence en plus l'infini

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Soit f(x) = √(x² + x) − x pour x > 0. Déterminer la limite de f en plus l'infini, puis un équivalent de f(x) − 1/2.

Technique factoriser par le terme dominant, puis utiliser (1 + u)^α avec u tendant vers 0.

Voir le corrigé

Pour x > 0, √(x² + x) = x√(1 + 1/x). 2. Avec u = 1/x et α = 1/2, √(1 + u) = 1 + u/2 − u²/8 + o(u²). 3. Donc √(x² + x) = x + 1/2 − 1/(8x) + o(1/x). 4. Ainsi f(x) = 1/2 − 1/(8x) + o(1/x), et f tend vers 1/2. 5. Enfin f(x) − 1/2 ∼ −1/(8x), donc f approche 1/2 par valeurs inférieures.

piège : Écrire √(x² + x) ∼ x puis soustraire x pour trouver 0. C'est l'addition d'équivalents, interdite.

Exercice 5. Tangente et position

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit Ecricome

Soit f(x) = x ln x sur ]0, +∞[. Donner le développement limité d'ordre 2 de f en 1, la tangente en 1 et la position locale de la courbe.

Technique Taylor-Young pour une fonction de classe C².

Voir le corrigé

f est de classe C² sur ]0, +∞[, avec f′(x) = ln x + 1 et f″(x) = 1/x. 2. f(1) = 0, f′(1) = 1 et f″(1) = 1. 3. Taylor-Young donne f(x) = (x − 1) + (x − 1)²/2 + o((x − 1)²). 4. La tangente a pour équation y = x − 1. 5. Comme a₂ = 1/2 > 0, la courbe est localement au-dessus de sa tangente. Contrôle : avec h = x − 1, on a (1 + h)(h − h²/2 + o(h²)) = h + h²/2 + o(h²).

piège : Prendre a₂ = f″(1) = 1 au lieu de f″(1)/2. La position reste juste, mais le développement est faux.

Exercice 6. Un point critique avec paramètre

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Pour a réel, soit g(x) = ln(1 + x) − x + ax² sur ]−1, +∞[. Montrer que g′(0) = 0. Selon a, déterminer la nature du point 0.

Technique signe de a₂, puis étude directe dans le cas où a₂ est nul.

Voir le corrigé

g′(x) = 1/(1 + x) − 1 + 2ax, donc g′(0) = 0. 2. Le développement d'ordre 2 donne g(x) = x − x²/2 − x + ax² + o(x²) = (a − 1/2)x² + o(x²). 3. Si a > 1/2, g admet un minimum local en 0. Si a < 1/2, g admet un maximum local en 0. 4. Si a = 1/2, l'ordre 2 ne conclut pas. On calcule g′(x) = (1 − (1 + x) + x(1 + x))/(1 + x) = x²/(1 + x). Ce nombre est positif et ne s'annule qu'en 0. 5. g est donc strictement croissante et n'a pas d'extremum en 0.

piège : Conclure « pas d'extremum » dès que a₂ = 0. Il faut une autre étude, comme le montre x⁴.

Exercice 7. Une série par développement limité

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Étudier la nature de la série de terme général uₙ = e^1/n − 1 − 1/n, pour n ≥ 1.

Technique équivalent d'une différence, puis comparaison des séries à termes positifs.

Voir le corrigé

Comme e^t ≥ 1 + t pour tout t réel, on a uₙ ≥ 0. 2. Avec t = 1/n, qui tend vers 0, on a e^t = 1 + t + t²/2 + o(t²). 3. Donc uₙ = 1/(2n²) + o(1/n²), soit uₙ ∼ 1/(2n²). 4. La série de Riemann de terme 1/n² converge. 5. Par comparaison de séries à termes positifs équivalents, la série de terme uₙ converge.

piège : Oublier de vérifier la positivité, qui est une hypothèse du critère d'équivalence au programme.

Exercice 8. Asymptote oblique

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, EDHEC ou emlyon

Soit f(x) = x e^1/x pour x ≠ 0. Montrer que la droite d'équation y = x + 1 est asymptote à la courbe en plus l'infini et en moins l'infini. Préciser la position relative.

Technique changement de variable t = 1/x, puis développement d'ordre 2 de exp.

Voir le corrigé

On pose t = 1/x, qui tend vers 0 dans les deux cas. 2. On a f(x) = (1/t)(1 + t + t²/2 + o(t²)) = 1/t + 1 + t/2 + o(t). 3. Donc f(x) − (x + 1) = 1/(2x) + o(1/x), soit f(x) − (x + 1) ∼ 1/(2x). 4. Cette différence tend vers 0, la droite est asymptote. 5. En plus l'infini, 1/(2x) > 0 et la courbe est au-dessus. En moins l'infini, elle est au-dessous.

piège : S'arrêter à l'ordre 1 de exp. On obtient alors f(x) = x + 1 + o(1), ce qui donne l'asymptote mais pas la position.

Exercice 9. Vitesse de convergence vers e

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

Soit f(x) = (1 + x)^1/x pour x > −1 et x ≠ 0. Montrer que f tend vers e en 0. Donner un équivalent de f(x) − e. En déduire que f prolongée par e en 0 est dérivable en 0.

Technique forme exponentielle, développement du logarithme, puis e^v − 1 ∼ v.

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f(x) = exp(ln(1 + x)/x). 2. On divise le développement de ln(1 + x) par x : ln(1 + x)/x = 1 − x/2 + o(x). 3. On pose v(x) = −x/2 + o(x). Alors f(x) = e × e^v(x), et v tend vers 0, donc f tend vers e. 4. f(x) − e = e(e^v(x) − 1) ∼ e × v(x). Comme v(x) ∼ −x/2, on obtient f(x) − e ∼ −ex/2. 5. Donc f(x) = e − (e/2)x + o(x). C'est un développement d'ordre 1 en 0, donc le prolongement est dérivable en 0, de dérivée −e/2.

piège : Écrire ln(1 + x)/x ∼ 1 puis composer par exp. On obtient la limite, mais aucune information sur la différence avec e.

Exercice 10. Approximation rationnelle de l'exponentielle

Classiques de khôlle et concours · Niveau écrit BCE, ESSEC ou HEC

On admet que 1/(1 + bx) = 1 − bx + b²x² + o(x²) en 0 pour tout réel b. Trouver les réels a et b tels que e^x − (1 + ax)/(1 + bx) = o(x²) au voisinage de 0.

Technique produit de développements guidé, puis identification par unicité. Ce calcul n'est pas exigible et le sujet le guide.

Voir le corrigé

(1 + ax)(1 − bx + b²x² + o(x²)) = 1 + (a − b)x + (b² − ab)x² + o(x²). En effet, ax × b²x² et ax × o(x²) sont des o(x²). 2. L'hypothèse revient à dire que ce développement coïncide avec 1 + x + x²/2 + o(x²). 3. Par unicité, a − b = 1 et b(b − a) = 1/2. 4. La première égalité donne b − a = −1, donc −b = 1/2, b = −1/2 et a = 1/2. 5. Ainsi e^x = (2 + x)/(2 − x) + o(x²).

piège : Oublier le terme b²x² du développement de 1/(1 + bx). On obtient alors un système faux.

Erreurs fréquentes

Additionner ou soustraire des équivalents. On passe au développement limité dès qu'une différence est en jeu.
Composer une équivalence par ln ou exp, en particulier pour les formes u^v. On écrit toujours exp(v ln u) et on travaille sur l'exposant.
Prendre f″(x₀) au lieu de f″(x₀)/2 comme coefficient de degré 2, ou oublier α(α − 1)/2 dans (1 + x)^α.
Utiliser un développement en 0 sans vérifier que la quantité substituée tend vers 0, ou oublier le changement h = x − x₀.
Conclure sur la nature d'un point critique quand a₂ = 0, ou tronquer à l'ordre 1 alors que la question porte sur la position de la courbe.

Fiche de cours rédigée à partir du programme officiel de mathématiques appliquées de deuxième année, voie EC, enseignement du troisième semestre, partie « Compléments d'analyse », paragraphe « Compléments sur l'étude des fonctions réelles d'une variable réelle », sous-parties « Comparaison des fonctions au voisinage d'un point » et « Développements limités ». Les fonctions trigonométriques sont hors programme dans la filière et n'apparaissent donc pas ici.

Comparaison des fonctions et développements limités

Résumé en cinq points

1Comparaison des fonctions au voisinage d'un point

1.1Fonction négligeable

1.2Fonctions équivalentes

1.3Opérations autorisées et interdites

1.4Croissances comparées reformulées

1.5Équivalents usuels en 0

2Développements limités

2.1Définition

2.2Unicité

2.3Formule de Taylor-Young

2.4Les trois développements exigibles

2.5Lien avec les équivalents

3Allure locale du graphe

3.1Tangente

3.2Position par rapport à la tangente

3.3Cas d'un extremum local

3.4Exemple

Méthodes

Ce qu'il faut savoir refaire en khôlle

Les résultats à connaître

Clés de démonstration

Exemples et contre-exemples à connaître

Techniques du chapitre

Exercices classiques corrigés

Exercice 1. Deux limites par équivalents

Exercice 2. Une forme indéterminée qui résiste aux équivalents

Exercice 3. La limite qui définit e

Exercice 4. Racine et différence en plus l'infini

Exercice 5. Tangente et position

Exercice 6. Un point critique avec paramètre

Exercice 7. Une série par développement limité

Exercice 8. Asymptote oblique

Exercice 9. Vitesse de convergence vers e

Exercice 10. Approximation rationnelle de l'exponentielle

Erreurs fréquentes